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教材分析
《直线和平面垂直》是北师大版《普通高中课程标准数学实验教科书（必修2）》中的内容。
在本节之前，教材已经通过直观图、三视图认识了空间的基本几何图形，并以长方体为载体，认识了点、线、面的基本关系。这种安排，有助于帮助学生通过具体的模型过渡到抽象定义，从自然语言过渡到数学语言，逐步习惯用图形的语言进行表达和思考，教材已经帮助学生多角度地认识图形，从整体到局部，从局部到整体。应该说，这是北师大必修2教材的一个特色。另外，教材的第4节“空间图形的公理”以及第5节“平行关系”中，已经渗透了一定的逻辑推理能力的训练。因此，本节内容在立体几何初步中起着承上启下的重要作用。
新课标提出：培养几何直观能力不仅仅是几何课程的任务，而且是整个数学课程的基础任务。因此，如何 借助几何直观地让学生真正理解和掌握本课内容是教师教学设计中必须要考虑的元素。
教学目标
一、知识与技能
1.从实际背景知识出发，让学生感受并理解直线和平面垂直的概念。
2.掌握直线和平面垂直的判定定理, 并会应用判定定理处理一些简单的线面垂直的判定问题。
二、过程与方法
1.通过生活中与线面垂直有关情景的思考和比较, 让学生体会探究直线和平面垂直的方法。
2.加深对转化思想的认识, 进一步领悟并熟练地将复杂问题转化为简单问题处理的基本思想方法。
三、情感态度与价值观
1.从实际生活中经常看到的一些线面垂直的现象，让学生举出更多类似的例子，来寻求线面垂直的特征及其判定方法，激发探求数学知识的欲望。
2.在探求和提炼过程中，让学生感受到思考问题、解决问题的快乐，同时，在活动中让每一个学生都积极思考，使之不但学会，而且会学。
教学的重、难点和研究问题
1.教学重点：直线和平面垂直的概念和判定。
2.教学难点：归纳发现直线和平面垂直的判定定理。
3.研究问题：如何判定直线和平面垂直。
教学对象及学情分析
学生刚刚学完平行的判定和性质，对空间位置关系的探索过程有了一定的经验积累。在这之前，通过几何直观熟悉了几种常见的位置关系，再加上第一单元三视图和直观图的学习，学生的几何直观能力已经相当可信。而蚌埠二中是一所省级示范高中，学生的整体素质非常高，学业水平较之普通学校而言要好得多，因此完成本节课程内容的学习应该是顺利的。
教学工具
三角板、三角形纸片、多媒体动态课件。
教学安排
1课时。
教学过程
一、感知直线与平面垂直的位置关系
[设计意图]从学生熟悉的实际背景出发，让学生回顾直线与平面的位置关系，并直观感知直线与平面垂直的位置关系，从而建立初步印象，为下一步的数学抽象作准备。
情景1：把书立于桌面的观察与思考。
1.如图1所示，书竖立在桌面上，页边AC所在直线与桌面α之间是什么关系？BD与平面α之间是什么关系？AB与平面α之间呢？
前两个问题学生处理应该很顺利，第三个问题可能出现不统一：相交、垂直。
2.教师适时回顾小结线面位置关系，并针对学生的回答指出直线与平面相交时，根据位置上的不同，可分为垂直、相交、斜交，同时点明本课课题，并让学生举出这样类似的例子。
学生答案可能很多：教室内直立的墙角线和地面的关系；马路边电线杆和地面的位置关系；桌子腿和地面的位置关系；旗杆和地面的位置关系。
二、感悟直线与平面垂直的意义
[设计意图]通过对生活事例的观察，激发学生进一步探究直线和平面垂直的意义并领会研究直线和平面垂直的必要性。
情景2：面对国旗的数学思考(出示图2)。
1.教师根据学生对上述问题的回答指出，现实生活中有如此多的直线和平面垂直的例子，因此有必要对其深入研究，并提出以下问题：
(1)阳光下，旗杆与它在地面上的影子所成的角度是多少？
(2)随着时间的变化，影子的位置会移动，而旗杆和影子的夹角是否会发生改变呢？
(3)旗杆与地面上任意一条不过旗杆底部的直线的位置关系又怎样？
2.教师让学生动手打开书立放在桌面上，观察书脊和书的每一页的底边沿所在直线的位置关系。
3.师生共同归纳、概括出线面垂直的定义：如果一条直线与一个平面内任何一条直线都垂直，我们就说这条直线与这个平面相互垂直。记作l⊥α。直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。直线和平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足P。
