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【摘要】本文结合数学教学实践，以“植树问题”这一经典案例的教学为例，从学生的实际生活中提炼模型，让学生充分经历与感受建模的过程，并引导他们将所建模型最终运用到实践中去，提升学生的数学学习能力。
【关键词】小学数学;建模思想;植树问题
中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：0493-2099（2020）23-0143-02
Mathematical modeling：let learning happen deeper
——Taking the"Planting Tree Problem"in the Fifth Grade Book of the People’s Education Edition as an Example to Explore the Construction of a Mathematical Model
（Teacher Training School，Changting County，Longyan City，Fujian Province，China）ZHONG Binding
【Abstract】This article combines the teaching practice of mathematics with the teaching of the classic case of"tree planting problem"as an example to extract models from students’actual lives，let students fully experience and feel the process of modeling，and guide them to finally apply the built models to In practice，improve stu‐dents’mathematics learning ability.
【Keywords】Primary school mathematics;Modeling ideas;Tree planting problems
一、创设情境，感知模型
小学生的思维特点主要以感性思维为主，其能够理解的数学知识是建立在现实的基础之上的，是以过往知识作为基础的一种认知历程。所以，在教学片段中，将教材内容以学生熟悉的“手指指间间隔现象”呈现，再通过列举生活中存在的间隔现象，让学生初步感受到亲切、真实、有趣的数学模型，感知数学模型的存在。
二、提炼信息，抽象模型
出示练习1：一条长为20米的路，5米一段，可以分为几段？1.学生独立解题，教师了解学生的解题情况。2.学生汇报解题思路。让学生在问题解答中抽象出“包含除法”模型，即：总数÷每份数=份数。因为“植树问题”模型就是“包含除法”模型的拓展，“植树问题”中的“树”是植在“段”对应的“点”上。明白了这一点，就为学生构建点段关系的“植树问题”模型奠定了基础。
出示练习2：一条公路长为20米，在其一侧植树，树与树的间隔为5米，公路的两边均植树，请问一共需要植多少棵树？1.学生读题审题，提取有关“植树”模型的数学信息。2.学生反馈。学生1：公路长是多少米？20米（总量）。学生2：每隔多少米植一棵？5（每份数）。学生3：有几段？4（份数）。学生4：植树的要求？（两端都植）。学生5：一共要植多少棵？（算一共有几个对应点？）。数学问题与人们的生活密不可分，又充满着无穷趣味。以上的习题设计，最重要的一个目的就是使学生认识到现实中的植树问题，“树”与“间隔”可以抽象为数学模型中的“点”和“段”。
三、尝试探索，建立模型
对“练习2”作进一步分析、归纳。教师：请同学们认真思考公路的总长、间隔距离以及段数三者之间的关系，并画出相应的植树方案示意图。学生：总长÷间隔距离=间隔数（段数）。教师：说说你是怎么想的？那要求出植树的棵数该怎么算？学生：先求出间隔数，即：20÷5=4（个）。这道练习题，每一个间隔对应了一棵树，则需要4棵树。4棵树植完之后，发现还有一棵树没有间隔与之对应，则棵数比间隔多1。这样，在进行棵数计算时，需要用相应的间隔数加1。教师：那怎么列式计算呢？学生：20÷5=4（个）;4 1=5（棵）。小学生无论是知识经验还是思维水平，都相当有限，所以教师在引导学生进行建模的过程中，要引导学生充分经历并感知观察、分析、实践、推理、解决问题、发现规律的全过程。在这个教学环节，教师让学生在画示意图中了解植树的过程，建立“段”“点”对应的数学模型，让学生体会到了从生活原型转变为数学模型的过程与方法，也在此过程中掌握了问题解决的方式方法，为后续数学模型的建构打下了基础。
四、归纳分析，验证模型
