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摘要：在多年的概率论教学中,发现学生对这门课的学习缺乏主动性,究其原因,由于概率论这门课程的学习需要以微积分和线性代数等知识为基础,有的学生没有学好微积分和线性代数这部分内容,因此他们学习概率论这门课程就感到比较吃力,感觉到概率论这门课难学,概率知识的运用更是困难。本文意在通过介绍概率知识在现实生活、经济管理、工程技术、气象等领域等的广泛应用和展望概率知识的广泛应用前景,让学生深刻感受到学好概率论这门课是非常必要的：因为学好概率论这门课不仅能够帮助自己更好地把握自己的行为,而且运用概率知识能对自己遇到的一些问题做出更好的解决,从而促进学生主动地学习概率论。
关键词：概率论；促进；主动性
中图分类号：G642文献标识码：A文章编号：1009-0118（2012）05-0036-03
一、引言
如何促进学生主动地学习概率论,一直是教授这门课的老师们研究和探讨的主要问题,针对学生经常提问“学这门课有什么用?”这个问题,反映出学生对所学知识的应用问题是相当重视的,也就是说,某一门课应用广泛,那么学生就会主动地去学这门课,反之,学生学这门课就缺乏主动。因此,在文中力求通过介绍概率论的广泛应用及其广泛的应用前景,来促进学生学习概率论的主动性。
二、概率知识的广泛应用
（一）在现实生活的应用
1、奖金如何分配才算公平
在一次乒乓球比赛中设立奖金1000元。比赛规定：谁先胜3盘,准获得全部奖金。设甲、乙二人的球技相当,现已打了3盘,甲2胜1负,由于某特殊原因必须中止比赛。问这1000元应如何分配才算公平?
分析方案一：平均分,这对甲欠公平。方案二：全部归甲,这对乙不公平。方案三：按已胜盘数的比例对甲、乙进行分配。方案三看似合理,双方可以接受的方法,即甲拿2/3,乙拿1/3。仔细分析,发现这也并不合理。理由如下：设想继续比赛,要使甲、乙有一个胜3盘,只要再比2盘即可,结果无非是以下四种情况之一：甲甲,甲乙,乙甲,乙乙,其中“甲乙”表示第4盘甲胜、第5盘乙胜,其余类推。把乙比赛过的3盘与上述四种结果结合,即甲乙打完5盘,可以看出前3个结果都是甲先胜3盘,因而甲可得1000元,只有最后一个结果才由乙得1000元。在球技相当的条件下,上述四个结果应有等可能性。因此,方案四是因为甲乙最终获胜可能性的大小这比为3∶1,所以全部奖金应按制胜率的比例分,即甲分750元,乙分250元,才算公平合理。
用全概率公式计算：若再比一盘,甲乙胜的概率各为1/2。若甲胜,由甲得全部奖金；若乙胜,则甲乙各胜2盘,奖金平分。所以甲得奖金=1/2×1000+1/2×500=750(元)。
2、车在哪里?
1991年1月21日,美国《游行》杂志的一个专栏中刊登了一个题目：有三扇门,其中有一扇门的后面是一辆汽车,另两扇门的后面则各有一只羊。你可以猜一次。猜中羊可以牵走羊,猜中汽车则开走汽车。当然大家都希望能开走汽车。现在假如你猜了某扇门的后面是车(例如1号门),然后主持人把无车的一扇门打开(例如3号门)。此时,请问：你是否要换2号门?
一种认为这三扇门的后面有车的可能性是一样的,都是1/3。所以不必换选别的门。另一种答案是应该换。理由是：车在号门的概率确实是1/3,于是车在2号门和3号门后面的概率就是2/3。现在主持人既然把3号门打开了,那里没有车,所以在2号门后面的概率是2/3,因此应该换。
两种意见争执不下,如果这个问题由你来解决你将怎么处理?
设Ai表示车在第i(i=l,2,3)扇门后面。则当主持人打开没有车的第3扇门后,第1扇门后有车的概率为
P(A1|A3)=P(A1A2|A3)=P(A1A2A3)P(A3)=1323=12
根据这个计算结果,你还要换吗?
