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摘 要：通过建立以政府为上层、企业为下层的双层规划模型，对政府如何制定环境政策、企业在政府的政策指导下如何确定既保护环境，又能降低物流配送成本的选址方案进行了讨论。最后，通过一个实例说明了所建模型的适用性。
关键词：物流中心选址；双层规划模型；环境
中图分类号：F25文献标识码：A文章编号：1672-3198（2008）12-0076-02
1 双层规划模型的数学描述
双层规划就是上层给下层一定的信息，下层在这些信息下，按自己的利益或者偏好做出反应，上层再根据这些反应，做出符合全局利益的决策。上层给出的信息是以一种可能的决策形式给出的，下层的反应实际上是对上层决策的最好对策，它显然与上层给出的信息有关，为了使整个系统获得最好的利益，上层必须综合下层的反应，调整自己的决策。双层规划的特点是从整体的角度出发，兼顾全局，达到整体最优。
一般来说，双层规划模型可用如下的数学关系进行描述：
上层规划模型记为（U）
目标函数：minF(x,y)(1)
约束条件：G(X,Y)ζ0(2)
其中x为上层规划的决策变量，y=y(x)是下层规划的反应函数，F是上层规划所确定的目标函数，关系式(2)是对变量的约束条件。
下层规划模型为(L)
目标函数：minf(x,yy)（3）
约束条件：G(X,Y)ζ0（4）
其中y为下层规划的决策变量，f是下层规划所确定的目标函数，关系式(4)是对变量y的约束条件。
由以上描述可知道双层规划模型由上层规划模型(u)和下层规划模型(l)组成。在上层规划模型中，上层决策者通过设置x的值影响下层决策者，因此限制了下层决策者的可行约束集，而下层决策者的行为反过来又会通过y的值影响上层的决策。双层规划方法与传统的单层规划方法相比具有不可比拟的优势，具体表现在：(1)可以同时分析决策过程中两个不同的、相互矛盾的目标；（2）双层规划多价值准则的决策方法更接近实际情况；（3）可以明确表示上级决策部门和公众的相互作用。而物流配送中心的选址问题涉及到两种具有明显目标函数的决策者，因此，采用双层规划模型为描述这种关系是适宜的。
2 基于环境角度的双层规划模型
由于各地政府为了保护环境，会针对不同的行业设定一些环境标准，并通过罚款方式督促企业在生产、运营过程中达到这些标准。因此，对于物流企业来说，确定选址方案时不仅要考虑通常意义上的物流成本（包括运输、装卸、建设成本等），还要考虑环境不达标而承担的惩罚。这里政府不是对企业的所有产品都进行处罚，而只是对其环境不达标的产品或垃圾等污染物进行罚款。同时假定企业为了减少由于环境不达标而承担的成本、树立更佳企业形象，会主动对各个配送中心产生污染物进行净化处理。为了便于建立模型，我们再假定物流企业只提供一种货物；仅在给定的被选范围内考虑设置配送中心；每个备选城市至多建立一个配送中心。基于这些考虑,可以将模型建立如下:
上层政府的规划为:
minzF(x(z),y(z),z)=∑Jj=1(Jj=1aij-xij-yj)xjbj(5)
下层企业的规划为：
∑ij=1 Jj=1cijxij+∑Jj=1gjxj+Jj=1(∑Ii=1 aijxij-yj)xjzj+Jj=1djyjxj(6)
s.t aJj=1xij=1,i=1,2,……，I（7）
xij-j?0,i 1,2,……,I j=1,2,…,J
xj=1,第j个城市建立配送中心
0，否则
xij=1,第j个配送中心为第i个顾客提供服务
0，否则
J表示预先选定要建立配送中心的城市集合；I表示对该种产品有需求的顾客集合；aij表示从第j个配送中心到第i个顾客的配送过程中形成污染的比例，其中0≤aij≤1；βj表示第j个城市对该种产品设定的环境标准；yj表示第j个配送中心处理污染物的总量；变量z=(z1,z2,L,zJ)是上层政府的决策变量，zj表示第j个城市对于环境不达标的企业给予惩罚的金额,zj≤bj(j=1,2,L,J)表示第j个城市的处罚不高于给定的上限；cij表示从第j个配送中心到第i个顾客的广义配送成本，这里的cij具备性质:(1)cij≥0，(2)cij=cji，(3)cij≤cik+cjk；gj表示在第j个城市建立配送中心的固定成本；dj表示第j个配送中心处理污染物的成本。