4.强调指出以下几点：
(1)一条直线垂直于一个平面，是指这条直线垂直于这个平面的任何一条直线。
(2)画直线和平面垂直时，通常把直线画成与标示平面的平行四边形的一边垂直，如图3所示。
三、探究发现直线与平面垂直的判定定理
[设计意图]让学生了解从定义出发判定直线和平面垂直的困难之处，激发学生进一步思考，哲学地类比线面和面面平行的判定方法，寻找具有可操作的直线和平面垂直的判定方法,从中体验有限和无限之间的辩证关系。
1.教师指出，通常定义可以作为判定依据，但定义告诉我们：如果一条直线与一个平面内任何一条直线都垂直，我们就说这条直线与这个平面相互垂直。提问学生在这里“任何一条直线”是何意？
学生的回答应有不同：“全部直线”、“无数条直线”、“所有直线”……
教师这时适时指出一些不严谨的说法。教师启发学生探索具有可操作性的其他判定方法。
2.引导学生回顾直线与平面平行的判定定理，我们只需证明平面外的直线平行平面内的一条直线即可证明直线与平面平行（强调“一条”这一数量特征以及转化为直线与直线这一思维方式）。请学生们思考，我们能否通过证明直线垂直于平面内的某一条直线即可认定直线和平面垂直呢？
学生不难举出反例说明不行。（反例演示：三角板的一边靠在黑板面内，另一边绕其旋转）
3.回到情景1，使书脊AB与桌面垂直，可否将若干书页去掉，引导学生根据日常生活经验认定至少要保留两页才能使书不倒并维持书脊AB与桌面垂直，进一步引导学生认识到至少证明平面内的几条直线垂直于平面外的直线才可认定直线和平面垂直。
4.教师引导学生思考：理论上我们知道两条相交直线可以确定一个平面，但两条平行直线也可确定一个平面，那么能把条件改为“两条平行直线”吗？鼓励学生用反例否定。
5.师生共同猜想：如果一条直线和平面内两相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面。
6.实验活动验证：将准备好的三角形纸板ABC过其顶点A翻折，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），观察折痕与桌面的位置关系，看看哪位学生最先使折痕与桌面垂直，并观察此时折痕有什么特殊？
四、归纳说明直线与平面垂直的判定定理
[设计意图]通过以上探究过程，归纳得出直线和平面垂直的判定定理。从中得出这个定理将原本判定直线和平面垂直的问题通过判定直线和直线来解决，因此同直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理类似，虽然平面内的直线有无数条，但它却可以由两条相交直线来完成确定。
1.归纳判定直线和平面垂直的重要方法。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和平面α内两相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面。符号表示为：
2.教师指出对比以上两个案例可以得出，线面垂直时的本质情况：直线垂直平面内两条相交直线。线不在多，重在相交！
师生交流后，进一步得出要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内的两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交是否和已知直线有公共点，是无关紧要的，因此定理将原本判定线面垂直的问题转化为判定直线和直线的垂直来解决。当然，该判定定理是可以证明的，我们留在以后的学习中去完成。
五、直线与平面垂直的判定定理的巩固和应用
[设计意图]通过实例感受如何运用直线和平面垂直的意义或判定定理来解决问题。
例一 已知：a∥b，a⊥α，
求证：b⊥α。
分析1：要证明b⊥α，根据判定定理，只要证明在平面α内有两条相交直线与b垂直即可，而现在平面内没有一条直线，故需要作出两条相交直线m、n（图4），然后根据已知条件进行推理论证。
师生共同完成证明，教师在黑板上完整板书。
分析2：其实直线和直线垂直，是指所成角度是90°，直线平移会改变它与其他直线所成的角吗?