（二）在经济管理中的广泛应用
在进行经济管理决策之前,往往存在不确定的随机因素,从而所作的决策有一定的风险,只有正确、科学的决策才能达到以最小的成本获得最大的安全保障的总目标,才能尽可能节约成本。利用概率统计知识可以获得合理的决策,从而实现这个目标。
1、在经济管理决策中的应用
某人有一笔资金,可投入三个项目：房产X、地产Y和商业Z,其收益和市场状态有关,若把未来市场划分为好、中、差三个等级,其发生的概率分别为P1=0.2,P2=0.7,P3=0.1,根据市场调研的情况可知不同等级状态下各种投资的年收益(万元),见表1。
表1各种投资年收益分布表
等级
项目好（P1=0.2）中（P2=0.7）差（P3=0.1）房产113-3地产64-1商业102-2请问：该投资者如何投资好?
解我们先考察数学期望,
E（X）=11×0.2+3×0.7+(-3)×0.1=4
E（Y）=6×0.2+4×0.7+(-1)×0.1=3.9
E（Z）=10×0.2+2×0.7+(-2)×0.1=3.2
根据数学期望可知,投资房产的平均收益最大,可能选择房产,但投资也要考虑风险,我们再来考虑它们的方差：
D（X）=(11-4)2×0.2+(3-4)2×0.7+(-3-4)2×0.1=15.4
D（Y）=(6-3.9)2×0.2+(4-3.9)2×0.7+(-1-3.9)2×0.1=3.29
D（Z）=(10-3.2)2×0.2+(2-3.2)2×0.7+(-2-3.2)2×0.1=12.96
因为方差愈大,则收益的波动大,从而风险也大,所以从方差看,投资房产的风险比投资地产的风险大得多,若收益与风险综合权衡,该投资者还是应该选择投资地产为好,虽然平均收益少01万元,但风险要小一半以上。
2、最大经济利润问题中的应用
如何获得最大利润是商界永远追求的目标,随机变量函数期望的应用为此问题的解决提供了新的思路。
某公司经销某种原料,根据历史资料：这种原料的市场需求量X(单位：吨)服从(300,500)上的均匀分布,每售出1吨该原料,公司可获利1.5千元；若积压1吨,则公司损失0.5千元,问公司应该组织多少货源,可使期望的利润最大?
分析：此问题的解决先是建立利润与需求量的函数,然后求利润的期望,从而得到利润关于货源的函数,最后利用求极值的方法得到答案。
解设公司组织该货源a吨,则显然应该有300≤a≤500,又记Y为在a吨货源的条件下的利润,则利润为需求量的函数,即Y=g(X),由题设条件知：当X≥a时,则此a吨货源全部售出,共获利1.5a；当X＜a时,则售出X吨(获利1.5X),且还有a-X吨积压(获利-0.5(a-X)),所以共获利1.5X-0.5(a-X),由此得
Y=g(X)=1.5aX≥a
2X-0.5a,X＜a,
从而得
E(Y)=∫+∞-∞g(x)pX(x)dx=∫500300g(x)1200dx
=∫a300(2x-0.5a)1200dx+∫500a1.5a1200dx
=1200(-a2+900a-90000)
用求极值的方法可以求得,当a=450吨时,能够使得期望的利润达到最大。
3、在合理配备人员,提高工作效率方面
某厂有同类型设备80台,各台设备工作是相互独立的,每台设备发生故障的概率是0.01,且一台设备的故障可以由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法,其一是由4人维护,每人负责20台；其二是由3人共同维护20台。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时修理的概率的大小。
