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摘要:透彻理解并正确运用线性动态电路暂态过程全响应的可加性是学好电路课程的重要标志。为此,教师要根据授课对象和教学目的,选择恰当的方式进行教学。本文讨论了现行的若干典型教学方法,包括基于RC电路全响应解答的教学方法,基于微分方程的教学方法,基于储能元件等效电路的教学方法,以及基于复频域的教学方法,介绍了上述方法的教学体会。
关键词:线性动态电路;暂态过程;全响应;可加性
作者简介:陈希有(1962-),男,黑龙江肇东人,大连理工大学电气工程学院,教授,工学博士,主要研究方向:电力电子与电力传动、绿色电能变换;刘凤春(1962-),女,四川泸州人,大连理工大学电气工程学院,副教授,工学硕士,主要研究方向:电机控制、电力滤波。(辽宁 大连 116023)
基金项目:本文系大连理工大学2009年教育教学改革重点项目(项目编号:zd4)的研究成果。
线性动态电路暂态过程(简称暂态电路)全响应可以分解成零输入响应与零状态响应的叠加,称为全响应的可加性。这是一个很重要的教学内容。这种叠加关系是线性动态电路本质规律的体现。它与全响应等于强制分量加上自由分量一起,都是人们认识暂态电路的重要手段。虽然在电路中起作用的只能是全响应,但这种认识事物的手段对促进电路理论的发展,解决工程实际问题具有重要意义。因此在电路以及电工技术课程中,务必使学生透彻理解暂态电路全响应的可加性原理。
本文分析了目前常用的针对此内容的若干教学方法,介绍了对每种方法的个人体会,供同行参考。
一、基于RC电路全响应解答的教学方法
这种教学方法是在讲授零输入响应和零状态响应的基础上,针对同一结构电路,进一步讨论其全响应的计算问题。[1,2]例如图1所示电路。
给定电路初始条件为,uC(0-)=U0,通过求解非齐次微分方程可得t>0时的全响应是(此时还没有学习三要素公式)
uC=US+(U0-US)e-t/τ (1)
式中τ代表时间常数,τ=RC。再从数学上将其改写成
uC=U0e-t/τ+US(1-e-t/τ)
=u'C+u''C (2)
式中
u'C=U0e-t/τ (3)
u''C=US(1-e-t/τ) (4)
然后对比在讲授零输入响应和零状态响应时所得到的计算结果发现,(3)、(4)式分别是uC的零输入响应和零状态响应。由此可得出结论:对电容电压,有
全响应=零输入响应+零状态响应
然后将这一结论推广到一般情况。
用这种方法来阐明全响应的可加性原理简单方便。但它毕竟是从具体电路在具体激励下的响应得出的结论,而且对全响应即(2)式仅仅是进行了数学上的改写。因此感觉对结论的普遍正确性说理不够。教学时容易产生下列疑问:(1)对较复杂的激励或较高阶的电路,难以求解全响应。此时不易使学生理解全响应的可加性仍然是成立的,给教学多少带来一些瑕疵。(2)更不易理解为什么只有线性电路的全响应才满足可加性,而非线性电路不满足。这样易导致学生在应用可加性时犯前提条件上的错误。
二、基于微分方程的教学方法
为说明全响应可加性的一般正确性,一些教材开始使用基于微分方程的教学方法。[3,4]为简单起见,下面以一阶电路为例介绍这种教学方法的步骤,对高阶情况也同样适用。
RC或RL线性一阶电路零输入响应微分方程的普遍形式为
式中τ代表时间常数,τ=RC或τ=L/R;f'(t)表示待求的零输入响应,F'0是它的初始值。例如,图1所示电路中,电流i的零输入响应初始值为
RC或RL线性一阶电路零状态响应微分方程的普遍形式为
式中f''(t)表示待求的零状态响应,F''0是它的初始值。例如,图1电路中,电流i的零状态响应初始值为
将方程(5)和(7)相加得,
对比一阶电路微分方程的普遍形式,即