启发学生可以直接用线面垂直的定义去证明，并请学生独立完成证明。
[设计意图]其实本例可以作为直线和平面垂直的又一个判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
启发学生们类比这个结论，提出类似的命题去证明直线和平面垂直：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么它也垂直于另外一个平面。
本例小结：判定一条直线和一个平面垂直可以有以下几种方式：
(1)用直线和平面垂直的定义证明直线垂直于平面内任意一条直线。
(2)用直线和平面垂直的判定定理证明直线垂直于平面内两条相交直线。
(3)用上述例题所得结论证明直线与已知平面垂直的另一条直线平行，或证明直线垂直于与已知平面平行的另一平面。
例二 求证：与三角形的两边同时垂直的直线必与第三边垂直。
教师请学生们先写出已知和求证。
已知：如图5，a⊥AC，a⊥BC,
求证：a⊥AB。
学生完成此题。
[设计意图]此例为“线线垂直”的判断提供了一种方法，可以通过证明线面垂直来证明线线垂直，它的依据就是线面垂直的定义。
本例小结：我们是不是在线线垂直和线面垂直之间建立了如下的一种关系。要注意在不同的情境中，线与线的含义是有差异的。
五、课堂反馈练习
1.判断下列说法是否正确：
(1)如果一条直线和一个平面内的无数条直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直。
(2)如果一条直线和一个平面内的任意两条直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直。
(3)过空间任意一点可作无数条直线和一个已知平面垂直。
(4)过空间任意一点可作无数个平面和一条已知直线垂直。
2.教材第42页第3题。
六、课堂小结与反思
教师首先要求学生回顾本节课所研究的问题，重点总结直线和平面垂直的意义及判定方法。在此基础上，教师再作必要补充。
七、作业布置
1.教材第49页第5题。
2.证明：若一直线垂直于两平行平面中的一个，那么它也垂直于另一个平面。
3.预习教材下一节内容。
教学反思
直线和平面垂直是立体几何中最重要的位置关系之一，可以说是立体几何的核心内容。如何在一开始就正确把握和处理这节内容是每一位教师在备课时都要思考和精心设计的。如何既突出几何直观思想，又不过分放松对几何逻辑推理能力的要求，是我在这堂课备课时思考最多的。这节课整体的教学效果，我比较满意。
1.设计思想方面。新课标“立体几何初步”为降低难度，削弱了对几何逻辑推理能力的要求，强调几何直观能力的培养和应用，因此在本课例的设计时充分体现了这一理念，极力从几何直观出发，让学生从生活实例和观察中领会直线和平面垂直的意义。通过学生自我探究与思考理解并掌握直线和平面垂直的判定定理。课堂反馈练习1中的(3)(4)的放置也是秉承了这一想法，鼓励学生运用几何直观来学习和感悟空间几何，因此强调几何直观是本节课设计的最主要思想。
2.例题选择方面。新课标要求，教师要用教材教，而不能教教材。因此我选择的例一目的是对本节内容作一全面的检验和示范：用定义和判定定理两种方式证明了同一问题，同时结论本身就是一个新的定理。例二的选择是基于定义和判定的，这是本节课的重点，同时也启发学生，直线和平面垂直的定义其实又是一个判定直线和直线垂直的依据。
关于几何教育功能的困惑如下：
新课标指出，高中数学课程中，几何的作用主要在于培养学生的几何直观能力和推理论证能力，这两种能力对于学生思维的发展和对数学本质的理解都是非常重要的。但从新课标教材的编写上看，似乎在必修2中强调几何直观更甚。现在初中课程改革以后，学生的逻辑推证能力已远不如以前，高中一线教师往往感到现在的数学课越来越难上。就本节课来讲，我们知道逻辑推理是数学的基本思维形式，但让学生掌握到什么程度、教师在设计教学时应考虑到什么深度、“螺旋式上升”螺旋到什么程度适宜，仍有待在实践中进一步思考。
《直线和平面垂直》是北师大版《普通高中课程标准数学实验教科书（必修2）》中的内容。