上层目标函数表示该城市环境发展的效益函数,政府可以通过调整环境标准βj和惩罚额度zj来督促物流企业在配送过程中达到环境标准。下层目标函数包含企业的配送成本、建立配送中心的固定成本、被政府罚款的金额和配送中心处理污染物的成本。约束条件(4)表示只有一个配送中心对第i个顾客配送货物；(5)表示第j个配送中心对第i4个顾客配送货物的前提是第j个城市要建立配送中心。其中(x,y)是下层规划在上层变量z给定前提下的最优解。
分析模型,我们看到在各地环境标准给定的前提下,上层政府每制定一个政策z,下层的物流企业就会得到一个相对成本最小选址方案(x,y)。反过来,下层的决策变量(x,y)又会反馈给上层政府,使它根据(x,y)调整方案z。通过这种相互影响,最终使双方达到相对的最优,从而得到模型的最优解。
本文所建的上下层两个模型均是带有离散变量的线性规划,可以用遗传算法、分支定界算法以及近似算法等来求解。本文在下面的例子中将用分支定界算法来求解。
3 双层规划模型算例
假设某煤气厂生产的煤气主要负责其所在城市中固定的三个煤气中心。这三个中心直接负责其所在区域的居民的煤气供应,也是煤气厂的三个主要顾客。由于煤气是危险品，所以厂址远离市郊,而煤气又是老百姓的日常生活必需品，故三个煤气中心均位于城市内部。如果由厂家直接负责三个煤气中心的需求，厂家的成本可能会很大。因此，为了减少成本，该厂在这个城市中选取了两个地点(1号地点和2号地点)准备建立一个或两个煤气配送站。厂家到1号地点和2号地点以及这两个地点到各个煤气中心的距离见图1。同时,假定该城市对煤气厂设定的环境指标为1.2；对于不达标的煤气单位罚款z元（z不能高于产品单价的10倍）；该种产品每单位售价为500元；两个地点处理污染物的成本分别约为2000元和4000元；两个地点的固定建设费用分别约为8万元和10万元，每次运输煤气时泄露或污染的比例为αij=0.1，我们来看煤气厂应该如何决策?
图1 1、2号地点到厂家及三个煤气中心的距离图
根据所给的条件建立模型为：
上层政府的规划为：
minzF(x(z),y(z),z)=1.2 ∑2j=1(3j=10.1xij-yi)xj
s.t. 0#z 5000
下层企业的规划为：
minx,yf(x,y)
∑3i=1fii+ 3i=1
∑2j=1cijxij+ 2j=1
(3j=10.1xij-yj)zxj+(2j=1djyjxj
s.t aJj=1xij=1,i=1,2,……，I（8）
xij-j?0,i 1,2,……,I j=1,2,…,J
xj=1,第j号地建立配送中心
0，否则
xij=1,第j个配送中心为第i个煤气中心供货
0，否则
xij=1,厂家直接为第i个煤气中心供货
0，否则
式中符号含义与前面相同，另外f1表示由厂家为第i个煤气中心的配送成本。
模型中用到的一些参数的具体值如下(单位:元):
f1=6000,f2=10000,f3=4000,d1=2000,d2=4000,g1=80000,g2=100000,
c11=1000,c21=1500,c31=4000,c12=3500,c22=1500,c32=1000
经过计算我们发现如果没有政府的环境政策干预,那么煤气厂的最佳选址方案是同时选择两个地点来建配送中心(1、2号地点分别负责煤气中心1和3,而它们对煤气中心2的配送成本是一样的),此时minf(x,y)=c11x11+c21x21+x32x32+g1x1+g2x2，代入具体值计算得其最低成本是18.35万元,其中固定成本为18万元。如果设这两个配送中心的平均使用寿命为10年,每年只运2次,则建立两个配送中心后平均每次的配送成本为1.25万元(远小于由厂家直接配送的成本2万元)。而当政府的环境政策参与到选址问题中时,得到最优方案是:政府对不达标的煤气单位罚款最高额为5000元，利用分支定界法求得煤气厂的最优策略是只在1号地点建立配送中心来负责三个煤气中心的需求，并将产生的污染物全部进行清理、净化，使之达到环境标准。此时上层的目标函数值为0,建立配送中心的固定成本为80000元，每次的配送成本为6500元，处理污染物的成本为2000元，同样设这个配送中心的使用寿命为10年，每年只运2次，则建立配送中心后平均每次的配送成本为1.05万元。这样，既保证了企业的成本不是非常大，又可使政府达到保护环境的目的，从而避免了因建两个物流配送中心给环境带来的破坏和影响。
