“多维度”提升职高学生解题的思辨能力

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  摘 要:职高学生的解题思辨力特别缺乏。本文从五个维度阐述了如何提升职高学生解题的思辨能力:一是重视方法起源,投石问路,加快思维进度;二是把握教学主线,倡导变式训练,控制思维梯度;三是优化教学手段,串联相近知识,提升思维强度;四是分析问题本质更新解题方法,提升思维高度;五是关注学生成果,提倡一题多解,拓展职高学生的思维宽度。在教学实践中,这些方法收到了很好的效果。
  关键词:思维方法变式 多维度 职高 解题
  人的智慧是以思维力为核心的智力整体结构,而数学是思维的科学,因数学又被称为“内心科学”。数学教学由传授知识的单一性作用转向教学功效的多元化作用,因此数学教学既是数学知识的教学,也是数学思维方式的教学。在教会职高学生数学知识的同时,更要让他们知道知识是如何发生、获取和应用的。为了让更多的学生认识数学本质并完成知识建构,逐步理解数学思维方法,建立科学的思维方式,养成对事物进行理性思考的习惯,从根本上提高学习能力,教师首先要从职高学生的实际出发,营造出一个高度和谐的课堂;精心整合教学素材,打造高效低耗的课堂教学。这样,在化解职高学生与教材矛盾的同时,促进了思维的全面提升,必将开启一段启迪智慧之旅。
  职高学生是职高教学的主体。认识活动能否完成,要以学生认识成效为依据。教必须落实到学上,要让学生真正成为学习的主人,有学习的自主权,使学生主动地学习,探索新知识,发展新见解,从而达到真正自主的学习。在数学教学过程中,受时间、进度、精力所限,許多教师只顾自己,不理学生,只讲方法,不管原因,只讲结论,不谈过程,导致许多职高学生对数学学习有一种恐惧心理和畏难情绪。为了营造出一个高度和谐的课堂,必须从职高学生的实际出发,实实在在地了解他们知道些什么、知道得是否全面、还有哪些方式、方法是模糊不清的。所以,在数学教学中,我们要尽可能地关注学生的动态,通过心灵沟通去打动和影响他们;尽量全面揭示数学问题的实质,将枯燥的数学学习变得生动有趣;努力创设学生熟悉、擅长的情境,重视知识产生和发展的过程,让数学不再神秘莫测,而是可亲可近的,更多地关注数学思维对学生的熏陶以及学生素养的提高。如果我们掌握了解决数学问题的思维方法,就能得出生动的结论,数学就能显示出其无穷的魅力。唯有这样,我们的学生才能“亲其师,信其道,笃其行”。
  一、维度一:重视方法起源,开展投石问路,加快思维进度
  作为人类认识世界、改造世界的重要工具之一的数学,它的基础知识和基本技能是十分重要的。从数学的发展历程中,我们应该给自己设置几个疑问:问题是怎样提出的,概念是怎样形成的,结论是怎样探索和猜测到的,以及证明的思路和计算的想法是怎样形成的。这样,学生在教师的引导下,以学习主人的心态了解、参与数学知识的发生过程、思维的展开过程,改变被动学习、机械训练的状况,发挥学生的主体性,以此来加快他们思维完善的进度。
  案例1 函数y=(x2+ax+1)1/2定义域为R,求a的取值范围。
  第一次面对这样的题,大部分职高学生无从
  下手。
  台阶1:此时教师把问题改成方程x2+ax+1=0何时有两解?何时有一解?何时无解?
  学生:根据二次方程根的判别式:△>0时有两解;△=0时有一解;△<0时无解。
  台阶2:函数y=x2+ax+1整个图像都在x轴的上方,试求a的取值范围。
  学生1:与x轴无交点。
  学生2:△>0。
  学生3:不对,应该是△<0。
  教师:△>0时图像与x轴有几个交点?△<0时图像与x轴有几个交点?
