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【摘 要】养猪场为了适应时代的发展通过采用现代化先进技术和经营管理方案来提高养猪场利润。本文依据2014年全国数学建模大赛C题要求，利用比例函数和LINGO程序求解得出当每头母猪每年平均产仔约为20头时，就可达到盈亏平衡；建立养猪场原有的种猪数、小猪数和养殖规模的等式关系，得出母猪、小猪被选为母猪的数量；最后根据生猪价格的大致变化趋势，通过三次样条插值拟合价格函数，利用MATLAB编程，提出出相应的经营策略。
【关键词】养猪场；存栏量；种猪与肉猪；样条函数；优化管理
1.问题的提出
某家养殖规模为10000的养猪场利用自己的种猪进行繁育。养猪的过程如下：首先是母猪配种后怀孕约114天产下乳猪，经过哺乳期后乳猪成为小猪。然后将小猪分为三部份：其中的一小部分被选为种猪（其中公猪母猪的比例因配种方式而异），长大以后承担养猪场的繁殖任务；还有一部分小猪则作为猪苗出售以控制养殖规模；而大部分小猪则经阉割后养成肉猪出栏（见模型建立与求解的图1）。种猪失去生育能力后就会被无害化处理掉（母猪的生育期一般为3～5年）。种猪和肉猪每天都要消耗饲料，但种猪的饲料成本更高一些。养殖场根据市场情况通过决定留种数量、配种时间、存栏规模等优化经营策略以提高盈利水平。请收集相关数据，建立数学模型回答以下问题：
（1）该养殖场不出售猪苗，将小猪全部转为种猪与肉猪，且建立在生猪养殖成本及生猪价格保持不变的基础上，求每头母猪每年平均产仔量达到多少时，才能达到或超过盈亏平衡点？
（2）生育期母猪每头年产2胎左右，每胎成活9头左右。求使得该养殖场养殖规模达到饱和时，小猪选为种猪的比例和母猪的存栏数，并结合所收集到的数据给出具体的结果。
（3）已知从母猪配种到所产的猪仔长成肉猪出栏需要约9个月时间。假设该养猪场估计9个月后三年内生猪价格变化的预测曲线（见2014年全国大学生数学建模竞赛C题附件），请根据此价格预测确定该养猪场的最佳经营策略，计算这三年内的平均年利润，并给出在此策略下的母猪及肉猪存栏数曲线。
2.确定盈亏平衡点的通用模型
设每头母猪每年平均产仔量为x，则原有母猪数=猪场规模×k，已知养猪场最多能养10000头猪，得k=。
故猪场原有母猪数为：
10000×=500（头）
猪场原有公猪数=猪场原有母猪数×j得j=
故猪场原有公猪数为：
500×=20（头）
可知养猪场内现有猪仔500x；则养猪场内猪仔被选为母猪的数量=小猪仔的数量×n
得养猪场内猪仔被选为母猪的数量为：500x×=25x
养猪场内猪仔被选为公猪的数量为：25x×=x
由题知养猪场内养猪场不出售猪苗，小猪全部转为种猪与肉猪，故：
肉猪的数量=母猪所产的猪仔总数-猪仔被选为种猪数：
则肉猪的数量为：500x-25x-x=474x
则养猪场内现有的种猪数量为：20+x+500+25x=520+26x
根据利润=销售收入—养殖成本，得盈亏不等式为：
（p-q）×474x-（520+26x）×r≥0
利用LINGO求解得x≥19.5，所以每头母猪每年平均产仔量约达到20头。
3.确定小猪选为种猪的比例和母猪的存栏数
3.1小猪选为种猪的比例
设原有种猪数量有a头，根据公猪与母猪比例可得公猪有a头，母猪有a头。根据公猪和母猪的年更新率，则年需要更新的公猪和母猪总数为33%a。
得小猪被选为种猪的比例为：≈2%
3.2母猪的存栏数
设猪场原有母猪为m头，则母猪产下的小猪有18m头，猪场原有公猪m头已知养殖场的养殖规模达到饱和时养殖规模为10000，即：
18m+m+m=10000
计算得：m≈525
根据小猪选为种猪的比例和小猪中公猪与母猪的比例，由公式9得：
2%×18×525×≈182
计算得母猪存栏量为：
525（1-33%）+182≈534（头）
通过这两种方法与实际情况相比较，由此可发现第二种方法更符合实际，主要是因其在种猪繁殖基础上增加了种猪更新率，提高了母猪的生育能力，进而提高了养猪场的经济效益。
4.确定最佳经营策略、计算三年内的平均年利润
4.1根据价格预测确定最佳经营策略
由题知该养猪场估计9个月后三年内生猪价格变化的预测曲线如下图所示：
根据种母猪繁殖周期=妊娠周期+哺乳天数+配种天数，即：
114+35+1=150（天）
母猪配种到所产的猪仔长成肉猪出栏需要约9个月时间和上图中的具体数据得表1，由此我们推测配种时间，
表1 预测配种日期