对于图1电路中电流i的全响应初始值为i(0+)=[US-uC(0+)]/R,正好是(6)、(8)两式初始值之和。根据微分方程解的性质可得方程(5)、(7)和(10)的解答满足可加性,即
f(t)=f'(t)+f''(t) (11)
由此可见,这种教学方法在未求得电路解答的情况下便可得出全响应满足可加性的结论。由于不用针对具体的激励和具体结构的电路,使得这一结论更具普遍性。而对非线性电路,由于零输入响应和零状态响应电路微分方程不是线性方程,即式(5)和式(7)中的τ可能不同,响应和响应的导数也可能不是一次函数,相加后得不到(10)式,三者的解答不存在(11)式的叠加关系。这样也就把非线性电路不满足可加性的道理讲清楚了。但这种教学方法要求学生必须有良好的数学基础。
三、基于储能元件等效电路的教学方法
非零状态的电容在t>0时的电流电压关系可以写作
uC(t)=uC(0-)+i(ξ)dξ (12)
这一关系可以用零状态电容与量值等于电容电压初始值uC(0-)的独立电压源的串联电路来等效,[5,6]如图2所示。
根据对偶原理得,非零状态电感可用零状态电感与量值等于电感电流初始值iL(0-)的电流源的并联电路来等效,[5,6]如图3所示。
基于上述等效原理,也可进行全响应可加性的教学。举例如下。
图4(a)所示电路,设uC(0-)=U0,iL(0-)=I0,uS是任意激励。为讨论全响应,首先将电感和电容分别用图2和图3电路来等效替换,如图4(b)所示。
应用线性电路的叠加定理计算图4(b)的响应。首先令两个来自初始值的独立电源共同作用,而外加激励电压源uS不作用,如图4(c)所示。它对应的响应是零输入响应,但不用求解。
再令外加激励uS单独作用,两个来自初始值的独立电源不作用,如图4(d)所示。它对应的就是零状态响应,也不用求解。
根据叠加定理,图4(b)的解答一定等于图4(c)与图4(d)解答的叠加,即满足全响应的可加性。
这种教学方法既不需要列写电路微分方程,又不限定是何种外加激励以及电路的阶数。但要求学生对叠加定理的理解能够从线性电阻电路延伸到线性动态电路。
四、基于复频域的教学方法
线性动态电路的复频域分析一般是在课程的后半部分进行的。因此,在讲授复频域分析时,可以从变换域角度,使学生进一步加深对全响应可加性原理的理解,实现内容的前后呼应。仍采用图4(a)所示电路,它的复频域模型如图5(a)所示,图中除包含外加独立电压源外,还包含两个与初始值对应的附加电压源。
利用叠加定理分析这些电源的作用情况。只有附加电源作用时的复频域电路如图5(b)所示,对应的是复频域零输入响应;只有外加激励US(s)作用时的复频域电路如图5(c)所示,对应的是复频域零状态响应。
根据叠加定理的复频域形式可知,全响应的像函数等于零状态响应像函数与零输入响应像函数的叠加,反变换后便是全响应可加性的时域形式。
在第3和第4种教学方法中,由于都用到了线性电路的叠加定理,所以,在非线性电路中,全响应不满足可加性。
五、结束语
本文对全响应可加性的若干教学方法进行了总结与评述,渴望读者在此基础上继续探索,使这一重要教学内容的教学方法不断丰富,教学效果不断提高。
参考文献:
[1]Richard C.Dorf,James A.Svoboda.Introduction to Electric Circuits(5th edition)[M].John Wiley & Sons,Inc,2001.
[2]邱关源.电路(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2000.
[3]陈希有,孙立山,柴凤.电路理论基础(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2004.
[4]陈洪亮,张峰,田舍平.电路基础[M].北京:高等教育出版社,2007.
