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一元二次方程是初中数学“方程家族”最后一个亮相的方程，同学们有前面学习方程的基础，会感觉非常容易上手，但在解题的过程中经常会出现“不明原因”的错误。其实这是对方程概念理解得不够透彻，在解题过程中缺乏思考导致。
一、忽视对一元二次方程概念的理解
例1 若关于x的一元二次方程（m-1）·x2-3x m2-1=0有一个根是0，则m的值为 。
【错解】把x=0代入方程得m2-1=0，解得m=±1，∴m的值为±1。
【正解】同上解得m=±1。∵此为一元二次方程，∴m-1≠0，m≠1，∴m=-1，即m的值为-1。
例2 若关于x的一元二次方程（k-1）·x2-2kx k-3=0有实数根，则k的取值范围为 。
【错解】因为此一元二次方程有实数根，根据根的判别式得Δ≥0，即Δ=（-2k）2-4（k-1）×（k-3）≥0，解得k≥[34]。∴k的取值范围为k≥[34]。
【正解】同上解得k≥[34]。又∵k-1≠0，k≠1，∴k的取值范围为k≥[34]且k≠1。
【剖析】这两个例题虽然看似不同，例1考查的是方程的概念，例2考查的是根的判别式，但是做错的原因却是相同的。一元二次方程的概念强调，二次项系数必须不为0，在解题过程中如果忽略这个重要前提，解答就会出错。
【点评】我们在学习一元二次方程概念的时候，不能只关注概念的表象，更要关注概念的内涵，在解题过程中要加强思维的深度和广度，关注每个已知条件，以免出错。
二、忽视对一元二次方程有实数根的理解
例3 下列一元二次方程中，两根之和为1的是（ ）。
A.x2 x 1=0 B.x2-x 3=0
C.2x2-x-1=0 D.x2-x-5=0
【错解】由一元二次方程根与系数关系x1 x2=[-ba]，部分同学看到选项B满足条件即完成解答，选择了B。
【正解】由根与系数的关系可得x2-x 3=0与x2-x-5=0的两根之和为1，选项B、D均符合条件。但B选项的方程x2-x 3=0中Δ<0，无实根，D选项的方程x2-x-5=0有实数根且两根之和为1，所以只能选D。
例4 关于x的方程x2 2（k 2）x k2=0的两实根之和大于-4，则k的取值范围是（ ）。
A.k>-1 B.k<0
C.-1 【错解】根据根与系数的关系求出x1 x2=-（2k 4）>-4，求出k<0。故选B。
【正解】根据条件可得此为一元二次方程，且有两个实数根，由根的判别式求出b2-4ac=[2（k 2）]2-4×1×k2=16k 16≥0，即k≥-1;根据两实根之和大于-4这个条件，由根与系数的关系求出-（2k 4）>-4，即k<0，所以k的取值范围是-1≤k<0。故选D。
【剖析】这两个选择题虽然看似难度不高，但错误率都比较高，做错的原因也完全相同。答题过程中同学们只关注题目中呈现的方程两根满足的条件，利用根与系数关系直接获取答案，忽略了运用根与系数关系的前提是此一元二次方程要有实数根。
【点评】这两题考查了根的判别式和根与系数的关系。我们要注意，应用根与系数的关系式的前提条件是一元二次方程ax2 bx c=0中a≠0且b2-4ac≥0。因此，在做此类题目的时候，我们要仔细审题，圈出关键字，找寻到相关条件，提升思维的严密性。
三、忽视实际意义，未检验结果的合理性
例5 已知关于x的方程x2-（2k-3）x k2-3k-10=0。
（1）求证：无论k为何值，这个方程总有两个不相等的实数根。
（2）已知Rt△ABC的斜边AB的长为5，是否存在实数k，使Rt△ABC的两直角边AC、BC的长是这个一元二次方程的两个实数根？如果存在，求出k的值;如果不存在，请说明理由。
【错解】（1）由根的判别式即可得出Δ=49>0，则无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根。
（2）在Rt△ABC中，斜边AB=5，两边BC、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k-3）x k2-3k-10=0的两个实数根，
∴BC2 AC2=25，BC AC=2k-3，BC·AC=k2-3k-10。
∵BC2 AC2=（BC AC）2-2BC·AC=25，
∴（2k-3）2-2·（k2-3k-10）=25，
化简，得k2-3k 2=0，∴k1=2或k2=1。
答：k的值为2或1。
【正解】（1）同上。（2）同上求得k值。
当k1=2时，此方程为x2-x-12=0，BC·AC=-12<0，即BC和AC是一正数一负数，不符题意，故舍去;
当k2=1时，此方程为x2 x-12=0，同样BC和AC是一正数一负数，不符题意，故舍去。
∴不存在实数k，使Rt△ABC的斜边为5且两直角边AC、BC的长是这个一元二次方程的两个实数根。
【剖析】本题的解题思路是利用直角三角形勾股定理建立方程，通過三角形的边是方程的根的条件，运用根与系数关系将边的关系转化为关于k的方程，转化过程中需要进行必要的恒等变形，难度有所提升。但同学们在解题过程中出现的最大的问题则是针对实际问题没有检验结果的合理性。第一问虽然已经判断出此方程肯定有两个实数根，但三角形的边是此方程的解，就需要额外满足此方程有两个正根的条件。