由参考文献[2]得，从宏观上来说，保持养猪场养猪数量的机动性。即通过控制商品猪的存栏量来应对市场价格的波动，当价格处于下滑初阶段时要及时售出仔猪减少商品猪的存栏量；当价格下降到接近保本价格临界点至持续期时，要及时淘汰生产性能不佳的母猪，选育优良性能的母猪；当价格经过下降阶段之后，处于开始上升阶段时，应迅速扩大商品猪的存栏量；当价格上升到一定阶段（顶峰）而保持相对稳定时，要及时售出商品猪。
多途径控制疫病，减少养猪场猪的死亡率，减少收入损失。
坚持无公害绿色生产。提高猪本身的质量可在一定程度上获取市场地位，保持养猪场利润的稳定性。
根据猪场规模与猪场母猪的比例和公猪与母猪比例，设原有500头母猪，20头公猪。 得，小猪有：500×2×9=9000
种猪更新数为：（500+25）×33%=173
商品猪数为：9000-173=8827
4.2计算三年内的平均利润
为了求平均利润，我们首先由价格曲线拟合价格函数，采用三次样条函数插值拟合。
由图中所给时间，以天为单位，间隔都是50天共有22个点ti（i=1，2···22）为计算方法，即：ai=（i=1，2···22）
以ai为节点，其相应的的价格由曲线上的数据可得bi（i=1，2···22）。价格变化的预测曲线图。
样条函数y=s（x）的满足条件为：
（1）s（xi）=yi（i=1，2，..，22），
（2）在每个小区间[xi，xi+1]上s（x）市三次多项式，记为si（x），
（3）s（x）在[0，21]上二阶连续可微。
用MATLAB编程拟合如下样条曲线：
计算三年内的平均价格：
=s（x）dx
由MATLAB编程计算平均价格为：
p=16.9985 p=14.4040 p=14.1101
由题意得，三年内种猪共繁育6胎，原始种母猪有500头，种公猪有20头。
每胎的利润=每胎的收入-饲养成本
因为，商品猪饲养为12元/公斤，p=16.9985，p=14.4040，p=14.1101
第一胎小猪分为商品猪和种猪，小猪有9000头，种猪更新数为 173头，商品猪数为8827头，第二胎小猪分为猪仔和种猪，小猪有9000头，种猪更新数为173头，仔猪数为8827头。其利润分别为：
Z1=8827×100×16.99-8827×100×12-173×100×18-520×18×100=3157273
Z2=8827×100=520×18×100=-53330
第一年利润为：W1=Z1+Z2=3103943
第三胎小猪分为商品猪和种猪，小猪有9000头，种猪更新数为 173商品猪数为8827头， 第四胎小猪分为猪仔和种猪，小猪有9000头，种猪更新数为173头，商品猪数为8827头。
Z3=8827×100×14.4040-8827×100×12-520×18×100=1186010.8
Z4=8827×100×14.1101-8827×100×12-520×18×100=926585.27
第二年利润为：W2=Z3+Z4=2112596.07
第五胎小猪分为商品猪和种猪，小猪有9000头，种猪更新数为 173头，商品猪数为8827头，第六胎小猪分为猪仔和种猪，小猪有9000头，种猪更新数为173头，仔猪数为8827头。
Z5=8827×100×14.1101=8827×100×12-520×18×100=926585.27
Z6=8827×100=520×18×100=-53300
第三年利润为：W3=Z5+Z6=873285.27
故，三年内的平均年利润W==2029941.45元
选取生猪价格变化趋势的明显变化点时的母猪和肉猪的存栏数，利用MATLAB编程，得到母猪存栏数曲线点状分布和肉猪存栏数为折线。母猪存栏曲线图基本趋于稳定值，即可知母猪存栏数基本都保持一个饱和量；而肉猪存栏曲线图则是先直线下降、上升、保持稳定、再下降，即可知肉猪存栏数是随市场生猪价格变化而相应变化的。
5.结语
利用数学工具，通过MATLAB编程对模型进行求解，能够较为准确的知道怎样预留种猪而优化来年的生产，具有较高的科学性和可信度。此问题的求解方法有广泛的使用空间，在很多领域都可得到使用，如：牛羊等牲畜养殖场的经营管理、部分企业的货存管理、工厂内机械更换管理等。
【参考文献】
[1]同济大学数学教研室.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，1996，12.
[2]胡良剑，孙晓君.MATLAB数学实验[M].北京：高等教育出版社，2006，06.