[5]李瀚荪.简明电路分析基础[M].北京:高等教育出版社,2002.
[6]吴锡龙.电路分析[M].北京:高等教育出版社,2004.
(责任编辑:麻剑飞)
关键词:线性动态电路;暂态过程;全响应;可加性
作者简介:陈希有(1962-),男,黑龙江肇东人,大连理工大学电气工程学院,教授,工学博士,主要研究方向:电力电子与电力传动、绿色电能变换;刘凤春(1962-),女,四川泸州人,大连理工大学电气工程学院,副教授,工学硕士,主要研究方向:电机控制、电力滤波。(辽宁 大连 116023)
基金项目:本文系大连理工大学2009年教育教学改革重点项目(项目编号:zd4)的研究成果。
线性动态电路暂态过程(简称暂态电路)全响应可以分解成零输入响应与零状态响应的叠加,称为全响应的可加性。这是一个很重要的教学内容。这种叠加关系是线性动态电路本质规律的体现。它与全响应等于强制分量加上自由分量一起,都是人们认识暂态电路的重要手段。虽然在电路中起作用的只能是全响应,但这种认识事物的手段对促进电路理论的发展,解决工程实际问题具有重要意义。因此在电路以及电工技术课程中,务必使学生透彻理解暂态电路全响应的可加性原理。
本文分析了目前常用的针对此内容的若干教学方法,介绍了对每种方法的个人体会,供同行参考。
一、基于RC电路全响应解答的教学方法
这种教学方法是在讲授零输入响应和零状态响应的基础上,针对同一结构电路,进一步讨论其全响应的计算问题。[1,2]例如图1所示电路。
给定电路初始条件为,uC(0-)=U0,通过求解非齐次微分方程可得t>0时的全响应是(此时还没有学习三要素公式)
uC=US+(U0-US)e-t/τ (1)
式中τ代表时间常数,τ=RC。再从数学上将其改写成
uC=U0e-t/τ+US(1-e-t/τ)
=u'C+u''C (2)
式中
u'C=U0e-t/τ (3)
u''C=US(1-e-t/τ) (4)
然后对比在讲授零输入响应和零状态响应时所得到的计算结果发现,(3)、(4)式分别是uC的零输入响应和零状态响应。由此可得出结论:对电容电压,有
全响应=零输入响应+零状态响应
然后将这一结论推广到一般情况。
用这种方法来阐明全响应的可加性原理简单方便。但它毕竟是从具体电路在具体激励下的响应得出的结论,而且对全响应即(2)式仅仅是进行了数学上的改写。因此感觉对结论的普遍正确性说理不够。教学时容易产生下列疑问:(1)对较复杂的激励或较高阶的电路,难以求解全响应。此时不易使学生理解全响应的可加性仍然是成立的,给教学多少带来一些瑕疵。(2)更不易理解为什么只有线性电路的全响应才满足可加性,而非线性电路不满足。这样易导致学生在应用可加性时犯前提条件上的错误。
二、基于微分方程的教学方法
为说明全响应可加性的一般正确性,一些教材开始使用基于微分方程的教学方法。[3,4]为简单起见,下面以一阶电路为例介绍这种教学方法的步骤,对高阶情况也同样适用。
RC或RL线性一阶电路零输入响应微分方程的普遍形式为
式中τ代表时间常数,τ=RC或τ=L/R;f'(t)表示待求的零输入响应,F'0是它的初始值。例如,图1所示电路中,电流i的零输入响应初始值为
RC或RL线性一阶电路零状态响应微分方程的普遍形式为
式中f''(t)表示待求的零状态响应,F''0是它的初始值。例如,图1电路中,电流i的零状态响应初始值为
将方程(5)和(7)相加得,
对比一阶电路微分方程的普遍形式,即
对于图1电路中电流i的全响应初始值为i(0+)=[US-uC(0+)]/R,正好是(6)、(8)两式初始值之和。根据微分方程解的性质可得方程(5)、(7)和(10)的解答满足可加性,即
f(t)=f'(t)+f''(t) (11)
