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[摘要]数学学习过程中引入“数学写作”的形式，不但可以促进学生的数学理解，激活学生数学学习的内驱力，帮助学生在作业中建立起情感、态度与知识之间的联系.同时，这样的书面表达更好地培养了学生的数学反思能力，推动学生对学习的数学知识进行重新建构，形成立体认知，促进学生数学素养的全面提升.
[关键词]高中数学 数学写作 理解 能力
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2015）080021
数学学习过程中引入“数学写作”的形式，通过引导学生围绕着数学知识展开进行简单的书面表达，作为课堂学习和课余练习的有效补充，能够积极地推动学生展开反思活动，对数学知识进行充分的梳理，使得学生的思维进一步明晰，加深学生对数学知识的再认识.在教学实践中，教师要引导学生将自己数学学习中的点滴汇聚于笔下，让他们的思维和感悟在纸与笔之间流淌.因为这种行为需要学生能对数学学习过程有一个整体性的回顾，更需要他们创造性地将思维过程记录下来.本文结合笔者的点滴尝试，谈谈在进行“数学写作”方面的一些思考和体会.
一、举一个例子
数学是一门以严谨著称的学科.特别是高中数学，相较于小学及初中数学而言，对于逻辑的严密性有着更高的要求.然而，这种学科的特性与教学过程中注重抽象与直观相结合并不冲突，对于那些抽象性较高、内涵更复杂的教学内容来说，举出一两个妥帖的例子，可以起到以点带面的良好效果.学生在进行“数学写作”时，教师可以引导学生结合典型性较强的例题，对某一个知识点进行多角度的思考，从而使得原本晦涩的知识点在具体应用中变得生动鲜活起来.在进行举例形式的“数学写作”时，教师要指导学生将关注的重点聚焦在知识点上，帮助学生从具体的例子中溯源而上，达到加深理解、举一反三的积极效果.
例如，在进行关于“不等式”的练习时，教师为学生精心准备了这样一道例题：
已知f（x）是定义在R上的函数，且f（0）为9.当x∈R时，则有f（x 4）≥f（x） 4以及f（x 1）≤f（x） 1.如果g（x）=2[f（x）-x]，那么g（2014）= .
本题乍一看属于抽象函数的应用范畴，其中含有两个不等式的关系.因此学生最熟悉、最常用的赋值法在这里很难找到运用的切入点.要想破开沉沉迷雾，就要从题中的两道不等式入手.将本题作为一个典型例子纳入“数学写作”中，因为解答此题时会应用到一些特殊的解题技巧.学生在记录思维经历的过程中更能获得“灵光一现”的触动.如有的学生采用“特殊化”的方法，将题中的两个不等式均取等，即f（x 1）=f（x） 1.于是后继的思考过程则如顺水推舟，可得到猜想f（x）=x 9，从而得到最终结果.采用这种方法的学生在他们的本子上写道：我干脆就将题中的两个不等式都取等而且认定它们同时成立，于是根据f（0）=9就可以得到f（1）=10、f（2）=11……很容易就能发现f（x）=x 9（x∈N）.这样一来，就绕过了确定g（x）这个非常艰难的过程，只考虑问题中最为特殊的一种情况，我觉得这其实就是赋值法的另类运用.同样建立在“猜想”的基础上，我大胆认定将题中两个不等式连在一起能够达到相等的状态，连续使用后可以得到f（x） 4≤f（x 4）≤f（x 3） 1……得出f（x 1）=f（x） 1，即f（2014）=f（0） 2014.学生在“数学写作”中能扣住一个经典的实例展开充分的思考，展现了他们在解题过程中的数学思想，折射出智慧的光芒.