  台阶3:不等式x2+ax+1≥0的解集为R,试求a的取值范围。
  学生3:很简单,△≤0。
  问题:函数y=(x2+ax+1)1/2的定义域为R,求a的取值范围。
  学生1:不等式x2+ax+1≥0的解集为R,所以△≤0。
  学生2:以上所有问题的关键是△,就叫判别式法吧。
  评析:学生无法下手解决的问题,大多数是因为读不懂题目,不明白题目所表达的意图,那么,试探法无疑是拨开云雾,厘清思路的最有效办法。通过引导学生去寻找判别式法的发源地,学生能够身临其境地体验它的诞生和应用,为今后的灵活运用打下了坚实的基础。
  数学教学应让学生在获得知识的过程中,逐步形成科学的思维方式,培养学生认真求实,追求效率的学习态度和习惯。这种(判别式法)来源于实践,又服务于实践的辩证唯物主义观点在课堂中很自然地得以体现,数学教师也能成为学生心目中的哲学家。
  二、维度二:依据教学内容,创设变式训练,把控思维梯度
  在职高数学教学中,不要求教学内容非常严谨,但是解题方法必须是严谨的。课堂教学的本质是提升学生思维的活跃度。在课堂教学中,教师在教学过程中适时变动一些教学内容,创设一些变式练习,让学生在变式中思辨,哪些问题是形式在改变,而问题的实质没有变;哪些问题是问题的形式没有变化,而问题的实质发生了根本变化。在变和不变中,引导学生思辨问题的本质,参透知识的关联性。当然,教师创设问题时,必须依据学生的实际情况,把握思维的梯度,台阶不能太高,也不能太低。尤其是不能让学生有跳跃感,适度提升问题的难度,形成合理的知识迁移,有效地控制教学的思维梯度,从而拓展学生的思维深度。
  案例2 在交、并集的运算讲解时,教师首先采用简单数集的交并集的求法。如:A={1,2,3},B={3,4,5},求A∩B以及A∪B。学生们也深刻理解了交集与并集的概念。
  为了提升思维的深度,教师安排了以下几个问题:
  变式1:集合A=(1,3),B=(2,4),求A∩B以及A∪B;
  变式2:集合A=(1,+∞),B=(2,4),求A∩B以及A∪B;   变式3:集合A=(1,+∞),B=(2,+∞),求A∩B以及A∪B;
  变式4:集合A=(1,+∞),B=(-∞,4),求A∩B以及A∪B;
  评析:以上变式的学习,可以使学生对概念的理解逐渐加深,问题由浅入深地发生变化,但解决问题的方法和思路没变。这就强化了学生对这一问题的认识。这类问题的解答,树立的是学生的信心,增强的是学生的勇气,获得的是成功的喜悦。
  所谓一堂课的质量,不仅仅是看教学方法、教学形式和教学手段的展现,更主要的是看课堂的思维容量的大小,学生思维密度和强度如何。也就是说,要对课堂教学怎样精心设计和科学安排,对于较难的问题,在教学时有意识地将其分解,通过解题训练培养学生的自信心,让学生体验学习成功的快乐,然后再慢慢引申,循序渐进地引导学生寻找条件和结论之间的联系,展示知识发生、发展的过程。笔者坚信,只要这样坚持下去,学生明白了知识的来龙去脉,就会记得牢,用得准,就能实现由懂到会,由会到掌握,由掌握到灵活运用的飞跃。
  三、维度三:优化教学手段,串联相近知识,提升思维高度
  波利亚认为:“数学有两个侧面,它是欧几里得式的严谨科学,但也是别的什么东西。由欧几里得方法提出来的数学看起来像是一门系统的演绎科学,但在创造过程中的数学看起来却像是一门实验性的归纳科学。”编织知识网络,寻找所学内容主线,在主线的引导下,以全新的逻辑链和职高学生的思维链将原来的知识重新梳理与整合,挖掘知识的内在联系。在教学中要做到,串点为线,聚线为面,面中显点,以点带面。
  教学的方法对于学生来说是很重要的。在教学过程中,教师要合理地选用一些教学手段,使得一些相互联系的知识点串联在一起,既可以复习旧知识,又可以习得解决问题的方法和形成解决此类问题的思维模式。在知识的差异变化中,分辨自己存在的错误。知识在思辨中形成,解决问题的能力在思辨中提升。
  案例3:在三角函数结束后,根据职高学生的实际情况,为了串联相近知识,教师编写如下问题。求下列各式的值:
  1.2sin15°cos15° 2.cos15°cos15°
  3.cos20°cos40°cos80° 4.sin15°+cos15°
  5. sin15°+cos15°
  这一组练习基本采用的是配凑法,通过乘一个数,除一个数,把三角里面的二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式、两角和的余弦公式都串联在一起,使学生有了对三角公式的充分理解。
  评析:由于教学内容在编排上有层次性,难度上有梯度性,同时在课堂教学中,留出大量的时间让学生参与教学活动,让他们动手动脑,主动探索,自己发现规律并归纳结论。这样灵活多样的教学方法,教学效果令人满意。所以,教师应当把握教学的主线,做到泾渭分明,讲究知识之间的联系,帮助学生建立一个良好的认知结构。如果说,没有系统的知识,好比一盘散落的珍珠,无从下手,那么良好结构的知识就像一串精美的珍珠项链,排列有序,用一颗就能戴起整串。
