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摘 要:应用安培环路定理可以较为简便地计算某些具有特定对称性的载流导线的磁场分布,本文就应用安培环路定理计算磁场分布时闭合回路的选取作一些讨论。
关键词:安培环路定理 闭合回路
中图分类号:TP2 文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2011)12(a)-0080-01
安培环路定理是电磁学中的一条重要定理。虽然在安培环路定理的文字表述中,表达式左端的线积分可以沿任意闭合曲线L,但实际上,针对某些具有特定对称性的载流导线的磁场,只有选取合适的闭合回路,才便于计算出描述磁场性质的物理量—— 磁感强度。因此,在应用安培环路定理计算磁感强度时,闭合回路的选取是非常重要的一个步骤,如何选取闭合回路,选取什么样的闭合回路才合适是个关键问题。而在各种版本的《大学物理学》教材中,均未对该问题作出较为细致的阐述,本文就针对闭合回路的选取这个问题,通过举例进行说明。
应用安培环路定理计算磁感强度时,闭合回路的选取之所以重要,在于闭合回路关系到积分路径L。当磁场具有某些特定对称性时,选取合适的闭合回路,便于将表达式左端的矢量积分转换为标量积分,还可进一步使得部分(甚至全部)积分路径上的磁感强度处处相等,在积分时就可将作为常量不参与积分,从而使得计算积分变得比较容易。要达到上述目的,需对闭合回路的选取作以下几个方面的考虑。
1 闭合回路的形状
闭合回路的形状是要考虑的首要问题,应尽量使得所选闭合回路上任意线元和线元处磁感应强度的夹角为0°、90°、180°等特殊角,便于将化简为关于标量B和dl的关系式。选取合适形状的闭合回路,还可使得部分(甚至全部)积分路径上的磁感强度处处相等,在积分时就可将作为常量不参与积分,则只需要对该部分回路的长度积分(即只计算)就可以了,简化了计算过程。结合一些常见例子可知,所求磁场中磁感线为圆时,积分回路适合选圆形回路,若磁感线为平行直线时,则选矩形回路更合适。
2 闭合回路的大小和放置的位置
闭合回路的大小和放置的位置的选择也要视情况,不能随意而定。闭合回路应至少有部分放置于所求磁场区域中,若分析可得磁感强度不为零,则回路中应包围有电流。另外,选择闭合回路放置的位置时,也要考虑尽量使得回路上任意线元和线元处磁感应强度的夹角为0°、90°、180°等特殊角。比如,所求磁场中磁感线为圆时,积分回路选为圆形回路,且要与磁感线是同心圆。
3 闭合回路的方向
闭合回路的方向一般令其与所围电流的方向遵循右手(螺旋)定则,可使得部分(甚至全部)积分路径上的线元与线元处磁感强度同向,则该部分积分有,便于计算。
4 举例
利用安培环路定理计算磁场分布的例子比较多,下面将上述方法应用到其中两个常见例子。
例1:设有一长直螺线管单位长度上密绕n匝线圈,通过每匝的电流强度为I,求管内某点P的磁感强度。
分析:由于螺线管很长,管内中间部分的磁场是匀强的,方向与螺线管轴线平行,管外侧的的磁场沿着与轴线垂直的圆周方向且与管内磁场相比很微弱,可视为[1]。针对这种磁场分布,用矩形回路比其他形状的回路更合适。同时,回路的大小和放置的位置不同,也会影响到最后能否计算出正确结果。
图1中作有三个不同的矩形回路(虚线部分),对回路,由于所围电流垂直向外,将回路方向定为逆时针方向。通过分段分析,ab段和cd段与磁场方向相垂直,则;bc段处于螺线管外,;只有da段与磁场方向相同且磁场是匀强的,。利用安培环路定理,有,与事实相符。对回路,没有包围的有电流,得到的结果,显然与事实不符。对回路,虽然包围有电流,但包围的电流垂直向内和垂直向外的同样多,也得到的错误结果。通过比较可知,三个矩形回路虽然形状、方向相同,但大小、放置的位置不同,只有回路才能计算出正确的结果。
例2:如图2,设有一内部为真空的螺绕环,环上均匀地密绕有N匝线圈,线圈中的电流为I,求该螺绕环内的磁场。
分析:由于环上的线圈绕得很密集,环外的磁场很微弱,可以略去不计,磁场几乎全部集中在螺绕环内,此时,呈对称分布的电流使磁场也具对称性,导致环内的磁感线成同心圆,且同一圆周上各点的磁感强度大小相等,方向沿圆周的切向[2]。针对这种磁场分布,显然选与磁感线同心的圆形闭合回路更合适,可以保证闭合回路上任意线元处大小相等,且与该处平行,将化简为或,方便积分。如上图,选与磁感线同心同向的圆形闭合回路(虚线部分),且回路半径r介于和之间,有:
(其中r即到螺绕环环心的距离),非常简便地计算出结果。若或,则求出来的为螺绕环外部磁场的磁感强度,不符合题意。
总之,个人认为,在应用安培环路定理计算某些具有特定对称性的载流导线的磁场分布的问题中,选取闭合回路时,同时考虑回路的形状、大小、放置的位置、方向这几个要素,就可以找到合适的积分回路,较简便地计算出正确结果。
参考文献
[1] 赵近芳.2008大学物理学[M].北京邮电大学出版社,第9章:61～62.