【点评】本题的第二问错误率极高，反映了同学们在解题的时候思维不够严密。一元二次方程是初中数学的一个重要内容，也是中考的重要考点，在学习过程中要加强对概念的理解，解题过程中要关注每个条件，实际问题要学会检验结果的合理性，提升自己思维的深度、广度和严谨性。
（作者单位：江苏省无锡市东林中学）
一、忽视对一元二次方程概念的理解
例1 若关于x的一元二次方程（m-1）·x2-3x m2-1=0有一个根是0，则m的值为 。
【错解】把x=0代入方程得m2-1=0，解得m=±1，∴m的值为±1。
【正解】同上解得m=±1。∵此为一元二次方程，∴m-1≠0，m≠1，∴m=-1，即m的值为-1。
例2 若关于x的一元二次方程（k-1）·x2-2kx k-3=0有实数根，则k的取值范围为 。
【错解】因为此一元二次方程有实数根，根据根的判别式得Δ≥0，即Δ=（-2k）2-4（k-1）×（k-3）≥0，解得k≥[34]。∴k的取值范围为k≥[34]。
【正解】同上解得k≥[34]。又∵k-1≠0，k≠1，∴k的取值范围为k≥[34]且k≠1。
【剖析】这两个例题虽然看似不同，例1考查的是方程的概念，例2考查的是根的判别式，但是做错的原因却是相同的。一元二次方程的概念强调，二次项系数必须不为0，在解题过程中如果忽略这个重要前提，解答就会出错。
【点评】我们在学习一元二次方程概念的时候，不能只关注概念的表象，更要关注概念的内涵，在解题过程中要加强思维的深度和广度，关注每个已知条件，以免出错。
二、忽视对一元二次方程有实数根的理解
例3 下列一元二次方程中，两根之和为1的是（ ）。
A.x2 x 1=0 B.x2-x 3=0
C.2x2-x-1=0 D.x2-x-5=0
【错解】由一元二次方程根与系数关系x1 x2=[-ba]，部分同学看到选项B满足条件即完成解答，选择了B。
【正解】由根与系数的关系可得x2-x 3=0与x2-x-5=0的两根之和为1，选项B、D均符合条件。但B选项的方程x2-x 3=0中Δ<0，无实根，D选项的方程x2-x-5=0有实数根且两根之和为1，所以只能选D。
例4 关于x的方程x2 2（k 2）x k2=0的两实根之和大于-4，则k的取值范围是（ ）。
A.k>-1 B.k<0
C.-1
【正解】根据条件可得此为一元二次方程，且有两个实数根，由根的判别式求出b2-4ac=[2（k 2）]2-4×1×k2=16k 16≥0，即k≥-1;根据两实根之和大于-4这个条件，由根与系数的关系求出-（2k 4）>-4，即k<0，所以k的取值范围是-1≤k<0。故选D。
【剖析】这两个选择题虽然看似难度不高，但错误率都比较高，做错的原因也完全相同。答题过程中同学们只关注题目中呈现的方程两根满足的条件，利用根与系数关系直接获取答案，忽略了运用根与系数关系的前提是此一元二次方程要有实数根。
【点评】这两题考查了根的判别式和根与系数的关系。我们要注意，应用根与系数的关系式的前提条件是一元二次方程ax2 bx c=0中a≠0且b2-4ac≥0。因此，在做此类题目的时候，我们要仔细审题，圈出关键字，找寻到相关条件，提升思维的严密性。
三、忽视实际意义，未检验结果的合理性
例5 已知关于x的方程x2-（2k-3）x k2-3k-10=0。
（1）求证：无论k为何值，这个方程总有两个不相等的实数根。
（2）已知Rt△ABC的斜边AB的长为5，是否存在实数k，使Rt△ABC的两直角边AC、BC的长是这个一元二次方程的两个实数根？如果存在，求出k的值;如果不存在，请说明理由。
【错解】（1）由根的判别式即可得出Δ=49>0，则无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根。
（2）在Rt△ABC中，斜边AB=5，两边BC、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k-3）x k2-3k-10=0的两个实数根，
∴BC2 AC2=25，BC AC=2k-3，BC·AC=k2-3k-10。
∵BC2 AC2=（BC AC）2-2BC·AC=25，
∴（2k-3）2-2·（k2-3k-10）=25，
化简，得k2-3k 2=0，∴k1=2或k2=1。
答：k的值为2或1。
【正解】（1）同上。（2）同上求得k值。
当k1=2时，此方程为x2-x-12=0，BC·AC=-12<0，即BC和AC是一正数一负数，不符题意，故舍去;
当k2=1时，此方程为x2 x-12=0，同样BC和AC是一正数一负数，不符题意，故舍去。
∴不存在实数k，使Rt△ABC的斜边为5且两直角边AC、BC的长是这个一元二次方程的两个实数根。
【剖析】本题的解题思路是利用直角三角形勾股定理建立方程，通過三角形的边是方程的根的条件，运用根与系数关系将边的关系转化为关于k的方程，转化过程中需要进行必要的恒等变形，难度有所提升。但同学们在解题过程中出现的最大的问题则是针对实际问题没有检验结果的合理性。第一问虽然已经判断出此方程肯定有两个实数根，但三角形的边是此方程的解，就需要额外满足此方程有两个正根的条件。
【点评】本题的第二问错误率极高，反映了同学们在解题的时候思维不够严密。一元二次方程是初中数学的一个重要内容，也是中考的重要考点，在学习过程中要加强对概念的理解，解题过程中要关注每个条件，实际问题要学会检验结果的合理性，提升自己思维的深度、广度和严谨性。
（作者单位：江苏省无锡市东林中学）