二、提一个建议
将建议纳入“数学写作”的范畴，推动学生对数学课堂教学过程进行评价，对师生活动的方式、方法审视性地提出自己的建议.鼓励学生就教学内容、教学方式以及课外作业、阶段测试等多个环节发表自己的意见.这种写作形式受到学生的广泛好评，能够充分激发学生自由表达的热情.在这种建议书式的“数学写作”中，教师可以及时得到学生中肯的、真实的心声，并依据这些反馈改进自己的教学，使之更加贴合学生的学习心理，发挥课堂教学事半功倍的理想效果.在具体操作中，教师还要注重正面引导，使得学生的合理化建议得到充分表达.同时，启发学生在建议中要紧密结合具体的学习内容，发挥该类型“数学写作”的积极作用，避免沦为学生无谓的牢骚和抱怨阵地.
例如，在进行“直线与平面垂直”定义的教学时，教师通常都是借助于课件的演示，为学生提供大量的现实素材，即利用现实生活中存在的直线与平面呈现“垂直”关系的特殊情形，从而帮助学生建立这种立体关系.这种感性的素材积累可以激发学生已有的“垂直”经验，从平面内两条直线之间的关系推广到立体空间中来，确认这种特殊的“垂直”关系.然而有的教师则尝试着让学生自己去给出定义，但学生们并不认同.比如有的学生在他们的“数学写作”中这样写道：“直线与平面垂直的定义是由前人研究得来的.老师要求我们给出定义是不太合适的，我们可以认为当这条直线与该平面上的所有直线都垂直时，称为这条直线与该平面垂直；也可以认为如果一条直线与一个平面上的两条呈相交关系的直线垂直时，就可以认为这条直线垂直于该平面了.两种定义都是正确的！但是以前的数学家们用的是第二种方法作为定义，所以我觉得老师干脆直接告诉我们就好了，不需要花费那么多精力让我们去探究定义的根源！”学生提出的建议给执教者很大的启发，即在有关定义的教学中，作为前人既定的一种规定，让学生去猜测前人是怎样给出定义的显然是一种戴着脚链跳舞的行为，特别是对于多种选择下择一而定的概念更是如此，教师应当将教学的重点落实在对于概念定义的判定和引申上，能“告诉”学生的就简单明了地“告诉”即可，以为后继的教学腾出足够的时间与空间出来.
三、写一封信笺
信笺的形式其根底是转换学生的角色，将学生从一个单一的接受者变为一个传授者.在教学一些易错点、难以迅速理解的难点或者具有不同争议的知识点时，教师可以组织学生根据这些内容撰写一些评论或心得，冠之以信笺的形式，让学生给自己的学弟或者学妹写一封信，提醒他们在经历到这段学习历程时需要注意些什么，传递给他们一些点拨和指引，解释其中一些难以理解和灵活运用的概念.这种形式下的“数学写作”角度比较新颖，角色的变换让学生觉得兴趣盎然，在具体实践中学生能创造性地发挥自己的智慧，充分展现自己的独到见解和新鲜观点. 例如，在进行“孙子定理”的教学中，教师用“被除数=除数×不定商 余数”概括了定理的内涵.学生的思维相当活跃，在小组讨论和集体交流中，他们从不同的角度对该定理给出了精妙的证明过程.于是，教师组织学生以信笺的形式运用“数学写作”将他们的思维成果记录下来，得到了学生的热烈响应.有学生首先将“孙子定理”进行了准确的描述：“亲爱的学弟学妹们，‘孙子定理’又称‘中国剩余定理’，如果用现代数学的语言来说明的话，可以得到如下的方程组：
四、发一番感慨
记录学生在数学学习中的心路历程也是“数学写作”的一个重要侧面.通过书面表达，引导学生将数学学习中诸如兴奋、愤懑、疑惑、失落以及得意等情绪宣泄出来，将情感与学习交融在一起，富有情感体验的数学学习必然会给学生留下深刻的烙印.通过这种带有情感味道的表达形式，教师不但可以了解到学生在数学学习的得与失、喜与悲，更重要的是教师可以根据这种反馈改进自己的教学，调整教学中的节奏和步伐，避免学生在数学学习过程中消极情绪的产生，采用更多样的教学策略激活学生的积极情感.同时，这种书面上的情感交流，也有助于协调师生之间的对立情绪，拉近师生间的心理距离，使得课堂教学更加融洽、和谐.