出示练习3：公路全长为20米，在其一侧进行植树，每隔5米1棵树，则可以怎样植树，植多少棵树？教师：请同学们根据以上问题，画出相应的示意图，并列出算式进行计算，可以植几棵树。学生1：我植的是5棵。学生2：我植的是4棵。学生3：我植的是3棵。教师：为什么同一个题目，同学们会得出不同的结果呢？学生通過交流和讨论得出：在植树的过程中，如果植树的要求不同，则即使其他条件一样，所植棵树也是不同的。植5棵树，是因为在公路的两端都有植树;植4棵树，是因为只在公路的一端植树;植3棵树，则是因为在公路的两端均未植树。教师：请同学们分别列出三种植树方法的算式。学生：两端都植，20÷5=4，4 1=5。一端植，20÷5=4。两端都不植，20÷5=4，4-1=3。教师：同学们请仔细思考以上三种情况，看看其中蕴含了什么规律？学生：两端都植，棵数=间隔数 1。一端植，棵数=间隔数。两端均不植，棵数=间隔数-1。 著名数学家华罗庚先生认为，对于教材中所出现的数学公式、定理等，学生仅记住结论是远远不够的，更重要的是要明确其从何而来，知其然并知其所以然。所以，教师让学生在模型构建的过程中发现植树的三种情况，并且掌握这三种植树方法的计算道理，从中抽象出相应的数学模型。出示例题：一条山间小路长为100米，现决定在靠近山的一侧植树，每棵树的间隔距离为5米，路的两端都需要植，需要多少棵树？教师：根据刚才已经掌握的三种植树的极端方法，我们能快速地解决这道题吗？学生：先求出间隔数，100÷5=20，有20个间隔;两端都植，棵数=间隔数 1。列式计算：100÷5=20（个），20 1=21（棵）。
课堂教学中，为保证学生良好的学习效果，教师要注重课堂教学的“留白”，给予学生充足的思考时间，并引导他们利用已经掌握的知识去解决新的问题，寻找科学的解题办法，使学生明白“植树问题”就是一个数学模型，其本质就是一一对应。
五、拓展创新，应用模型
出示练习4：一圆形花坛周长为30米，现要在花坛周围种一圈月季，为控制好月季的密度，每5米种一棵，一共需要多少棵月季？教师：想一想，这又是属于哪一种植树方式？学生：假如把环形植树的线路拉直，这一种植树方式就是属于一端植的现象，所以，植树的棵数=间隔数，即：30÷5=6（棵）。出示练习5：为迎接国庆节的到来，古城墙的正面共插了50面小彩旗，彩旗之间的间隔均为4米，则古城墙长度为多少？教师：以小组为单位，讨论以上问题的解决思路、方法与步骤。学生1：即已知棵树与间距，求总长。学生2：两端都植的计算方法是“棵数=间隔数 1”，由“棵数=间隔数 1”推算出“间隔数=棵数-1”，所以，古城墙插彩旗间的间隔数是“50-1=49个”。学生3：总长=间隔数×间隔距离。列式计算：（50-1）×4=196（米）。
数学知识来源于生活，最终也将运用于生活，数学建模思想的宗旨也是要最终回归到生活之中，引导学生解决生活中遇到的实际问题。从而实现从解决一个问题到解决一类问题（一般问题）的转变，认识到在数学学习中构建数学模型的重要性。
六、结语
综上，小学生对于数学建模仍处于探索阶段，教师要善于挖掘学生的建模潜能，关注学生的建模过程，并在关键问题上及时给予学生点拨与帮助，创设真实有效的建模情境，引导学生经历并感受建模的過程，促进学生的数学学习向深处发展。
参考文献：
[1]刘晓棠.基于数学建模的小学“数学广角”教学设计研究[D].重庆师范大学，2017.
（责任编辑 袁霜）
【关键词】小学数学;建模思想;植树问题
中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：0493-2099（2020）23-0143-02
Mathematical modeling：let learning happen deeper
——Taking the"Planting Tree Problem"in the Fifth Grade Book of the People’s Education Edition as an Example to Explore the Construction of a Mathematical Model
（Teacher Training School，Changting County，Longyan City，Fujian Province，China）ZHONG Binding
【Abstract】This article combines the teaching practice of mathematics with the teaching of the classic case of"tree planting problem"as an example to extract models from students’actual lives，let students fully experience and feel the process of modeling，and guide them to finally apply the built models to In practice，improve stu‐dents’mathematics learning ability.
【Keywords】Primary school mathematics;Modeling ideas;Tree planting problems
一、创设情境，感知模型
小学生的思维特点主要以感性思维为主，其能够理解的数学知识是建立在现实的基础之上的，是以过往知识作为基础的一种认知历程。所以，在教学片段中，将教材内容以学生熟悉的“手指指间间隔现象”呈现，再通过列举生活中存在的间隔现象，让学生初步感受到亲切、真实、有趣的数学模型，感知数学模型的存在。
二、提炼信息，抽象模型