由此可见,这种教学方法在未求得电路解答的情况下便可得出全响应满足可加性的结论。由于不用针对具体的激励和具体结构的电路,使得这一结论更具普遍性。而对非线性电路,由于零输入响应和零状态响应电路微分方程不是线性方程,即式(5)和式(7)中的τ可能不同,响应和响应的导数也可能不是一次函数,相加后得不到(10)式,三者的解答不存在(11)式的叠加关系。这样也就把非线性电路不满足可加性的道理讲清楚了。但这种教学方法要求学生必须有良好的数学基础。
三、基于储能元件等效电路的教学方法
非零状态的电容在t>0时的电流电压关系可以写作
uC(t)=uC(0-)+i(ξ)dξ (12)
这一关系可以用零状态电容与量值等于电容电压初始值uC(0-)的独立电压源的串联电路来等效,[5,6]如图2所示。
根据对偶原理得,非零状态电感可用零状态电感与量值等于电感电流初始值iL(0-)的电流源的并联电路来等效,[5,6]如图3所示。
基于上述等效原理,也可进行全响应可加性的教学。举例如下。
图4(a)所示电路,设uC(0-)=U0,iL(0-)=I0,uS是任意激励。为讨论全响应,首先将电感和电容分别用图2和图3电路来等效替换,如图4(b)所示。
应用线性电路的叠加定理计算图4(b)的响应。首先令两个来自初始值的独立电源共同作用,而外加激励电压源uS不作用,如图4(c)所示。它对应的响应是零输入响应,但不用求解。
再令外加激励uS单独作用,两个来自初始值的独立电源不作用,如图4(d)所示。它对应的就是零状态响应,也不用求解。
根据叠加定理,图4(b)的解答一定等于图4(c)与图4(d)解答的叠加,即满足全响应的可加性。
这种教学方法既不需要列写电路微分方程,又不限定是何种外加激励以及电路的阶数。但要求学生对叠加定理的理解能够从线性电阻电路延伸到线性动态电路。
四、基于复频域的教学方法
线性动态电路的复频域分析一般是在课程的后半部分进行的。因此,在讲授复频域分析时,可以从变换域角度,使学生进一步加深对全响应可加性原理的理解,实现内容的前后呼应。仍采用图4(a)所示电路,它的复频域模型如图5(a)所示,图中除包含外加独立电压源外,还包含两个与初始值对应的附加电压源。
利用叠加定理分析这些电源的作用情况。只有附加电源作用时的复频域电路如图5(b)所示,对应的是复频域零输入响应;只有外加激励US(s)作用时的复频域电路如图5(c)所示,对应的是复频域零状态响应。
根据叠加定理的复频域形式可知,全响应的像函数等于零状态响应像函数与零输入响应像函数的叠加,反变换后便是全响应可加性的时域形式。
在第3和第4种教学方法中,由于都用到了线性电路的叠加定理,所以,在非线性电路中,全响应不满足可加性。
五、结束语
本文对全响应可加性的若干教学方法进行了总结与评述,渴望读者在此基础上继续探索,使这一重要教学内容的教学方法不断丰富,教学效果不断提高。
参考文献:
[1]Richard C.Dorf,James A.Svoboda.Introduction to Electric Circuits(5th edition)[M].John Wiley & Sons,Inc,2001.
[2]邱关源.电路(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2000.
[3]陈希有,孙立山,柴凤.电路理论基础(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2004.
[4]陈洪亮,张峰,田舍平.电路基础[M].北京:高等教育出版社,2007.
[5]李瀚荪.简明电路分析基础[M].北京:高等教育出版社,2002.
[6]吴锡龙.电路分析[M].北京:高等教育出版社,2004.
(责任编辑:麻剑飞)