论文部分内容阅读
化倍角为半角，扩半角为倍角，可构造等腰三角形，从而顺利求解与二倍角相关的线段和差问题.
[问题探究]
例 在△ABC中，AD⊥BC，∠ABC = 2∠C，求证：AB + BD = CD.
解法1：如图1，在DC上截取DE = BD，连接AE.
易证△ABD ≌ △AED，∴∠B = ∠AED.
∵∠B = 2∠C，∴∠AED = 2∠C.
∵∠C + ∠CAE = ∠AED，∴∠C = ∠EAC，∴AE = CE.
∵AB = AE，∴AB = CE，∴AB + BD = CE + DE = CD.
应对策略：作半角为底角的等腰三角形，由三角形的外角可得倍角.
解法2：如图2，反向延长BD，截取BE = AB，连接AE.
∵∠E + ∠EAB = ∠ABD，∠ABC = 2∠C，∴∠C = ∠E，
∵AD⊥BC，∴∠ADE = ∠ADC = 90°，
易证△AED ≌ △ACD，
∴DE = CD，∴AB + BD = BE + BD = DE = CD.
应对策略：反向延长倍角的一边，构造等腰三角形后可得半角，再证两三角形全等.
解法3：如图3，延长AB，截取BE = BD，连接DE，在AC上取点F，使DF = AD.
∴∠E = ∠BDE，∵∠E + ∠BDE = ∠ABD，∠ABC = 2∠C，∴∠C = ∠E.
设∠C = α，∵AD⊥BC，∴∠DAC = 90° - α，
∴∠DAF = ∠DFA = 90° - α，∠DFC = 90° + α，
∴∠ADE = 90° + ∠BDE = 90° + α = ∠DFC，易證△ADE ≌ △DFC，
∴AE = DC，∴AB + BD = CD.
应对策略：构造以倍角为外角的等腰三角形，转化出半角.
解法4：如图4，在DC上截取DF = AB，过点D作DE = AD，交AC于点E，连接EF.
设∠C = α，∵AD⊥BC，∴∠DAC = 90° - α，
∴∠DAC = ∠DEA = 90° - α，∠ADE = 180° - ∠DAE - ∠DEA = 2α，
∴∠EDF = 90° - 2α.
∵∠BAD = 90° - 2α，∴∠BAD = ∠EDF，
∴△ADB ≌ △DEF（SAS），∴∠EFD = ∠B = 2α，EF = BD.
∵∠C + ∠CEF = ∠EFD，∴∠C = ∠CEF = α，∴EF = CF.
∴CF = BD，∴AB + BD = DF + CF = CD.
应对策略：将AB边转移到DC边上，构造等腰三角形，于是产生了倍角. 也可在截取DF = AB后作∠EDF = ∠BAD，交AC于点E，连接EF，构造全等三角形.
解法5：如图5，过点B作BH平分∠ABD，交AD于点H，
在AC上截取EC = BH，在CD上截取CF = AB，连接EF，
延长EF，交AD 的延长线于点G，易证△ABH ≌ △FCE.
设∠C = α，∵AD⊥BC，∴∠BAD = 90° - 2α，
∴∠BAD = ∠EFC = 90° - 2α，
∴∠FEA = ∠CFE + ∠C = 90° - α.
∵∠DAC = 90° - α，∴∠GAC = ∠GEA，∴AG = GE.
∵在△AGE中，∠GAE + ∠G + ∠GEA = 180°，∴∠G = 2α，
∵AH = EF，∴GH = GF，∴∠GHF = 90° - α.
∵∠BHD = 90° - ∠HBD = 90° - α，可证△BHD ≌ △FHD，∴BD = DF，∴AB + BD = CF + DF = CD.
应对策略：作倍角的角平分线得到半角，再构造全等三角形易求解.
[跟踪检测]
如图6，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC = 2∠C. 求证：AC = AB + BD.
[模型呈现]
求解与二倍角相关的数学问题时，通常可构造如下基本模型.
模型1：如图7，作∠EDC = ∠C，交AC于点E.
模型2：如图8，延长AB，在延长线上截取BF = BD，连接DF.
模型3：如图9，延长CB，在延长线上截取BE = AB，连接AE.
模型4：如图10，作∠ABC的平分线，交AD于点G，交AC于点E，作∠FGB = ∠ABE，交AB于点F.
