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2014年3月在教育部组织的学员满意度调查中天津师范大学荣获“培训团队研修项目”全国第一名.首届国家级教学名师顾沛先生在天津师范大学承办的2013年“国培”计划——教育部示范性项目培训团队研修项目（培训机构班）上，对某教师基于《电话计费问题》组织的数学探究活动进行了深度点评.该点评深受学员欢迎.《电话计费问题》是义务教育教科书（人教版）七年级数学上册《实际问题与一元一次方程》中的探究内容之一，意图在于在使学生学习了一元一次方程的概念及解法之后，进一步以“探究”的形式讨论如何用一元一次方程解决实际问题，体验方程模型的思想.现从数学探究活动中师生交流的角度，谈一谈由顾沛先生的点评课引起的一些思考.1 师生交流的过程〖TPsjj.tif，BP〗〖TS（〗〖JZ〗图1 交流的过程：四个环节〖TS）〗
数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程[1].数学教学应从实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情景，引导学生通过实践、思考、探索、交流获得知识、形成技能、发展思维.重视数学课堂中的交流，培养学生的交流能力，已成为当今数学课程改革的一项重要内容.课堂中师生互动的过程，就是一种交流的过程.教师与学生间的交流可以看做四个不断循环的过程[2]（如图1）：信息发送者以可以被接收者理解的方式将信息编码，然后传递信息；信息接收者将收到的信息进行解码，后再将某些反应编入信息中反馈给发送者，发送者对此进行解码并产生自己的回应.语言、声音、眼神、动作等都可以是信息传递的载体.需要指出的是，不能把教师、学生分别固定在信息发送者、接受者的位置，信息交流过程中发送者与接收者的角色应是不断转换的.2 师生交流的组织
新课程理念提倡学生在自主探索和合作交流中学习，在这过程中教师应扮演设计者、组织者、启发者、引导者、鼓励者和促进者的角色，而决不能仅仅作为开题者、欣赏者和总结者[3].从师生交流的角度来看，教师的语言、提问、倾听、反馈等都能起到组织、启发、引导、鼓励的作用，也影响着数学探究活动的质量.
2.1 表述
数学探究活动中教师主要通过语言表述将信息向学生发送.在顾沛先生看来，数学教师的教学语言反应了其本人的思路，也影响着学生探究活动的方向与效率.教师准确、规范、精炼的语言是进行有效课堂交流的保障.课堂中师生交流的起点往往是数学问题情境，在《电话计费问题》一课的导入阶段，教师对问题情境的表述如下：
在使学生明确了两种电话计费方式之后，教师再次明确学生要探究的问题“这两种计费方式，哪种更划算呢”.如此，教师对问题情境的表述，语言含糊，有失严谨.首先顾沛先生指出数学模型的思想是贯穿此课始终的数学思想之一，数学模型的建立旨在解决一类问题而不是个人特例.“老师的手机支付方式”可替换为“初一年级组老师们的手机支付方式”等类似情境.其次，哪种计费方式更划算是因人而异的，笼统地问学生“哪种方式更划算”影响学生思路，以致学生听到问题后直接回答“方式二更划算”.此处建议将问题更改为“哪一种方式更适合我（们）”.
交流片段2 学生明确了电话费用与主叫时间有关，并通过计算具体费用分析出主叫时间小于150分钟时方式一划算，主叫时间大于350分钟时方式二划算，教师继续引导学生.
教师：对中间的一段（小于150分钟，大于350分钟）你有什么想法？
学生：如果打的较少的话应选方式一，如果打的较多的话应选方式二，肯定会有一个点，两种方式的费用会有一个相等.
教师：（面向全体学生）他的意思是说肯定会有一个时间点，使得两种计费的方式费用相等.（面向被提问学生）那你如何看出来有相等呢？你能像刚才××同学说的那样吗？能给大家具体解释一下吗？
学生：……
教师：还没想好，再想想（示意坐下）！
学生想到会有费用相等的点，思路是正确的，但是在教师试图启发的追问下反而无言以对了，这与教师追问的措辞不当有关.“那你如何看出来有相等呢？你能像刚才××同学说的那样吗？能给大家具体解释一下吗？”这样追问语句太长、过于啰嗦，使学生不知从何说起，已有的一点思路戛然而止.所以，为保证师生顺利交流，教师语言还应尽量精炼.如在学生说出会有一个点使两种方式的费用相等后，教师以“为什么总有一个点处的费用相等，你能说出道理吗”这一较为简洁的、又是关键的问题追问，可能会使学生的思路更加明确.
2.2 提问
交流片段3 教师在进行课堂总结时向学生提问.