[2] 马文蔚.2006物理学[m].高等教育出版社,第7章:257～258.
关键词:安培环路定理 闭合回路
中图分类号:TP2 文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2011)12(a)-0080-01
安培环路定理是电磁学中的一条重要定理。虽然在安培环路定理的文字表述中,表达式左端的线积分可以沿任意闭合曲线L,但实际上,针对某些具有特定对称性的载流导线的磁场,只有选取合适的闭合回路,才便于计算出描述磁场性质的物理量—— 磁感强度。因此,在应用安培环路定理计算磁感强度时,闭合回路的选取是非常重要的一个步骤,如何选取闭合回路,选取什么样的闭合回路才合适是个关键问题。而在各种版本的《大学物理学》教材中,均未对该问题作出较为细致的阐述,本文就针对闭合回路的选取这个问题,通过举例进行说明。
应用安培环路定理计算磁感强度时,闭合回路的选取之所以重要,在于闭合回路关系到积分路径L。当磁场具有某些特定对称性时,选取合适的闭合回路,便于将表达式左端的矢量积分转换为标量积分,还可进一步使得部分(甚至全部)积分路径上的磁感强度处处相等,在积分时就可将作为常量不参与积分,从而使得计算积分变得比较容易。要达到上述目的,需对闭合回路的选取作以下几个方面的考虑。
1 闭合回路的形状
闭合回路的形状是要考虑的首要问题,应尽量使得所选闭合回路上任意线元和线元处磁感应强度的夹角为0°、90°、180°等特殊角,便于将化简为关于标量B和dl的关系式。选取合适形状的闭合回路,还可使得部分(甚至全部)积分路径上的磁感强度处处相等,在积分时就可将作为常量不参与积分,则只需要对该部分回路的长度积分(即只计算)就可以了,简化了计算过程。结合一些常见例子可知,所求磁场中磁感线为圆时,积分回路适合选圆形回路,若磁感线为平行直线时,则选矩形回路更合适。
2 闭合回路的大小和放置的位置
闭合回路的大小和放置的位置的选择也要视情况,不能随意而定。闭合回路应至少有部分放置于所求磁场区域中,若分析可得磁感强度不为零,则回路中应包围有电流。另外,选择闭合回路放置的位置时,也要考虑尽量使得回路上任意线元和线元处磁感应强度的夹角为0°、90°、180°等特殊角。比如,所求磁场中磁感线为圆时,积分回路选为圆形回路,且要与磁感线是同心圆。
3 闭合回路的方向
闭合回路的方向一般令其与所围电流的方向遵循右手(螺旋)定则,可使得部分(甚至全部)积分路径上的线元与线元处磁感强度同向,则该部分积分有,便于计算。
4 举例
利用安培环路定理计算磁场分布的例子比较多,下面将上述方法应用到其中两个常见例子。
例1:设有一长直螺线管单位长度上密绕n匝线圈,通过每匝的电流强度为I,求管内某点P的磁感强度。
分析:由于螺线管很长,管内中间部分的磁场是匀强的,方向与螺线管轴线平行,管外侧的的磁场沿着与轴线垂直的圆周方向且与管内磁场相比很微弱,可视为[1]。针对这种磁场分布,用矩形回路比其他形状的回路更合适。同时,回路的大小和放置的位置不同,也会影响到最后能否计算出正确结果。
图1中作有三个不同的矩形回路(虚线部分),对回路,由于所围电流垂直向外,将回路方向定为逆时针方向。通过分段分析,ab段和cd段与磁场方向相垂直,则;bc段处于螺线管外,;只有da段与磁场方向相同且磁场是匀强的,。利用安培环路定理,有,与事实相符。对回路,没有包围的有电流,得到的结果,显然与事实不符。对回路,虽然包围有电流,但包围的电流垂直向内和垂直向外的同样多,也得到的错误结果。通过比较可知,三个矩形回路虽然形状、方向相同,但大小、放置的位置不同,只有回路才能计算出正确的结果。
例2:如图2,设有一内部为真空的螺绕环,环上均匀地密绕有N匝线圈,线圈中的电流为I,求该螺绕环内的磁场。
分析:由于环上的线圈绕得很密集,环外的磁场很微弱,可以略去不计,磁场几乎全部集中在螺绕环内,此时,呈对称分布的电流使磁场也具对称性,导致环内的磁感线成同心圆,且同一圆周上各点的磁感强度大小相等,方向沿圆周的切向[2]。针对这种磁场分布,显然选与磁感线同心的圆形闭合回路更合适,可以保证闭合回路上任意线元处大小相等,且与该处平行,将化简为或,方便积分。如上图,选与磁感线同心同向的圆形闭合回路(虚线部分),且回路半径r介于和之间,有:
(其中r即到螺绕环环心的距离),非常简便地计算出结果。若或,则求出来的为螺绕环外部磁场的磁感强度,不符合题意。
总之,个人认为,在应用安培环路定理计算某些具有特定对称性的载流导线的磁场分布的问题中,选取闭合回路时,同时考虑回路的形状、大小、放置的位置、方向这几个要素,就可以找到合适的积分回路,较简便地计算出正确结果。
参考文献
[1] 赵近芳.2008大学物理学[M].北京邮电大学出版社,第9章:61～62.
[2] 马文蔚.2006物理学[m].高等教育出版社,第7章:257～258.