解按第一种方法。以X记“第1人维护的20台中同一时刻发生故障的台数”,Ai以（i=1,2,3,4）表示事件“第i人维护的20台中发生故障不能及时修理”,则知80台中发生故障不能及时修理的概率为
P(A1∪A2∪A3∪A4)≥P(A1)=P(X≥2)
而X～b(20,0.01),故有
P(X≥2)=1-∑1k=0P(X=k)=1-∑1k=0Ck20(0.01)k(0.99)20-k
=0.0169。
即有P(A1∪A2∪A3∪A4)≥0.0169。
按第二种方法。以Y记“80台中同一时刻发生故障的台数”,此时Y～b(80,0.01),故80台中发生故障不能及时修理的概率为
P(Y≥4)=1-∑3k=0P(Y=k)=1-∑1k=0Ck80(0.01)k(0.99)80-k
=0.0087。
这样,我们发现,在后一种情况下尽管任务重了,但工作效率不仅没有下降,反而提高了。
（三）在工程技术上的广泛应用
1、故障诊断
某系统有四台不同的仪表A、B、C、D控制,其可靠度分别为P(A)=0.9,P(B)=0.94,P(C)=0.96,P(D)=0.98。若其中任一台仪表发生故障,则可能引起系统失效。其概率分别为P(F|A)=0.2,P(F|B)=0.05,P(F|C)=0.02,P(F|D)=0.01。问由于仪表失灵而引起系统故障时,仪表A、B、C、D中哪个出故障的可能性最大?
解F表示系统失效,A、B、C、D表示相应仪表失效。则由贝叶斯定理
P(A|F)=
P(A)P(F|A)P(A)P(F|A)+P(B)P(F|B)+P(C)P(F|C)+P(D)P(F|D)
=0.833
同理可得
P(B|F)=0.125,P(C|F)=0.033,P(D|F)=0.008
由于A的可靠度低,且A失效时引起系统失效的可能性也大,结果使得A失效引起系统失效的可能性最大。
2、提高可靠性预测的精度
某厂生产的某仪表的寿命服从指数分布,合格批的失效率λ1=10-4/h,不合格批的失效率为λ2=2×10-4/h。由以前的数据统计得,合格批的概率为P1=P(λ1)=0.8,出现不合格批的概率为P2=P(λ2)=0.2,在该厂待交付的仪表批中任抽三台,各作了500小时试验,均无故障,即失效数Z=0,总试验时间为τ=1.5×104小时。问此批为合格批的概率是多少?
利用贝叶斯定理,经过试验后,产品是合格的概率由0.8提高到了约0.95,从而提高了预测精度。
（四）小概率事件原理的应用
小概率事件指的是在大量重复试验中发生概率极小的事件,或者说要做许多次试验才能够发生的一次事件。小概率事件与不可能事件是不同的。不可能事件指的是完全不可能发生或者发生概率为零的事件。小概率事件是有可能发生的,只是发生的可能性很小,并且没有规律可循。正是由于小概率事件的这种奇特的特性,使得人们对他充满了期待（如玩彩票）或忽视（如外出放松警惕）。
1、有位数学专业考生在1998-2002年连续报考中国注册会计师(只有在连续五年内通过会计、审计、税法、经济法和财务成本管理五门课才能取得注册会计师考试成绩合格证书)。令人惊奇的是,1998年,他竟然一次通过了会计、审计、税法和经济法四门课。这在当年注册会计师考生中是鲜见的。但令人费解的是,在这年期间,他不间断参加财务成本管理考试,但没有一次考过50分(20O2年刚好考了50分)。按常理,对学数学的人来说,财务成本管理这门课应该是最容易过关的。我国注册会计师法规定,过关科目的有效期为5年。这样一来,他已过关的那4门课就会因超过有效期而失效。正当他陷入绝望之时(拿到该证书既增加找工作的筹码,也可提高自信心),奇迹出现了,2002年中国注册会计师协会做出一项对他极为有利的决定,即凡是在1998-2002年问通过4门,而2002年考的那一门只要达到50分即可视为合格。这真是“山穷水尽疑无路,柳暗花明又一村”！