[3]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].北京：高等教育出版社，2003，08.
[4]肖华勇.实用数学建模与软件应用[M].西安：西北工业大学出版社，2008，11.
[5]韩中庚.数学建模方法及其应用[M].北京：高等教育出版社，2009，06.
【关键词】养猪场；存栏量；种猪与肉猪；样条函数；优化管理
1.问题的提出
某家养殖规模为10000的养猪场利用自己的种猪进行繁育。养猪的过程如下：首先是母猪配种后怀孕约114天产下乳猪，经过哺乳期后乳猪成为小猪。然后将小猪分为三部份：其中的一小部分被选为种猪（其中公猪母猪的比例因配种方式而异），长大以后承担养猪场的繁殖任务；还有一部分小猪则作为猪苗出售以控制养殖规模；而大部分小猪则经阉割后养成肉猪出栏（见模型建立与求解的图1）。种猪失去生育能力后就会被无害化处理掉（母猪的生育期一般为3～5年）。种猪和肉猪每天都要消耗饲料，但种猪的饲料成本更高一些。养殖场根据市场情况通过决定留种数量、配种时间、存栏规模等优化经营策略以提高盈利水平。请收集相关数据，建立数学模型回答以下问题：
（1）该养殖场不出售猪苗，将小猪全部转为种猪与肉猪，且建立在生猪养殖成本及生猪价格保持不变的基础上，求每头母猪每年平均产仔量达到多少时，才能达到或超过盈亏平衡点？
（2）生育期母猪每头年产2胎左右，每胎成活9头左右。求使得该养殖场养殖规模达到饱和时，小猪选为种猪的比例和母猪的存栏数，并结合所收集到的数据给出具体的结果。
（3）已知从母猪配种到所产的猪仔长成肉猪出栏需要约9个月时间。假设该养猪场估计9个月后三年内生猪价格变化的预测曲线（见2014年全国大学生数学建模竞赛C题附件），请根据此价格预测确定该养猪场的最佳经营策略，计算这三年内的平均年利润，并给出在此策略下的母猪及肉猪存栏数曲线。
2.确定盈亏平衡点的通用模型
设每头母猪每年平均产仔量为x，则原有母猪数=猪场规模×k，已知养猪场最多能养10000头猪，得k=。
故猪场原有母猪数为：
10000×=500（头）
猪场原有公猪数=猪场原有母猪数×j得j=
故猪场原有公猪数为：
500×=20（头）
可知养猪场内现有猪仔500x；则养猪场内猪仔被选为母猪的数量=小猪仔的数量×n
得养猪场内猪仔被选为母猪的数量为：500x×=25x
养猪场内猪仔被选为公猪的数量为：25x×=x
由题知养猪场内养猪场不出售猪苗，小猪全部转为种猪与肉猪，故：
肉猪的数量=母猪所产的猪仔总数-猪仔被选为种猪数：
则肉猪的数量为：500x-25x-x=474x
则养猪场内现有的种猪数量为：20+x+500+25x=520+26x
根据利润=销售收入—养殖成本，得盈亏不等式为：
（p-q）×474x-（520+26x）×r≥0
利用LINGO求解得x≥19.5，所以每头母猪每年平均产仔量约达到20头。
3.确定小猪选为种猪的比例和母猪的存栏数
3.1小猪选为种猪的比例
设原有种猪数量有a头，根据公猪与母猪比例可得公猪有a头，母猪有a头。根据公猪和母猪的年更新率，则年需要更新的公猪和母猪总数为33%a。
得小猪被选为种猪的比例为：≈2%
3.2母猪的存栏数
设猪场原有母猪为m头，则母猪产下的小猪有18m头，猪场原有公猪m头已知养殖场的养殖规模达到饱和时养殖规模为10000，即：
18m+m+m=10000
计算得：m≈525
根据小猪选为种猪的比例和小猪中公猪与母猪的比例，由公式9得：
2%×18×525×≈182
计算得母猪存栏量为：
525（1-33%）+182≈534（头）
通过这两种方法与实际情况相比较，由此可发现第二种方法更符合实际，主要是因其在种猪繁殖基础上增加了种猪更新率，提高了母猪的生育能力，进而提高了养猪场的经济效益。
4.确定最佳经营策略、计算三年内的平均年利润
4.1根据价格预测确定最佳经营策略
由题知该养猪场估计9个月后三年内生猪价格变化的预测曲线如下图所示：
根据种母猪繁殖周期=妊娠周期+哺乳天数+配种天数，即：
114+35+1=150（天）
母猪配种到所产的猪仔长成肉猪出栏需要约9个月时间和上图中的具体数据得表1，由此我们推测配种时间，
表1 预测配种日期
由参考文献[2]得，从宏观上来说，保持养猪场养猪数量的机动性。即通过控制商品猪的存栏量来应对市场价格的波动，当价格处于下滑初阶段时要及时售出仔猪减少商品猪的存栏量；当价格下降到接近保本价格临界点至持续期时，要及时淘汰生产性能不佳的母猪，选育优良性能的母猪；当价格经过下降阶段之后，处于开始上升阶段时，应迅速扩大商品猪的存栏量；当价格上升到一定阶段（顶峰）而保持相对稳定时，要及时售出商品猪。