教师：请回顾电话计费问题的探究过程，回答以下问题
探究解决的过程大概包含哪几个步骤？
电话计费问题的核心问题是什么？
我们在探究的过程中用到了那些方法？你有哪些收获？
学生：……
教师：现在回答第一个问题.我们刚才都经历了，说不全没关系.大致有哪些过程，在经历之后我们再概括一下.
问题是教师向学生发送信息的主要形式，通过不断地提问，启发、引导学生积极思考、自主探索，以推进教学.教师表述的问题除了注意准确、规范、精炼外，还应具体、有针对性.如在交流片段3中教师提出三个问题帮助学生进行课堂总结，三个问题过大，学生无从回答，引起“冷场”，教师再次解释并鼓励学生后才有一位学生勉强做出回答.
新课程改革提倡启发式的教学以及探究性学习，部分教师将之解释为教师讲的越少越好，认为师生交流就是一问一答，在教学中期望用课堂提问来体现启发式教学的理念，以提问来替代教师讲课.尤其是在学生自主探究活动中更是回避“讲”的成分.顾沛先生指出，这种误解使得教师从“满堂灌”走向了“满堂问”.其实，数学探究活动中并不是所有步骤、结论都需要在问答式的交流中由学生说出，在学生思维成分比较少的地方，教师可进行启发性讲解以节约课堂时间. 2.3 倾听
倾听是教师作为信息接收者时的任务.不需要语言表达的倾听也是非常重要的工作，是教师能够与学生平等、有效交流所必须掌握的一门技巧.很多情况下，教师在听学生说话时，不是集中注意倾听收到的信息，而是还在思考自己所要提出的下一个问题或将要讲述的内容，同时眼睛余光还监控着整个课堂的秩序.尤其是学生发出的信息与教师期待的反应不同时，教师很难予以关注，有时甚至干扰或打断学生的回答.对于这种现象，顾沛先生指出数学教学不仅仅是要传授知识，更是一种育人活动.教师一心完成教学计划，无意中抹杀了学生的主动性和即兴发挥的能力，带给学生消极的情感体验.
倾听时教师要停止说话，尽量专注于正在表达的学生，包括其传达出的言语的及非言语的信息.如学生起立表达自己的观点时伴随双手颤抖、身体僵硬，教师应意识到他可能有些紧张.学生的言语内容、声音、面部表情、肢体动作都是教师倾听时关注的对象，即倾听不只用耳，还要用眼.
2.4 反馈
教师通过倾听，应该将自己的部分反应信息以某种载体反馈给学生，即对学生发出的信息作出评价.如面对学生“我……还没想好”的类似话语，教师鼓励的眼神与话语都可一定程度上击退学生的畏难情绪.当对学生进行表扬或鼓励时，教师惯用“很好，请坐”这一单调、笼统的评价.顾沛先生建议教师应给予具体的评价，如学生提出“电话费用与主叫时间有关”的观点后，“你找到了问题的关键”、“你说到了点上”等类似评价会带给学生更加积极的情绪体验.
交流片段4 教师引导学生用数学的语言来解决问题，试图启发学生说出可以以字母表示主叫时间.
教师：既然这道题中费用取决于主叫时间，而时间是在变化的，又要用它，那该怎么办？
学生：我们可以设一个方程.
教师：现在还没有到方程.我们要用数学的语言将这几种情况表示出来，先要把时间设一下.设时间为……？
学生：t.
当提问与回答有误差时，对教师的反馈能力是一个考验，也是折射教师教育理念的关键时刻.在交流片段4中，教师试图让学生先用字母表示出主叫时间，渗透符号表示的思想，再列方程，可学生已经想到了列方程.此处学生的回答并没有错误，只是不符合教师的预期.面对教师以个人预期为基准对学生传达出的信息解码，对学生做出消极的反馈，我们不禁要问，对于教师来说，数学教学是完成既定的教学计划，还是指向学生的发展.在此，顾沛先生再次强调“我们不仅仅是在教知识，我们是在育人.学生的情感态度、学习兴趣，可能就因教师的打断或不应有的否定而受到负面影响”.3 师生交流的提升
对于“四基”间的关系，顾沛先生认为基础知识和基本技能是数学教学的主要载体，需要花费较多的课堂时间；数学思想则是数学教学的精髓，是统领课堂教学的制高点；数学活动是不可或缺的教学形式与过程[4].教师有意识地在师生交流中渗透或传授数学思想，是数学交流活动提升内涵质量的必要内容.