这个例子包括三个小概率事件：一是作为数学专业的考生连考五次与数学关系密切的财务成本管理都没有过50分(要求60分过关,因而距离还不小)；二是一次考过四门(少见)；三是注册会计师协会做出的对他有利的政策(自1991年我国注册会计师考试以来,实行该政策还是第一次)。对他来说,第一个小概率事件是不利的,而第二、三个是有利的,尤其是第三个小概率事件,使他由注册会计师考试的失败者(如果四门作废,以后再重考,是很难成功的)变为成功者。
关键词：概率论；促进；主动性
中图分类号：G642文献标识码：A文章编号：1009-0118（2012）05-0036-03
一、引言
如何促进学生主动地学习概率论,一直是教授这门课的老师们研究和探讨的主要问题,针对学生经常提问“学这门课有什么用?”这个问题,反映出学生对所学知识的应用问题是相当重视的,也就是说,某一门课应用广泛,那么学生就会主动地去学这门课,反之,学生学这门课就缺乏主动。因此,在文中力求通过介绍概率论的广泛应用及其广泛的应用前景,来促进学生学习概率论的主动性。
二、概率知识的广泛应用
（一）在现实生活的应用
1、奖金如何分配才算公平
在一次乒乓球比赛中设立奖金1000元。比赛规定：谁先胜3盘,准获得全部奖金。设甲、乙二人的球技相当,现已打了3盘,甲2胜1负,由于某特殊原因必须中止比赛。问这1000元应如何分配才算公平?
分析方案一：平均分,这对甲欠公平。方案二：全部归甲,这对乙不公平。方案三：按已胜盘数的比例对甲、乙进行分配。方案三看似合理,双方可以接受的方法,即甲拿2/3,乙拿1/3。仔细分析,发现这也并不合理。理由如下：设想继续比赛,要使甲、乙有一个胜3盘,只要再比2盘即可,结果无非是以下四种情况之一：甲甲,甲乙,乙甲,乙乙,其中“甲乙”表示第4盘甲胜、第5盘乙胜,其余类推。把乙比赛过的3盘与上述四种结果结合,即甲乙打完5盘,可以看出前3个结果都是甲先胜3盘,因而甲可得1000元,只有最后一个结果才由乙得1000元。在球技相当的条件下,上述四个结果应有等可能性。因此,方案四是因为甲乙最终获胜可能性的大小这比为3∶1,所以全部奖金应按制胜率的比例分,即甲分750元,乙分250元,才算公平合理。
用全概率公式计算：若再比一盘,甲乙胜的概率各为1/2。若甲胜,由甲得全部奖金；若乙胜,则甲乙各胜2盘,奖金平分。所以甲得奖金=1/2×1000+1/2×500=750(元)。
2、车在哪里?
1991年1月21日,美国《游行》杂志的一个专栏中刊登了一个题目：有三扇门,其中有一扇门的后面是一辆汽车,另两扇门的后面则各有一只羊。你可以猜一次。猜中羊可以牵走羊,猜中汽车则开走汽车。当然大家都希望能开走汽车。现在假如你猜了某扇门的后面是车(例如1号门),然后主持人把无车的一扇门打开(例如3号门)。此时,请问：你是否要换2号门?
一种认为这三扇门的后面有车的可能性是一样的,都是1/3。所以不必换选别的门。另一种答案是应该换。理由是：车在号门的概率确实是1/3,于是车在2号门和3号门后面的概率就是2/3。现在主持人既然把3号门打开了,那里没有车,所以在2号门后面的概率是2/3,因此应该换。
两种意见争执不下,如果这个问题由你来解决你将怎么处理?
设Ai表示车在第i(i=l,2,3)扇门后面。则当主持人打开没有车的第3扇门后,第1扇门后有车的概率为
P(A1|A3)=P(A1A2|A3)=P(A1A2A3)P(A3)=1323=12
根据这个计算结果,你还要换吗?
