利用两个正数的算术平均数和几何平均数之间的关系，求某些非二次函数的最大、最小值问题时需注意以下四点：
　　 一、注意“正”
　　“正”是指均值不等式成立的前提条件是各项均为正实数，若不是正实数，必须变为正实数.
　　例1 求函数y=
　　x+1x的最值.
　　错解：
　　y=x+1x
　　≥2x•1x=2
　　, 所以函数的最小值为2.
　　错因分析：因为函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），当x＞0时，可利用均值不等式求最小值，但当x＜0时，应将各项化为正，才可利用均值不等式求解.
　　正解：当x＞0时，
　　y=x+1x
　　≥2x•1x
　　=2
　　；当
　　x<0时，
　　-x>0，-x-1x>2，所以
　　x+1x
　　≤-2.
　　所以y=x+1x没有最大值、最小值.
　　二、注意“定”
　　“定”是指用均值不等式求最值时，和或积应为定值，这时，常常要运用拆项、补项、平衡系数等变形技巧.
　　例2 若
　　x<54
　　，求
　　y=1-4x+15-4x
　　的最小值（补项）.
　　解：因为x<
　　54 ， 所以
　　4x<5
　　，即：
　　5-4x>0.
　　所以y=5-4x+15-4x
　　-4≥
　　2
　　(5-4x)(15-4x)
　　-4=-2.
　　当且仅当
　　5-4x=15-4x
　　，即x=1时等号成立（因为
　　32>
　　54
　　，所以x=32舍去）
　　所以当x=1时，y有最小值-2.
　　例3 求函数y=4x2(1-x) (0　　解：因为
　　0　　，所以1-x>0,
　　所以y=4x2(1-x)=
　　16•12x•12
　　x(1-x)≤
　　16
　　［12x
　　+12x+
　　(1-x)3］3
　　=1627.
　　当且仅当
　　12
　　x=1-x
　　，即
　　x=23
　　时，取“=”号. 所以当
　　x=23
　　时，y有最大值
　　1627
　　.
　　例4 若0　　解：因为
　　0　　1-x>0.
　　所以y=x•(3-3x)=3x•(1-x)≤
　　3×
　　［x+(1-x)2］2=
　　34.
　　当且仅当x=1-x，即
　　x=12时，等号成立.所以当
　　x=12时， 有最大值
　　34.
　　点评：求最值问题时，首先应明确求乘积的最大值还是和的最小值，若是求最大值，只需根据条件恰当变形出现和为定值，若是求最小值，只需使积出现定值.
　　三、注意“等”
　　“等”是指利用均值不等式求最值时，要注意探求等号是否成立，即等号成立的条件是否具备，若等号不成立，则不是最值，若等号成立，才是最值.
　　例5 求函数y=
　　x2+k+1
　　x2+k
　　的最小值.
　　错解：因为
　　x2+k≥0，所以
　　y=x2+k+1
　　x2+k
　　=x2+k
　　+1x2+k
　　≥2
　　, 所以
　　ymin
　　=2.
　　错因分析：忽视了等号成立的条件.事实上，当
　　x2+k
　　=1x2+k
　　时，
　　x2=1-k
　　，而当k>1时，等号不成立.
　　正解：（1）当k≤1时，
　　y=x2+k
　　+1x2+k
　　≥2
　　， 所以
　　ymin
　　=2.
　　 （2）当k>1时，令
　　t=x2+k
　　≥k
　　，则易证
　　y=t+1t
　　在
　　［k,+∞)
　　上是增函数，
　　所以ymin
　　=k+1k.
　　 综上
　　ymin
　　=
　　2 (k≤1)
　　k
　　+
　　1k
　　 (k>1)
　　
　　四、注意“同”
　　“同”是指得多次使用均值不等式时，等号成立条件中的变量的取值范围应相同.
　　
　　例6 已知x>0，y>0，且
　　x+2y=1，求
　　1x
　　+1y的最小值.
　　错解1：因为
　　x+2y=1,
　　所以1x
　　+1y
　　=x+2y+1x
　　+1y
　　-1=
　　(x+1x
　　)+(2y+1y
　　)-1≥2+22
　　-1=1+22.
　　所以
　　1x+
　　1y的最小值为
　　1+22.
　　错因分析：在求解过程中使用了两个不等式：（1）是
　　x+1x≥2
　　；（2）是
　　2y+1y
　　≥2
　　.在（1）中，当且仅当
　　x=1x
　　时取等号；在（2）中，当且仅当
　　y=22
　　时取等号.当两式同时成立时，必须使
　　x=1，且
　　y=22
　　，此时x+2y=1+2≠1.所以此法不满足不等式取等号的条件.
　　错解2:因为x+2y=1，
　　所以1x
　　+1y
　　=(x+2y)(
　　1x
　　+1y)≥
　　
　　22xy•
　　21xy
　　=42.
　　错因分析：在求解过程中用了两个不等式，（1）是
　　x+2y≥22xy
　　；（2）是
　　1x+
　　1y
　　≥21xy
　　
　　.在（1）中当且仅当
　　x=2y时取等号，在（2）中当且仅当
　　1x=1y,
　　即x=y时取等号，而x≠0,y≠0,
　　从而x=2y与x=y不能同时成立.
　　
　　正解：因为
　　x+2y=1,所以1x
　　+1y
　　=(x+2y)(
　　1x
　　+1y）=
　　1+xy
　　+2yx
　　+2≥3+22.
　　
　　当且仅当
　　xy=
　　2yx，即
　　x2=2y2
　　，
　　x=2y
　　时取等号，此时
　　x=2
　　-1
　　，y=1-22 .
　　所以1x+
　　1y的最小值为
　　3+22.
　　
　　练习：
　　1.下列函数中，当x取正数时，最小值为2的是（ ）
　　（A）y=x+4x
　　（B）y=lgx+
　　1lgx
　　（C）y=x2+1
　　+1x2+1
　　（D）y=
　　sinx+
　　1sinx(0　　
　　2.设x>0，求y=
　　2-x-4x
　　的最大值.
　　3.若0　　f(x)=x(1-2x)的最大值.
　　4.求函数y=3x2+
　　6x2+1的最小值.
　　5.求函数
　　y=sinx2
　　+2sinx
　　 (0　　的最小值.
　　答案：1.(D) 2.-2 3.
　　18
　　 4.62-3
　　5.因为0　　
　　则：
　　y=2sinx
　　+sinx2
　　=12sinx
　　+sinx2
　　+32sinx
　　≥
　　
　　212sinx•
　　sinx2
　　+
　　32sinx
　　=
　　1+32sinx
　　≥1+
　　32
　　=
　　52.
　　
　　所以当sinx=1时，
　　ymin=
　　52.
　　
　　甘肃省高台县第一中学(734300)