在本节之前，教材已经通过直观图、三视图认识了空间的基本几何图形，并以长方体为载体，认识了点、线、面的基本关系。这种安排，有助于帮助学生通过具体的模型过渡到抽象定义，从自然语言过渡到数学语言，逐步习惯用图形的语言进行表达和思考，教材已经帮助学生多角度地认识图形，从整体到局部，从局部到整体。应该说，这是北师大必修2教材的一个特色。另外，教材的第4节“空间图形的公理”以及第5节“平行关系”中，已经渗透了一定的逻辑推理能力的训练。因此，本节内容在立体几何初步中起着承上启下的重要作用。
新课标提出：培养几何直观能力不仅仅是几何课程的任务，而且是整个数学课程的基础任务。因此，如何 借助几何直观地让学生真正理解和掌握本课内容是教师教学设计中必须要考虑的元素。
教学目标
一、知识与技能
1.从实际背景知识出发，让学生感受并理解直线和平面垂直的概念。
2.掌握直线和平面垂直的判定定理, 并会应用判定定理处理一些简单的线面垂直的判定问题。
二、过程与方法
1.通过生活中与线面垂直有关情景的思考和比较, 让学生体会探究直线和平面垂直的方法。
2.加深对转化思想的认识, 进一步领悟并熟练地将复杂问题转化为简单问题处理的基本思想方法。
三、情感态度与价值观
1.从实际生活中经常看到的一些线面垂直的现象，让学生举出更多类似的例子，来寻求线面垂直的特征及其判定方法，激发探求数学知识的欲望。
2.在探求和提炼过程中，让学生感受到思考问题、解决问题的快乐，同时，在活动中让每一个学生都积极思考，使之不但学会，而且会学。
教学的重、难点和研究问题
1.教学重点：直线和平面垂直的概念和判定。
2.教学难点：归纳发现直线和平面垂直的判定定理。
3.研究问题：如何判定直线和平面垂直。
教学对象及学情分析
学生刚刚学完平行的判定和性质，对空间位置关系的探索过程有了一定的经验积累。在这之前，通过几何直观熟悉了几种常见的位置关系，再加上第一单元三视图和直观图的学习，学生的几何直观能力已经相当可信。而蚌埠二中是一所省级示范高中，学生的整体素质非常高，学业水平较之普通学校而言要好得多，因此完成本节课程内容的学习应该是顺利的。
教学工具
三角板、三角形纸片、多媒体动态课件。
教学安排
1课时。
教学过程
一、感知直线与平面垂直的位置关系
[设计意图]从学生熟悉的实际背景出发，让学生回顾直线与平面的位置关系，并直观感知直线与平面垂直的位置关系，从而建立初步印象，为下一步的数学抽象作准备。
情景1：把书立于桌面的观察与思考。
1.如图1所示，书竖立在桌面上，页边AC所在直线与桌面α之间是什么关系？BD与平面α之间是什么关系？AB与平面α之间呢？
前两个问题学生处理应该很顺利，第三个问题可能出现不统一：相交、垂直。
2.教师适时回顾小结线面位置关系，并针对学生的回答指出直线与平面相交时，根据位置上的不同，可分为垂直、相交、斜交，同时点明本课课题，并让学生举出这样类似的例子。
学生答案可能很多：教室内直立的墙角线和地面的关系；马路边电线杆和地面的位置关系；桌子腿和地面的位置关系；旗杆和地面的位置关系。
二、感悟直线与平面垂直的意义
[设计意图]通过对生活事例的观察，激发学生进一步探究直线和平面垂直的意义并领会研究直线和平面垂直的必要性。
情景2：面对国旗的数学思考(出示图2)。
1.教师根据学生对上述问题的回答指出，现实生活中有如此多的直线和平面垂直的例子，因此有必要对其深入研究，并提出以下问题：
(1)阳光下，旗杆与它在地面上的影子所成的角度是多少？
(2)随着时间的变化，影子的位置会移动，而旗杆和影子的夹角是否会发生改变呢？
(3)旗杆与地面上任意一条不过旗杆底部的直线的位置关系又怎样？
2.教师让学生动手打开书立放在桌面上，观察书脊和书的每一页的底边沿所在直线的位置关系。
3.师生共同归纳、概括出线面垂直的定义：如果一条直线与一个平面内任何一条直线都垂直，我们就说这条直线与这个平面相互垂直。记作l⊥α。直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。直线和平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足P。
