题目 如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点.像EF这样，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.观察EF的位置，联想三角形的中位线的性质，你能发现梯形的中位线有什么性质吗？证明你的结论.
　　
　　 分析 三角形的中位线告诉我们：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，既指出了两条线段的数量关系，又交待了两条线段的位置关系.类比三角形的中位线，我们可以猜想梯形的中位线也应该有这两种特性，即梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.即如图1，有结论：EF∥AD∥BC，EF＝（AD+BC）.
　　 要证明上面的结论，若能将梯形的中位线通过适当的辅助线，使之转化成三角形的中位线即可证明.下面给出本题的解答过程：
　　 解梯形的中位线有下列性质：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.即如图1，EF∥AD∥BC，且EF＝（AD+BC）.
　　 证明：连结AF并延长AF与BC的延长线相交于点G.
　　 因为AD∥BC，即AD∥BG，
　　 所以∠G＝∠DAF，∠GCF＝∠D.
　　 又因为F是DC的中点，
　　 所以CF＝DF，所以△GFC≌△AFD，
　　 所以GC＝AD，GF＝AF.
　　 因为E是AB的中点，
　　 所以EF是△ABG的中位线，
　　 所以EF∥BG，EF＝BG＝（BC+CG），
　　 即EF∥AD∥BC，EF＝（AD+BC）.
　　 由此，梯形的中位线与三角形的中位线有基本相同的性质，事实上，梯形的中位线在解决许多几何问题时有着广泛的应用，现举例说明.
　　 例1 如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝30°，∠C＝60°，点E、F、M、N分别是AB、CD、BC、DA的中点，已知BC＝7，MN＝3，求EF的长.
　　 分析要求EF，依题意，EF是梯形ABCD的中位线，所以只要能求出AD即可，但AD如何求呢？此时问题好像陷入了困境，但考虑到∠B＝30°，∠C＝60°，于是想到梯形常用的辅助线——平移两腰，结合条件可知MN是一个直角三角形斜边上的中线，从而可求得AD，进而求解.
　　 解过N作NG∥AB、NH∥DC分别交BC于G、H点.
　　 因为AD∥BC，所以四边形ANGB和四边形NHCD都是平行四边形，所以AN＝BG，ND＝HC，∠NGH＝∠B，∠NHG＝∠C.
　　 因为∠B＝30°，∠C＝60°，
　　 所以∠NGH＝30°，∠NHG＝60°，
　　 所以∠GNH＝90°.
　　 又因为N为AD的中点，
　　 所以AN＝ND＝BG
　　＝HC＝AD.
　　 而M为BC的中点，所以M也是GH的中点.
　　 即MN是Rt△GNH斜边上的中线，
　　 所以MN＝GH.而BC＝7，MN＝3，
　　 所以AD＝BC-GH＝7－6＝1.
　　 又因为E、F分别是AB、CD的中点，
　　 所以EF＝（AD+BC）＝×（7+1）＝4.
　　 说明求解梯形问题除了要能灵活运用所学知识外，还应注意梯形常见辅助线的添加.
　　 例2如图3，已知：DA⊥AB，BC⊥AB，DF＝FC.试说明FA与FB相等的理由.
　　 分析由已知可知四边形ABCD是直角梯形，F是CD的中点，要说明FA与FB相等的理由，需再取AB的中点E，利用梯形中位线的性质可知EF⊥AB，再由等腰三角形的“三线合一”的性质即可求解.
　　 解取AB的中点E，并连结EF.
　　 因为DA⊥AB，BC⊥AB，而显然AB与CD不平行，所以四边形ABCD是梯形.
　　 又因为F是CD的中点，
　　 所以EF∥BC，即EF⊥AB.
　　 在△AEF和△BEF中，AE＝BE，∠AEF＝∠BEF
　　=90°，EF＝EF，
　　 所以△AEF≌△BEF，所以FA＝FB.
　　 说明本题也可以延长AF，与BC的延长线相交，利用直角三角形斜边上的中线性质求解，另外，通过对本题的求解，我们还可以得到相应的两个命题：一是直角梯形斜腰的中点到另一腰的两个端点的距离相等，二是任意梯形一腰的中点与另一腰的两个端点组成三角形的面积等于梯形面积的一半.这两个命题在具体解题中可以帮助我们审题.