例如，在证明“三棱锥的体积等于其底面积与高之积的三分之一”时，学生对于证明过程中“补锥成柱”和“割柱成锥”两个环节感到难以理解，特别是为什么割柱所成三锥体积正好相等且所要求的就是其中之一呢？他们在本子上写下自己的探究经历时写道：“先观察原三棱柱的一个侧面在被割成的两个三角形后，两个三角形面积之间有什么关系？以这两个三角形为底的两个锥的高之间又有什么关系？这是证明前的热身.在这个基础上，得出‘三棱柱割成的三个三棱锥的体积相等’，最终证明结果.从观察、思考和发现开始，从一个定理出发得到另一个定理，就像一个三级跳的阶梯一样.如果在遇到难以证明的难题时，首先要沉着冷静地观察，找到图形之间的联系，思考已有的相关系的定理，这时候再难的题目也会被我们打开一扇门的缝隙，成功的光亮就已经透现在我们的眼前了！这种百折不挠终获成功的喜悦让人心里有‘我真厉害！’的自豪！”
作为一种别致的反馈渠道，“数学写作”不但促进了学生的数学理解，激活学生数学学习的内驱力，在这种非正式的书面作业中建立起情感、态度与知识之间的联系，让数学变得鲜活灵动起来；而且，这样的书面表达对学生的反思能力提出了更高、更全面的要求，推动学生对已有的学习过程进行重新组织和梳理，有助于学生对之前的学习经历形成一个整体性的立体认知，形成批判性的数学学习态度.就教师的角度而言，“数学写作”使得学生的数学思维过程具有较强的可见性，帮助教师及时把握学生学习的脉搏，根据学生的学情调整、变换教学方式方法，尽量消弭学生之间的思维差异，达到学生数学学习水平整体发展的目的.以上种种，使得我们在“数学写作”这一蹊径上奋力探索，执著前行！
（责任编辑 黄桂坚）
[关键词]高中数学 数学写作 理解 能力
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2015）080021
数学学习过程中引入“数学写作”的形式，通过引导学生围绕着数学知识展开进行简单的书面表达，作为课堂学习和课余练习的有效补充，能够积极地推动学生展开反思活动，对数学知识进行充分的梳理，使得学生的思维进一步明晰，加深学生对数学知识的再认识.在教学实践中，教师要引导学生将自己数学学习中的点滴汇聚于笔下，让他们的思维和感悟在纸与笔之间流淌.因为这种行为需要学生能对数学学习过程有一个整体性的回顾，更需要他们创造性地将思维过程记录下来.本文结合笔者的点滴尝试，谈谈在进行“数学写作”方面的一些思考和体会.
一、举一个例子
数学是一门以严谨著称的学科.特别是高中数学，相较于小学及初中数学而言，对于逻辑的严密性有着更高的要求.然而，这种学科的特性与教学过程中注重抽象与直观相结合并不冲突，对于那些抽象性较高、内涵更复杂的教学内容来说，举出一两个妥帖的例子，可以起到以点带面的良好效果.学生在进行“数学写作”时，教师可以引导学生结合典型性较强的例题，对某一个知识点进行多角度的思考，从而使得原本晦涩的知识点在具体应用中变得生动鲜活起来.在进行举例形式的“数学写作”时，教师要指导学生将关注的重点聚焦在知识点上，帮助学生从具体的例子中溯源而上，达到加深理解、举一反三的积极效果.
例如，在进行关于“不等式”的练习时，教师为学生精心准备了这样一道例题：
已知f（x）是定义在R上的函数，且f（0）为9.当x∈R时，则有f（x 4）≥f（x） 4以及f（x 1）≤f（x） 1.如果g（x）=2[f（x）-x]，那么g（2014）= .