关键词：物流中心选址；双层规划模型；环境
中图分类号：F25文献标识码：A文章编号：1672-3198（2008）12-0076-02
1 双层规划模型的数学描述
双层规划就是上层给下层一定的信息，下层在这些信息下，按自己的利益或者偏好做出反应，上层再根据这些反应，做出符合全局利益的决策。上层给出的信息是以一种可能的决策形式给出的，下层的反应实际上是对上层决策的最好对策，它显然与上层给出的信息有关，为了使整个系统获得最好的利益，上层必须综合下层的反应，调整自己的决策。双层规划的特点是从整体的角度出发，兼顾全局，达到整体最优。
一般来说，双层规划模型可用如下的数学关系进行描述：
上层规划模型记为（U）
目标函数：minF(x,y)(1)
约束条件：G(X,Y)ζ0(2)
其中x为上层规划的决策变量，y=y(x)是下层规划的反应函数，F是上层规划所确定的目标函数，关系式(2)是对变量的约束条件。
下层规划模型为(L)
目标函数：minf(x,yy)（3）
约束条件：G(X,Y)ζ0（4）
其中y为下层规划的决策变量，f是下层规划所确定的目标函数，关系式(4)是对变量y的约束条件。
由以上描述可知道双层规划模型由上层规划模型(u)和下层规划模型(l)组成。在上层规划模型中，上层决策者通过设置x的值影响下层决策者，因此限制了下层决策者的可行约束集，而下层决策者的行为反过来又会通过y的值影响上层的决策。双层规划方法与传统的单层规划方法相比具有不可比拟的优势，具体表现在：(1)可以同时分析决策过程中两个不同的、相互矛盾的目标；（2）双层规划多价值准则的决策方法更接近实际情况；（3）可以明确表示上级决策部门和公众的相互作用。而物流配送中心的选址问题涉及到两种具有明显目标函数的决策者，因此，采用双层规划模型为描述这种关系是适宜的。
2 基于环境角度的双层规划模型
由于各地政府为了保护环境，会针对不同的行业设定一些环境标准，并通过罚款方式督促企业在生产、运营过程中达到这些标准。因此，对于物流企业来说，确定选址方案时不仅要考虑通常意义上的物流成本（包括运输、装卸、建设成本等），还要考虑环境不达标而承担的惩罚。这里政府不是对企业的所有产品都进行处罚，而只是对其环境不达标的产品或垃圾等污染物进行罚款。同时假定企业为了减少由于环境不达标而承担的成本、树立更佳企业形象，会主动对各个配送中心产生污染物进行净化处理。为了便于建立模型，我们再假定物流企业只提供一种货物；仅在给定的被选范围内考虑设置配送中心；每个备选城市至多建立一个配送中心。基于这些考虑,可以将模型建立如下:
上层政府的规划为:
minzF(x(z),y(z),z)=∑Jj=1(Jj=1aij-xij-yj)xjbj(5)
下层企业的规划为：
∑ij=1 Jj=1cijxij+∑Jj=1gjxj+Jj=1(∑Ii=1 aijxij-yj)xjzj+Jj=1djyjxj(6)
s.t aJj=1xij=1,i=1,2,……，I（7）
xij-j?0,i 1,2,……,I j=1,2,…,J
xj=1,第j个城市建立配送中心
0，否则
xij=1,第j个配送中心为第i个顾客提供服务
0，否则
J表示预先选定要建立配送中心的城市集合；I表示对该种产品有需求的顾客集合；aij表示从第j个配送中心到第i个顾客的配送过程中形成污染的比例，其中0≤aij≤1；βj表示第j个城市对该种产品设定的环境标准；yj表示第j个配送中心处理污染物的总量；变量z=(z1,z2,L,zJ)是上层政府的决策变量，zj表示第j个城市对于环境不达标的企业给予惩罚的金额,zj≤bj(j=1,2,L,J)表示第j个城市的处罚不高于给定的上限；cij表示从第j个配送中心到第i个顾客的广义配送成本，这里的cij具备性质:(1)cij≥0，(2)cij=cji，(3)cij≤cik+cjk；gj表示在第j个城市建立配送中心的固定成本；dj表示第j个配送中心处理污染物的成本。