（二）在经济管理中的广泛应用
在进行经济管理决策之前,往往存在不确定的随机因素,从而所作的决策有一定的风险,只有正确、科学的决策才能达到以最小的成本获得最大的安全保障的总目标,才能尽可能节约成本。利用概率统计知识可以获得合理的决策,从而实现这个目标。
1、在经济管理决策中的应用
某人有一笔资金,可投入三个项目：房产X、地产Y和商业Z,其收益和市场状态有关,若把未来市场划分为好、中、差三个等级,其发生的概率分别为P1=0.2,P2=0.7,P3=0.1,根据市场调研的情况可知不同等级状态下各种投资的年收益(万元),见表1。
表1各种投资年收益分布表
等级
项目好（P1=0.2）中（P2=0.7）差（P3=0.1）房产113-3地产64-1商业102-2请问：该投资者如何投资好?
解我们先考察数学期望,
E（X）=11×0.2+3×0.7+(-3)×0.1=4
E（Y）=6×0.2+4×0.7+(-1)×0.1=3.9
E（Z）=10×0.2+2×0.7+(-2)×0.1=3.2
根据数学期望可知,投资房产的平均收益最大,可能选择房产,但投资也要考虑风险,我们再来考虑它们的方差：
D（X）=(11-4)2×0.2+(3-4)2×0.7+(-3-4)2×0.1=15.4
D（Y）=(6-3.9)2×0.2+(4-3.9)2×0.7+(-1-3.9)2×0.1=3.29
D（Z）=(10-3.2)2×0.2+(2-3.2)2×0.7+(-2-3.2)2×0.1=12.96
因为方差愈大,则收益的波动大,从而风险也大,所以从方差看,投资房产的风险比投资地产的风险大得多,若收益与风险综合权衡,该投资者还是应该选择投资地产为好,虽然平均收益少01万元,但风险要小一半以上。
2、最大经济利润问题中的应用
如何获得最大利润是商界永远追求的目标,随机变量函数期望的应用为此问题的解决提供了新的思路。
某公司经销某种原料,根据历史资料：这种原料的市场需求量X(单位：吨)服从(300,500)上的均匀分布,每售出1吨该原料,公司可获利1.5千元；若积压1吨,则公司损失0.5千元,问公司应该组织多少货源,可使期望的利润最大?
分析：此问题的解决先是建立利润与需求量的函数,然后求利润的期望,从而得到利润关于货源的函数,最后利用求极值的方法得到答案。
解设公司组织该货源a吨,则显然应该有300≤a≤500,又记Y为在a吨货源的条件下的利润,则利润为需求量的函数,即Y=g(X),由题设条件知：当X≥a时,则此a吨货源全部售出,共获利1.5a；当X＜a时,则售出X吨(获利1.5X),且还有a-X吨积压(获利-0.5(a-X)),所以共获利1.5X-0.5(a-X),由此得
Y=g(X)=1.5aX≥a
2X-0.5a,X＜a,
从而得
E(Y)=∫+∞-∞g(x)pX(x)dx=∫500300g(x)1200dx
=∫a300(2x-0.5a)1200dx+∫500a1.5a1200dx
=1200(-a2+900a-90000)
用求极值的方法可以求得,当a=450吨时,能够使得期望的利润达到最大。
3、在合理配备人员,提高工作效率方面
某厂有同类型设备80台,各台设备工作是相互独立的,每台设备发生故障的概率是0.01,且一台设备的故障可以由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法,其一是由4人维护,每人负责20台；其二是由3人共同维护20台。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时修理的概率的大小。
解按第一种方法。以X记“第1人维护的20台中同一时刻发生故障的台数”,Ai以（i=1,2,3,4）表示事件“第i人维护的20台中发生故障不能及时修理”,则知80台中发生故障不能及时修理的概率为
P(A1∪A2∪A3∪A4)≥P(A1)=P(X≥2)
而X～b(20,0.01),故有
P(X≥2)=1-∑1k=0P(X=k)=1-∑1k=0Ck20(0.01)k(0.99)20-k
=0.0169。
即有P(A1∪A2∪A3∪A4)≥0.0169。
按第二种方法。以Y记“80台中同一时刻发生故障的台数”,此时Y～b(80,0.01),故80台中发生故障不能及时修理的概率为
P(Y≥4)=1-∑3k=0P(Y=k)=1-∑1k=0Ck80(0.01)k(0.99)80-k
=0.0087。
这样,我们发现,在后一种情况下尽管任务重了,但工作效率不仅没有下降,反而提高了。
（三）在工程技术上的广泛应用
1、故障诊断
某系统有四台不同的仪表A、B、C、D控制,其可靠度分别为P(A)=0.9,P(B)=0.94,P(C)=0.96,P(D)=0.98。若其中任一台仪表发生故障,则可能引起系统失效。其概率分别为P(F|A)=0.2,P(F|B)=0.05,P(F|C)=0.02,P(F|D)=0.01。问由于仪表失灵而引起系统故障时,仪表A、B、C、D中哪个出故障的可能性最大?