多途径控制疫病，减少养猪场猪的死亡率，减少收入损失。
坚持无公害绿色生产。提高猪本身的质量可在一定程度上获取市场地位，保持养猪场利润的稳定性。
根据猪场规模与猪场母猪的比例和公猪与母猪比例，设原有500头母猪，20头公猪。 得，小猪有：500×2×9=9000
种猪更新数为：（500+25）×33%=173
商品猪数为：9000-173=8827
4.2计算三年内的平均利润
为了求平均利润，我们首先由价格曲线拟合价格函数，采用三次样条函数插值拟合。
由图中所给时间，以天为单位，间隔都是50天共有22个点ti（i=1，2···22）为计算方法，即：ai=（i=1，2···22）
以ai为节点，其相应的的价格由曲线上的数据可得bi（i=1，2···22）。价格变化的预测曲线图。
样条函数y=s（x）的满足条件为：
（1）s（xi）=yi（i=1，2，..，22），
（2）在每个小区间[xi，xi+1]上s（x）市三次多项式，记为si（x），
（3）s（x）在[0，21]上二阶连续可微。
用MATLAB编程拟合如下样条曲线：
计算三年内的平均价格：
=s（x）dx
由MATLAB编程计算平均价格为：
p=16.9985 p=14.4040 p=14.1101
由题意得，三年内种猪共繁育6胎，原始种母猪有500头，种公猪有20头。
每胎的利润=每胎的收入-饲养成本
因为，商品猪饲养为12元/公斤，p=16.9985，p=14.4040，p=14.1101
第一胎小猪分为商品猪和种猪，小猪有9000头，种猪更新数为 173头，商品猪数为8827头，第二胎小猪分为猪仔和种猪，小猪有9000头，种猪更新数为173头，仔猪数为8827头。其利润分别为：
Z1=8827×100×16.99-8827×100×12-173×100×18-520×18×100=3157273
Z2=8827×100=520×18×100=-53330
第一年利润为：W1=Z1+Z2=3103943
第三胎小猪分为商品猪和种猪，小猪有9000头，种猪更新数为 173商品猪数为8827头， 第四胎小猪分为猪仔和种猪，小猪有9000头，种猪更新数为173头，商品猪数为8827头。
Z3=8827×100×14.4040-8827×100×12-520×18×100=1186010.8
Z4=8827×100×14.1101-8827×100×12-520×18×100=926585.27
第二年利润为：W2=Z3+Z4=2112596.07
第五胎小猪分为商品猪和种猪，小猪有9000头，种猪更新数为 173头，商品猪数为8827头，第六胎小猪分为猪仔和种猪，小猪有9000头，种猪更新数为173头，仔猪数为8827头。
Z5=8827×100×14.1101=8827×100×12-520×18×100=926585.27
Z6=8827×100=520×18×100=-53300
第三年利润为：W3=Z5+Z6=873285.27
故，三年内的平均年利润W==2029941.45元
选取生猪价格变化趋势的明显变化点时的母猪和肉猪的存栏数，利用MATLAB编程，得到母猪存栏数曲线点状分布和肉猪存栏数为折线。母猪存栏曲线图基本趋于稳定值，即可知母猪存栏数基本都保持一个饱和量；而肉猪存栏曲线图则是先直线下降、上升、保持稳定、再下降，即可知肉猪存栏数是随市场生猪价格变化而相应变化的。
5.结语
利用数学工具，通过MATLAB编程对模型进行求解，能够较为准确的知道怎样预留种猪而优化来年的生产，具有较高的科学性和可信度。此问题的求解方法有广泛的使用空间，在很多领域都可得到使用，如：牛羊等牲畜养殖场的经营管理、部分企业的货存管理、工厂内机械更换管理等。
【参考文献】
[1]同济大学数学教研室.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，1996，12.
[2]胡良剑，孙晓君.MATLAB数学实验[M].北京：高等教育出版社，2006，06.
[3]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].北京：高等教育出版社，2003，08.
[4]肖华勇.实用数学建模与软件应用[M].西安：西北工业大学出版社，2008，11.
[5]韩中庚.数学建模方法及其应用[M].北京：高等教育出版社，2009，06.