（作者单位：大连市第37中学）
[问题探究]
例 在△ABC中，AD⊥BC，∠ABC = 2∠C，求证：AB + BD = CD.
解法1：如图1，在DC上截取DE = BD，连接AE.
易证△ABD ≌ △AED，∴∠B = ∠AED.
∵∠B = 2∠C，∴∠AED = 2∠C.
∵∠C + ∠CAE = ∠AED，∴∠C = ∠EAC，∴AE = CE.
∵AB = AE，∴AB = CE，∴AB + BD = CE + DE = CD.
应对策略：作半角为底角的等腰三角形，由三角形的外角可得倍角.
解法2：如图2，反向延长BD，截取BE = AB，连接AE.
∵∠E + ∠EAB = ∠ABD，∠ABC = 2∠C，∴∠C = ∠E，
∵AD⊥BC，∴∠ADE = ∠ADC = 90°，
易证△AED ≌ △ACD，
∴DE = CD，∴AB + BD = BE + BD = DE = CD.
应对策略：反向延长倍角的一边，构造等腰三角形后可得半角，再证两三角形全等.
解法3：如图3，延长AB，截取BE = BD，连接DE，在AC上取点F，使DF = AD.
∴∠E = ∠BDE，∵∠E + ∠BDE = ∠ABD，∠ABC = 2∠C，∴∠C = ∠E.
设∠C = α，∵AD⊥BC，∴∠DAC = 90° - α，
∴∠DAF = ∠DFA = 90° - α，∠DFC = 90° + α，
∴∠ADE = 90° + ∠BDE = 90° + α = ∠DFC，易證△ADE ≌ △DFC，
∴AE = DC，∴AB + BD = CD.
应对策略：构造以倍角为外角的等腰三角形，转化出半角.
解法4：如图4，在DC上截取DF = AB，过点D作DE = AD，交AC于点E，连接EF.
设∠C = α，∵AD⊥BC，∴∠DAC = 90° - α，
∴∠DAC = ∠DEA = 90° - α，∠ADE = 180° - ∠DAE - ∠DEA = 2α，
∴∠EDF = 90° - 2α.
∵∠BAD = 90° - 2α，∴∠BAD = ∠EDF，
∴△ADB ≌ △DEF（SAS），∴∠EFD = ∠B = 2α，EF = BD.
∵∠C + ∠CEF = ∠EFD，∴∠C = ∠CEF = α，∴EF = CF.
∴CF = BD，∴AB + BD = DF + CF = CD.
应对策略：将AB边转移到DC边上，构造等腰三角形，于是产生了倍角. 也可在截取DF = AB后作∠EDF = ∠BAD，交AC于点E，连接EF，构造全等三角形.
解法5：如图5，过点B作BH平分∠ABD，交AD于点H，
在AC上截取EC = BH，在CD上截取CF = AB，连接EF，
延长EF，交AD 的延长线于点G，易证△ABH ≌ △FCE.
设∠C = α，∵AD⊥BC，∴∠BAD = 90° - 2α，
∴∠BAD = ∠EFC = 90° - 2α，
∴∠FEA = ∠CFE + ∠C = 90° - α.
∵∠DAC = 90° - α，∴∠GAC = ∠GEA，∴AG = GE.
∵在△AGE中，∠GAE + ∠G + ∠GEA = 180°，∴∠G = 2α，
∵AH = EF，∴GH = GF，∴∠GHF = 90° - α.
∵∠BHD = 90° - ∠HBD = 90° - α，可证△BHD ≌ △FHD，∴BD = DF，∴AB + BD = CF + DF = CD.
应对策略：作倍角的角平分线得到半角，再构造全等三角形易求解.
[跟踪检测]
如图6，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC = 2∠C. 求证：AC = AB + BD.
[模型呈现]
求解与二倍角相关的数学问题时，通常可构造如下基本模型.
模型1：如图7，作∠EDC = ∠C，交AC于点E.
模型2：如图8，延长AB，在延长线上截取BF = BD，连接DF.
模型3：如图9，延长CB，在延长线上截取BE = AB，连接AE.
模型4：如图10，作∠ABC的平分线，交AD于点G，交AC于点E，作∠FGB = ∠ABE，交AB于点F.
（作者单位：大连市第37中学）