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在作者建立的新数系Rgs的基础上,研究了该数系上的函数与极限理论.定义了Rgs上的函数和自然扩张函数,引入了单位振荡函数的概念,并讨论了实函数的规范表示形式,以及自然扩张和转移原则.在此基础上,建立了非标准微积分的基础之一: 非标准分析中的"标准部"型极限和标准分析中的"ε-δ"型极限的在自然扩张函数上的等价原理.