  这种利用相近知识点来解答同一道习题的教学手段,不仅可以有效地巩固学生的知识基础,更可以通过这种教学手段来强化教学的强度。在职高学生可以接受的程度之下适当地提高教学的强度,不仅能够有效地提高学生的上课积极性,激发学生的学习热情,还可以使学生在这种强度较高的教学中提高自身的思维强度。
  四、维度四:分析问题本质,更新解题方法,提升思维高度
  职高学生在解决数学问题时,通常显得反应迟钝或无助,很大一个原因是方法理解得不够到位,导致知识不能灵活运用。其实,认知是要有一个曲折的过程,要尊重学生的认知特点,发扬民主,认真倾听学生的观点,关注学生思维的火花,同时注意艺术性地引导启发,适时介入学生的探究活动,调整他们的思维方向,让学生不断更新对知识的理解程度,切实提高思维能力,提升他们的思维高度。
  案例4:方程x2sina+y2cosa=1。试讨论0°≤a≤
  360°方程所表示的曲线。
  当这样的问题一呈现,大部分学生会停留在椭圆的层面上。
  教师:a=210°时,sina=?cosa=?那么方程表示什么曲线。
  学生:方程不表示任何图形。
  教师:那我们选一些特殊角来分析。
  让学生讨论:根据0°≤a≤360°范围可选哪些特殊角来代表?学生讨论分析得出以下情况:
  1.a=0°,sina=0、cosa=1,y=±1方程表示两条直线;
  2.a=30°,sina=、cosa=,方程表示椭圆;
  3.a=90°,sina=1、cosa=0,x=±1方程表示两条直线;
  4.a=120°,sina=?、cosa=?,方程表示双曲线;
  ……
  评析:学生从第一象限到第四象限,从x轴的正半轴到y轴的负半轴,认真分析、归纳。在此过程中知识从直线、椭圆到双曲线,方法从特殊值法到一般法,思维从具体到抽象。通过这样的辨析和反思,更新解题方法,学生的思维能力得到了很大的提高。
  我们常说,学一门手艺很重要,但换一种思维更重要。面对纷繁复杂的世界,我们必须要敢于打破挡在自己面前的这扇门,及时改变自己,用思辨的眼光去看问题,提高自己对问题的解决能力。在夯实职高学生基础的同时,又不断刷新思维高度。这样,数学教师也能成为学生心目中的建筑学家。
  五、维度五:关注职高学生的成果,提倡一题多解,拓展职高学生的思维
  注重思维多元化,提倡一题多解,对于同一题目,用不同的方法来解决。在解决问题的过程中,学生习得了职高数学的相关知识,更习得了数学的一些方法;形成了自己架构的知识网络,对所学知识起到了一个融会贯通的作用;提高了学生综合运用数学知识与驾驭数学知识的能力,使知识结构更加完善。一题多解还可以提高自我验算的能力,一题多解是多角度思考分析,使用多种解法,殊途同归,答案是相同的,可以用一题多解来判断原来的解法是否正确。一题多解还可以提高学生灵活运用知识、灵活转换角度来解题的能力,可以张开思维的翅膀,在知识的空间尽情地翱翔。这大大有利于培养学生的创造性思维。
  案例5:有5名学生站在一起照相,甲、乙两位同学不能站在一起,共有多少张不同的照片。
  学生提高了以下两种解法。
  解法一:(插空法)由于甲、乙不能站一起,先把其他3名学生排定,再把甲、乙排在其他3人的中间。根据方法可得:3×2×1×4×3=72种。
  解法二:(剔除法)5名学生,没有任何要求的排法为:5×4×3×2×1=120种。甲、乙两人站在一起的排法种数为:2×4×3×2×1=48种。总的排法减去不符合要求的排法:120-48=72种。
  评析:教师对以上解法进行较详细的评价,并提出总结此种类型题目的方法,让学生能通过总结,实现用同一题目引导学生转换视角,根据题目变化的需要适当进行选择。这种一题多法的变式训练有助于学生掌握这种方法的特点,拓展他们在解决放缩问题上的思维角度,将所学的知识纵向加深,横向沟通,寻求不同的解法,将灵活运用知识的能力体现得淋漓尽致。这不仅提高了学生对数学的认识,增强了他们的思辨能力,提升了他们分析问题和解决问题的能力,更为重要的是通过学生再研究的过程,使他们在体验的过程中提升自己,找到超越的快乐、发现的快乐。
  数学教学不应局限于数学知识的获得和解题技巧的掌握,更重要的是数学能力的提升、数学思维的形成和职高学生健全人格的养成。所以在数学教学中,不仅要注重积极營造宽松、和谐、民主的师生活动氛围,还要注重内容的活泼多样,思维的层层深入。这就要求自己不能就题论题,而要善于变通,通过对典型问题进行详尽的剖析、变式,多维度揭示问题中蕴含的数学思想和方法,才能使学生对所学知识进行充分理解和掌握运用,进而提升他们的解题思辨力。
  参考文献:
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  (作者单位:富阳区职业教育中心)
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