出示练习1：一条长为20米的路，5米一段，可以分为几段？1.学生独立解题，教师了解学生的解题情况。2.学生汇报解题思路。让学生在问题解答中抽象出“包含除法”模型，即：总数÷每份数=份数。因为“植树问题”模型就是“包含除法”模型的拓展，“植树问题”中的“树”是植在“段”对应的“点”上。明白了这一点，就为学生构建点段关系的“植树问题”模型奠定了基础。
出示练习2：一条公路长为20米，在其一侧植树，树与树的间隔为5米，公路的两边均植树，请问一共需要植多少棵树？1.学生读题审题，提取有关“植树”模型的数学信息。2.学生反馈。学生1：公路长是多少米？20米（总量）。学生2：每隔多少米植一棵？5（每份数）。学生3：有几段？4（份数）。学生4：植树的要求？（两端都植）。学生5：一共要植多少棵？（算一共有几个对应点？）。数学问题与人们的生活密不可分，又充满着无穷趣味。以上的习题设计，最重要的一个目的就是使学生认识到现实中的植树问题，“树”与“间隔”可以抽象为数学模型中的“点”和“段”。
三、尝试探索，建立模型
对“练习2”作进一步分析、归纳。教师：请同学们认真思考公路的总长、间隔距离以及段数三者之间的关系，并画出相应的植树方案示意图。学生：总长÷间隔距离=间隔数（段数）。教师：说说你是怎么想的？那要求出植树的棵数该怎么算？学生：先求出间隔数，即：20÷5=4（个）。这道练习题，每一个间隔对应了一棵树，则需要4棵树。4棵树植完之后，发现还有一棵树没有间隔与之对应，则棵数比间隔多1。这样，在进行棵数计算时，需要用相应的间隔数加1。教师：那怎么列式计算呢？学生：20÷5=4（个）;4 1=5（棵）。小学生无论是知识经验还是思维水平，都相当有限，所以教师在引导学生进行建模的过程中，要引导学生充分经历并感知观察、分析、实践、推理、解决问题、发现规律的全过程。在这个教学环节，教师让学生在画示意图中了解植树的过程，建立“段”“点”对应的数学模型，让学生体会到了从生活原型转变为数学模型的过程与方法，也在此过程中掌握了问题解决的方式方法，为后续数学模型的建构打下了基础。
四、归纳分析，验证模型
出示练习3：公路全长为20米，在其一侧进行植树，每隔5米1棵树，则可以怎样植树，植多少棵树？教师：请同学们根据以上问题，画出相应的示意图，并列出算式进行计算，可以植几棵树。学生1：我植的是5棵。学生2：我植的是4棵。学生3：我植的是3棵。教师：为什么同一个题目，同学们会得出不同的结果呢？学生通過交流和讨论得出：在植树的过程中，如果植树的要求不同，则即使其他条件一样，所植棵树也是不同的。植5棵树，是因为在公路的两端都有植树;植4棵树，是因为只在公路的一端植树;植3棵树，则是因为在公路的两端均未植树。教师：请同学们分别列出三种植树方法的算式。学生：两端都植，20÷5=4，4 1=5。一端植，20÷5=4。两端都不植，20÷5=4，4-1=3。教师：同学们请仔细思考以上三种情况，看看其中蕴含了什么规律？学生：两端都植，棵数=间隔数 1。一端植，棵数=间隔数。两端均不植，棵数=间隔数-1。 著名数学家华罗庚先生认为，对于教材中所出现的数学公式、定理等，学生仅记住结论是远远不够的，更重要的是要明确其从何而来，知其然并知其所以然。所以，教师让学生在模型构建的过程中发现植树的三种情况，并且掌握这三种植树方法的计算道理，从中抽象出相应的数学模型。出示例题：一条山间小路长为100米，现决定在靠近山的一侧植树，每棵树的间隔距离为5米，路的两端都需要植，需要多少棵树？教师：根据刚才已经掌握的三种植树的极端方法，我们能快速地解决这道题吗？学生：先求出间隔数，100÷5=20，有20个间隔;两端都植，棵数=间隔数 1。列式计算：100÷5=20（个），20 1=21（棵）。
课堂教学中，为保证学生良好的学习效果，教师要注重课堂教学的“留白”，给予学生充足的思考时间，并引导他们利用已经掌握的知识去解决新的问题，寻找科学的解题办法，使学生明白“植树问题”就是一个数学模型，其本质就是一一对应。
五、拓展创新，应用模型
出示练习4：一圆形花坛周长为30米，现要在花坛周围种一圈月季，为控制好月季的密度，每5米种一棵，一共需要多少棵月季？教师：想一想，这又是属于哪一种植树方式？学生：假如把环形植树的线路拉直，这一种植树方式就是属于一端植的现象，所以，植树的棵数=间隔数，即：30÷5=6（棵）。出示练习5：为迎接国庆节的到来，古城墙的正面共插了50面小彩旗，彩旗之间的间隔均为4米，则古城墙长度为多少？教师：以小组为单位，讨论以上问题的解决思路、方法与步骤。学生1：即已知棵树与间距，求总长。学生2：两端都植的计算方法是“棵数=间隔数 1”，由“棵数=间隔数 1”推算出“间隔数=棵数-1”，所以，古城墙插彩旗间的间隔数是“50-1=49个”。学生3：总长=间隔数×间隔距离。列式计算：（50-1）×4=196（米）。
数学知识来源于生活，最终也将运用于生活，数学建模思想的宗旨也是要最终回归到生活之中，引导学生解决生活中遇到的实际问题。从而实现从解决一个问题到解决一类问题（一般问题）的转变，认识到在数学学习中构建数学模型的重要性。
六、结语
综上，小学生对于数学建模仍处于探索阶段，教师要善于挖掘学生的建模潜能，关注学生的建模过程，并在关键问题上及时给予学生点拨与帮助，创设真实有效的建模情境，引导学生经历并感受建模的過程，促进学生的数学学习向深处发展。
参考文献：
[1]刘晓棠.基于数学建模的小学“数学广角”教学设计研究[D].重庆师范大学，2017.
（责任编辑 袁霜）