本题乍一看属于抽象函数的应用范畴，其中含有两个不等式的关系.因此学生最熟悉、最常用的赋值法在这里很难找到运用的切入点.要想破开沉沉迷雾，就要从题中的两道不等式入手.将本题作为一个典型例子纳入“数学写作”中，因为解答此题时会应用到一些特殊的解题技巧.学生在记录思维经历的过程中更能获得“灵光一现”的触动.如有的学生采用“特殊化”的方法，将题中的两个不等式均取等，即f（x 1）=f（x） 1.于是后继的思考过程则如顺水推舟，可得到猜想f（x）=x 9，从而得到最终结果.采用这种方法的学生在他们的本子上写道：我干脆就将题中的两个不等式都取等而且认定它们同时成立，于是根据f（0）=9就可以得到f（1）=10、f（2）=11……很容易就能发现f（x）=x 9（x∈N）.这样一来，就绕过了确定g（x）这个非常艰难的过程，只考虑问题中最为特殊的一种情况，我觉得这其实就是赋值法的另类运用.同样建立在“猜想”的基础上，我大胆认定将题中两个不等式连在一起能够达到相等的状态，连续使用后可以得到f（x） 4≤f（x 4）≤f（x 3） 1……得出f（x 1）=f（x） 1，即f（2014）=f（0） 2014.学生在“数学写作”中能扣住一个经典的实例展开充分的思考，展现了他们在解题过程中的数学思想，折射出智慧的光芒.
二、提一个建议
将建议纳入“数学写作”的范畴，推动学生对数学课堂教学过程进行评价，对师生活动的方式、方法审视性地提出自己的建议.鼓励学生就教学内容、教学方式以及课外作业、阶段测试等多个环节发表自己的意见.这种写作形式受到学生的广泛好评，能够充分激发学生自由表达的热情.在这种建议书式的“数学写作”中，教师可以及时得到学生中肯的、真实的心声，并依据这些反馈改进自己的教学，使之更加贴合学生的学习心理，发挥课堂教学事半功倍的理想效果.在具体操作中，教师还要注重正面引导，使得学生的合理化建议得到充分表达.同时，启发学生在建议中要紧密结合具体的学习内容，发挥该类型“数学写作”的积极作用，避免沦为学生无谓的牢骚和抱怨阵地.
例如，在进行“直线与平面垂直”定义的教学时，教师通常都是借助于课件的演示，为学生提供大量的现实素材，即利用现实生活中存在的直线与平面呈现“垂直”关系的特殊情形，从而帮助学生建立这种立体关系.这种感性的素材积累可以激发学生已有的“垂直”经验，从平面内两条直线之间的关系推广到立体空间中来，确认这种特殊的“垂直”关系.然而有的教师则尝试着让学生自己去给出定义，但学生们并不认同.比如有的学生在他们的“数学写作”中这样写道：“直线与平面垂直的定义是由前人研究得来的.老师要求我们给出定义是不太合适的，我们可以认为当这条直线与该平面上的所有直线都垂直时，称为这条直线与该平面垂直；也可以认为如果一条直线与一个平面上的两条呈相交关系的直线垂直时，就可以认为这条直线垂直于该平面了.两种定义都是正确的！但是以前的数学家们用的是第二种方法作为定义，所以我觉得老师干脆直接告诉我们就好了，不需要花费那么多精力让我们去探究定义的根源！”学生提出的建议给执教者很大的启发，即在有关定义的教学中，作为前人既定的一种规定，让学生去猜测前人是怎样给出定义的显然是一种戴着脚链跳舞的行为，特别是对于多种选择下择一而定的概念更是如此，教师应当将教学的重点落实在对于概念定义的判定和引申上，能“告诉”学生的就简单明了地“告诉”即可，以为后继的教学腾出足够的时间与空间出来.