4.强调指出以下几点：
(1)一条直线垂直于一个平面，是指这条直线垂直于这个平面的任何一条直线。
(2)画直线和平面垂直时，通常把直线画成与标示平面的平行四边形的一边垂直，如图3所示。
三、探究发现直线与平面垂直的判定定理
[设计意图]让学生了解从定义出发判定直线和平面垂直的困难之处，激发学生进一步思考，哲学地类比线面和面面平行的判定方法，寻找具有可操作的直线和平面垂直的判定方法,从中体验有限和无限之间的辩证关系。
1.教师指出，通常定义可以作为判定依据，但定义告诉我们：如果一条直线与一个平面内任何一条直线都垂直，我们就说这条直线与这个平面相互垂直。提问学生在这里“任何一条直线”是何意？
学生的回答应有不同：“全部直线”、“无数条直线”、“所有直线”……
教师这时适时指出一些不严谨的说法。教师启发学生探索具有可操作性的其他判定方法。
2.引导学生回顾直线与平面平行的判定定理，我们只需证明平面外的直线平行平面内的一条直线即可证明直线与平面平行（强调“一条”这一数量特征以及转化为直线与直线这一思维方式）。请学生们思考，我们能否通过证明直线垂直于平面内的某一条直线即可认定直线和平面垂直呢？
学生不难举出反例说明不行。（反例演示：三角板的一边靠在黑板面内，另一边绕其旋转）
3.回到情景1，使书脊AB与桌面垂直，可否将若干书页去掉，引导学生根据日常生活经验认定至少要保留两页才能使书不倒并维持书脊AB与桌面垂直，进一步引导学生认识到至少证明平面内的几条直线垂直于平面外的直线才可认定直线和平面垂直。
4.教师引导学生思考：理论上我们知道两条相交直线可以确定一个平面，但两条平行直线也可确定一个平面，那么能把条件改为“两条平行直线”吗？鼓励学生用反例否定。
5.师生共同猜想：如果一条直线和平面内两相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面。
6.实验活动验证：将准备好的三角形纸板ABC过其顶点A翻折，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），观察折痕与桌面的位置关系，看看哪位学生最先使折痕与桌面垂直，并观察此时折痕有什么特殊？
四、归纳说明直线与平面垂直的判定定理
[设计意图]通过以上探究过程，归纳得出直线和平面垂直的判定定理。从中得出这个定理将原本判定直线和平面垂直的问题通过判定直线和直线来解决，因此同直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理类似，虽然平面内的直线有无数条，但它却可以由两条相交直线来完成确定。
1.归纳判定直线和平面垂直的重要方法。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和平面α内两相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面。符号表示为：
2.教师指出对比以上两个案例可以得出，线面垂直时的本质情况：直线垂直平面内两条相交直线。线不在多，重在相交！
师生交流后，进一步得出要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内的两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交是否和已知直线有公共点，是无关紧要的，因此定理将原本判定线面垂直的问题转化为判定直线和直线的垂直来解决。当然，该判定定理是可以证明的，我们留在以后的学习中去完成。
五、直线与平面垂直的判定定理的巩固和应用
[设计意图]通过实例感受如何运用直线和平面垂直的意义或判定定理来解决问题。
例一 已知：a∥b，a⊥α，
求证：b⊥α。
分析1：要证明b⊥α，根据判定定理，只要证明在平面α内有两条相交直线与b垂直即可，而现在平面内没有一条直线，故需要作出两条相交直线m、n（图4），然后根据已知条件进行推理论证。
师生共同完成证明，教师在黑板上完整板书。
分析2：其实直线和直线垂直，是指所成角度是90°，直线平移会改变它与其他直线所成的角吗?