上层目标函数表示该城市环境发展的效益函数,政府可以通过调整环境标准βj和惩罚额度zj来督促物流企业在配送过程中达到环境标准。下层目标函数包含企业的配送成本、建立配送中心的固定成本、被政府罚款的金额和配送中心处理污染物的成本。约束条件(4)表示只有一个配送中心对第i个顾客配送货物；(5)表示第j个配送中心对第i4个顾客配送货物的前提是第j个城市要建立配送中心。其中(x,y)是下层规划在上层变量z给定前提下的最优解。
分析模型,我们看到在各地环境标准给定的前提下,上层政府每制定一个政策z,下层的物流企业就会得到一个相对成本最小选址方案(x,y)。反过来,下层的决策变量(x,y)又会反馈给上层政府,使它根据(x,y)调整方案z。通过这种相互影响,最终使双方达到相对的最优,从而得到模型的最优解。
本文所建的上下层两个模型均是带有离散变量的线性规划,可以用遗传算法、分支定界算法以及近似算法等来求解。本文在下面的例子中将用分支定界算法来求解。
3 双层规划模型算例
假设某煤气厂生产的煤气主要负责其所在城市中固定的三个煤气中心。这三个中心直接负责其所在区域的居民的煤气供应,也是煤气厂的三个主要顾客。由于煤气是危险品，所以厂址远离市郊,而煤气又是老百姓的日常生活必需品，故三个煤气中心均位于城市内部。如果由厂家直接负责三个煤气中心的需求，厂家的成本可能会很大。因此，为了减少成本，该厂在这个城市中选取了两个地点(1号地点和2号地点)准备建立一个或两个煤气配送站。厂家到1号地点和2号地点以及这两个地点到各个煤气中心的距离见图1。同时,假定该城市对煤气厂设定的环境指标为1.2；对于不达标的煤气单位罚款z元（z不能高于产品单价的10倍）；该种产品每单位售价为500元；两个地点处理污染物的成本分别约为2000元和4000元；两个地点的固定建设费用分别约为8万元和10万元，每次运输煤气时泄露或污染的比例为αij=0.1，我们来看煤气厂应该如何决策?
图1 1、2号地点到厂家及三个煤气中心的距离图
根据所给的条件建立模型为：
上层政府的规划为：
minzF(x(z),y(z),z)=1.2 ∑2j=1(3j=10.1xij-yi)xj
s.t. 0#z 5000
下层企业的规划为：
minx,yf(x,y)
∑3i=1fii+ 3i=1
∑2j=1cijxij+ 2j=1
(3j=10.1xij-yj)zxj+(2j=1djyjxj
s.t aJj=1xij=1,i=1,2,……，I（8）
xij-j?0,i 1,2,……,I j=1,2,…,J
xj=1,第j号地建立配送中心
0，否则
xij=1,第j个配送中心为第i个煤气中心供货
0，否则
xij=1,厂家直接为第i个煤气中心供货
0，否则
式中符号含义与前面相同，另外f1表示由厂家为第i个煤气中心的配送成本。
模型中用到的一些参数的具体值如下(单位:元):
f1=6000,f2=10000,f3=4000,d1=2000,d2=4000,g1=80000,g2=100000,
c11=1000,c21=1500,c31=4000,c12=3500,c22=1500,c32=1000
经过计算我们发现如果没有政府的环境政策干预,那么煤气厂的最佳选址方案是同时选择两个地点来建配送中心(1、2号地点分别负责煤气中心1和3,而它们对煤气中心2的配送成本是一样的),此时minf(x,y)=c11x11+c21x21+x32x32+g1x1+g2x2，代入具体值计算得其最低成本是18.35万元,其中固定成本为18万元。如果设这两个配送中心的平均使用寿命为10年,每年只运2次,则建立两个配送中心后平均每次的配送成本为1.25万元(远小于由厂家直接配送的成本2万元)。而当政府的环境政策参与到选址问题中时,得到最优方案是:政府对不达标的煤气单位罚款最高额为5000元，利用分支定界法求得煤气厂的最优策略是只在1号地点建立配送中心来负责三个煤气中心的需求，并将产生的污染物全部进行清理、净化，使之达到环境标准。此时上层的目标函数值为0,建立配送中心的固定成本为80000元，每次的配送成本为6500元，处理污染物的成本为2000元，同样设这个配送中心的使用寿命为10年，每年只运2次，则建立配送中心后平均每次的配送成本为1.05万元。这样，既保证了企业的成本不是非常大，又可使政府达到保护环境的目的，从而避免了因建两个物流配送中心给环境带来的破坏和影响。