三、写一封信笺
信笺的形式其根底是转换学生的角色，将学生从一个单一的接受者变为一个传授者.在教学一些易错点、难以迅速理解的难点或者具有不同争议的知识点时，教师可以组织学生根据这些内容撰写一些评论或心得，冠之以信笺的形式，让学生给自己的学弟或者学妹写一封信，提醒他们在经历到这段学习历程时需要注意些什么，传递给他们一些点拨和指引，解释其中一些难以理解和灵活运用的概念.这种形式下的“数学写作”角度比较新颖，角色的变换让学生觉得兴趣盎然，在具体实践中学生能创造性地发挥自己的智慧，充分展现自己的独到见解和新鲜观点. 例如，在进行“孙子定理”的教学中，教师用“被除数=除数×不定商 余数”概括了定理的内涵.学生的思维相当活跃，在小组讨论和集体交流中，他们从不同的角度对该定理给出了精妙的证明过程.于是，教师组织学生以信笺的形式运用“数学写作”将他们的思维成果记录下来，得到了学生的热烈响应.有学生首先将“孙子定理”进行了准确的描述：“亲爱的学弟学妹们，‘孙子定理’又称‘中国剩余定理’，如果用现代数学的语言来说明的话，可以得到如下的方程组：
四、发一番感慨
记录学生在数学学习中的心路历程也是“数学写作”的一个重要侧面.通过书面表达，引导学生将数学学习中诸如兴奋、愤懑、疑惑、失落以及得意等情绪宣泄出来，将情感与学习交融在一起，富有情感体验的数学学习必然会给学生留下深刻的烙印.通过这种带有情感味道的表达形式，教师不但可以了解到学生在数学学习的得与失、喜与悲，更重要的是教师可以根据这种反馈改进自己的教学，调整教学中的节奏和步伐，避免学生在数学学习过程中消极情绪的产生，采用更多样的教学策略激活学生的积极情感.同时，这种书面上的情感交流，也有助于协调师生之间的对立情绪，拉近师生间的心理距离，使得课堂教学更加融洽、和谐.
例如，在证明“三棱锥的体积等于其底面积与高之积的三分之一”时，学生对于证明过程中“补锥成柱”和“割柱成锥”两个环节感到难以理解，特别是为什么割柱所成三锥体积正好相等且所要求的就是其中之一呢？他们在本子上写下自己的探究经历时写道：“先观察原三棱柱的一个侧面在被割成的两个三角形后，两个三角形面积之间有什么关系？以这两个三角形为底的两个锥的高之间又有什么关系？这是证明前的热身.在这个基础上，得出‘三棱柱割成的三个三棱锥的体积相等’，最终证明结果.从观察、思考和发现开始，从一个定理出发得到另一个定理，就像一个三级跳的阶梯一样.如果在遇到难以证明的难题时，首先要沉着冷静地观察，找到图形之间的联系，思考已有的相关系的定理，这时候再难的题目也会被我们打开一扇门的缝隙，成功的光亮就已经透现在我们的眼前了！这种百折不挠终获成功的喜悦让人心里有‘我真厉害！’的自豪！”
作为一种别致的反馈渠道，“数学写作”不但促进了学生的数学理解，激活学生数学学习的内驱力，在这种非正式的书面作业中建立起情感、态度与知识之间的联系，让数学变得鲜活灵动起来；而且，这样的书面表达对学生的反思能力提出了更高、更全面的要求，推动学生对已有的学习过程进行重新组织和梳理，有助于学生对之前的学习经历形成一个整体性的立体认知，形成批判性的数学学习态度.就教师的角度而言，“数学写作”使得学生的数学思维过程具有较强的可见性，帮助教师及时把握学生学习的脉搏，根据学生的学情调整、变换教学方式方法，尽量消弭学生之间的思维差异，达到学生数学学习水平整体发展的目的.以上种种，使得我们在“数学写作”这一蹊径上奋力探索，执著前行！
（责任编辑 黄桂坚）