启发学生可以直接用线面垂直的定义去证明，并请学生独立完成证明。
[设计意图]其实本例可以作为直线和平面垂直的又一个判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
启发学生们类比这个结论，提出类似的命题去证明直线和平面垂直：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么它也垂直于另外一个平面。
本例小结：判定一条直线和一个平面垂直可以有以下几种方式：
(1)用直线和平面垂直的定义证明直线垂直于平面内任意一条直线。
(2)用直线和平面垂直的判定定理证明直线垂直于平面内两条相交直线。
(3)用上述例题所得结论证明直线与已知平面垂直的另一条直线平行，或证明直线垂直于与已知平面平行的另一平面。
例二 求证：与三角形的两边同时垂直的直线必与第三边垂直。
教师请学生们先写出已知和求证。
已知：如图5，a⊥AC，a⊥BC,
求证：a⊥AB。
学生完成此题。
[设计意图]此例为“线线垂直”的判断提供了一种方法，可以通过证明线面垂直来证明线线垂直，它的依据就是线面垂直的定义。
本例小结：我们是不是在线线垂直和线面垂直之间建立了如下的一种关系。要注意在不同的情境中，线与线的含义是有差异的。
五、课堂反馈练习
1.判断下列说法是否正确：
(1)如果一条直线和一个平面内的无数条直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直。
(2)如果一条直线和一个平面内的任意两条直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直。
(3)过空间任意一点可作无数条直线和一个已知平面垂直。
(4)过空间任意一点可作无数个平面和一条已知直线垂直。
2.教材第42页第3题。
六、课堂小结与反思
教师首先要求学生回顾本节课所研究的问题，重点总结直线和平面垂直的意义及判定方法。在此基础上，教师再作必要补充。
七、作业布置
1.教材第49页第5题。
2.证明：若一直线垂直于两平行平面中的一个，那么它也垂直于另一个平面。
3.预习教材下一节内容。
教学反思
直线和平面垂直是立体几何中最重要的位置关系之一，可以说是立体几何的核心内容。如何在一开始就正确把握和处理这节内容是每一位教师在备课时都要思考和精心设计的。如何既突出几何直观思想，又不过分放松对几何逻辑推理能力的要求，是我在这堂课备课时思考最多的。这节课整体的教学效果，我比较满意。
1.设计思想方面。新课标“立体几何初步”为降低难度，削弱了对几何逻辑推理能力的要求，强调几何直观能力的培养和应用，因此在本课例的设计时充分体现了这一理念，极力从几何直观出发，让学生从生活实例和观察中领会直线和平面垂直的意义。通过学生自我探究与思考理解并掌握直线和平面垂直的判定定理。课堂反馈练习1中的(3)(4)的放置也是秉承了这一想法，鼓励学生运用几何直观来学习和感悟空间几何，因此强调几何直观是本节课设计的最主要思想。
2.例题选择方面。新课标要求，教师要用教材教，而不能教教材。因此我选择的例一目的是对本节内容作一全面的检验和示范：用定义和判定定理两种方式证明了同一问题，同时结论本身就是一个新的定理。例二的选择是基于定义和判定的，这是本节课的重点，同时也启发学生，直线和平面垂直的定义其实又是一个判定直线和直线垂直的依据。
关于几何教育功能的困惑如下：
新课标指出，高中数学课程中，几何的作用主要在于培养学生的几何直观能力和推理论证能力，这两种能力对于学生思维的发展和对数学本质的理解都是非常重要的。但从新课标教材的编写上看，似乎在必修2中强调几何直观更甚。现在初中课程改革以后，学生的逻辑推证能力已远不如以前，高中一线教师往往感到现在的数学课越来越难上。就本节课来讲，我们知道逻辑推理是数学的基本思维形式，但让学生掌握到什么程度、教师在设计教学时应考虑到什么深度、“螺旋式上升”螺旋到什么程度适宜，仍有待在实践中进一步思考。