解F表示系统失效,A、B、C、D表示相应仪表失效。则由贝叶斯定理
P(A|F)=
P(A)P(F|A)P(A)P(F|A)+P(B)P(F|B)+P(C)P(F|C)+P(D)P(F|D)
=0.833
同理可得
P(B|F)=0.125,P(C|F)=0.033,P(D|F)=0.008
由于A的可靠度低,且A失效时引起系统失效的可能性也大,结果使得A失效引起系统失效的可能性最大。
2、提高可靠性预测的精度
某厂生产的某仪表的寿命服从指数分布,合格批的失效率λ1=10-4/h,不合格批的失效率为λ2=2×10-4/h。由以前的数据统计得,合格批的概率为P1=P(λ1)=0.8,出现不合格批的概率为P2=P(λ2)=0.2,在该厂待交付的仪表批中任抽三台,各作了500小时试验,均无故障,即失效数Z=0,总试验时间为τ=1.5×104小时。问此批为合格批的概率是多少?
利用贝叶斯定理,经过试验后,产品是合格的概率由0.8提高到了约0.95,从而提高了预测精度。
（四）小概率事件原理的应用
小概率事件指的是在大量重复试验中发生概率极小的事件,或者说要做许多次试验才能够发生的一次事件。小概率事件与不可能事件是不同的。不可能事件指的是完全不可能发生或者发生概率为零的事件。小概率事件是有可能发生的,只是发生的可能性很小,并且没有规律可循。正是由于小概率事件的这种奇特的特性,使得人们对他充满了期待（如玩彩票）或忽视（如外出放松警惕）。
1、有位数学专业考生在1998-2002年连续报考中国注册会计师(只有在连续五年内通过会计、审计、税法、经济法和财务成本管理五门课才能取得注册会计师考试成绩合格证书)。令人惊奇的是,1998年,他竟然一次通过了会计、审计、税法和经济法四门课。这在当年注册会计师考生中是鲜见的。但令人费解的是,在这年期间,他不间断参加财务成本管理考试,但没有一次考过50分(20O2年刚好考了50分)。按常理,对学数学的人来说,财务成本管理这门课应该是最容易过关的。我国注册会计师法规定,过关科目的有效期为5年。这样一来,他已过关的那4门课就会因超过有效期而失效。正当他陷入绝望之时(拿到该证书既增加找工作的筹码,也可提高自信心),奇迹出现了,2002年中国注册会计师协会做出一项对他极为有利的决定,即凡是在1998-2002年问通过4门,而2002年考的那一门只要达到50分即可视为合格。这真是“山穷水尽疑无路,柳暗花明又一村”！
这个例子包括三个小概率事件：一是作为数学专业的考生连考五次与数学关系密切的财务成本管理都没有过50分(要求60分过关,因而距离还不小)；二是一次考过四门(少见)；三是注册会计师协会做出的对他有利的政策(自1991年我国注册会计师考试以来,实行该政策还是第一次)。对他来说,第一个小概率事件是不利的,而第二、三个是有利的,尤其是第三个小概率事件,使他由注册会计师考试的失败者(如果四门作废,以后再重考,是很难成功的)变为成功者。