数学的基本思想，主要有数学抽象的思想、数学推理的思想、数学模型的思想、数学审美的思想.由上述“基本思想”演变、派生、发展出来的数学思想还有很多，例如由“数学抽象的思想”派生出来的有分类的思想、集合的思想、符号表示的思想等.《电话计费问题》的探究活动中主要体现数学模型思想，但整堂课教师的口中及板书中却并没有出现“模型”一词，顾沛先生将之称为渗透数学思想.在将主叫时间分类讨论后，教师以缓慢、强调的语气总结“这5种情况的分类，是我们解决这种综合问题的一种很好的方法”，并同时板书“分类”，是明确地向学生传授数学思想.
无论是传授还是渗透数学思想，都不是在讲授知识时生拉硬扯、牵强附会地阐述的，也不是摆开架势、长篇大论地传授的，而应是在教师有意识地引导下融入师生的交流中的.例如课例中在帮助学生用形象的、情境的方法得到结论后，教师发问“这是严格的数学吗？能够完全说服别人吗？所以，我们还要回归到数学，用数字、字母、算式、方程等工具去说明问题”，让学生认识到一切数学结论都不是数出来、猜出来，而是由逻辑推理来的，较好地渗透了数学推理的思想.为了在师生交流中渗透或传授数学思想，教师需要精心设计自己的教学语言，并恰当地把握两者间的分寸.目前来看，渗透数学思想、传授数学思想与不同年龄学生的匹配问题，还有待进一步研究.
观摩一堂好课能使人收获，聆听顾沛先生对一堂课的深度点评亦使人受益匪浅.成功的师生交流需要教师不断地揣摩、尝试与改进，始终不变的宗旨是数学教学要重视育人.
参考文献
[1] 中华人民共和国教育部.义务教育阶段数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012：2.
[2] 肯尼斯·莫尔.课堂教学技巧[M].刘静，译.北京：人民教育出版社，2010：143.
[3] 顾沛.试论研究性教学中教师的作用[J].数学教育学报，2006，15（3）：4-7.
[4] 顾沛.数学基础教育中的“双基”如何发展为“四基”[J].数学教育学报，2012，21（1）：14-16.
数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程[1].数学教学应从实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情景，引导学生通过实践、思考、探索、交流获得知识、形成技能、发展思维.重视数学课堂中的交流，培养学生的交流能力，已成为当今数学课程改革的一项重要内容.课堂中师生互动的过程，就是一种交流的过程.教师与学生间的交流可以看做四个不断循环的过程[2]（如图1）：信息发送者以可以被接收者理解的方式将信息编码，然后传递信息；信息接收者将收到的信息进行解码，后再将某些反应编入信息中反馈给发送者，发送者对此进行解码并产生自己的回应.语言、声音、眼神、动作等都可以是信息传递的载体.需要指出的是，不能把教师、学生分别固定在信息发送者、接受者的位置，信息交流过程中发送者与接收者的角色应是不断转换的.2 师生交流的组织
新课程理念提倡学生在自主探索和合作交流中学习，在这过程中教师应扮演设计者、组织者、启发者、引导者、鼓励者和促进者的角色，而决不能仅仅作为开题者、欣赏者和总结者[3].从师生交流的角度来看，教师的语言、提问、倾听、反馈等都能起到组织、启发、引导、鼓励的作用，也影响着数学探究活动的质量.
2.1 表述
数学探究活动中教师主要通过语言表述将信息向学生发送.在顾沛先生看来，数学教师的教学语言反应了其本人的思路，也影响着学生探究活动的方向与效率.教师准确、规范、精炼的语言是进行有效课堂交流的保障.课堂中师生交流的起点往往是数学问题情境，在《电话计费问题》一课的导入阶段，教师对问题情境的表述如下：
在使学生明确了两种电话计费方式之后，教师再次明确学生要探究的问题“这两种计费方式，哪种更划算呢”.如此，教师对问题情境的表述，语言含糊，有失严谨.首先顾沛先生指出数学模型的思想是贯穿此课始终的数学思想之一，数学模型的建立旨在解决一类问题而不是个人特例.“老师的手机支付方式”可替换为“初一年级组老师们的手机支付方式”等类似情境.其次，哪种计费方式更划算是因人而异的，笼统地问学生“哪种方式更划算”影响学生思路，以致学生听到问题后直接回答“方式二更划算”.此处建议将问题更改为“哪一种方式更适合我（们）”.
交流片段2 学生明确了电话费用与主叫时间有关，并通过计算具体费用分析出主叫时间小于150分钟时方式一划算，主叫时间大于350分钟时方式二划算，教师继续引导学生.
教师：对中间的一段（小于150分钟，大于350分钟）你有什么想法？
学生：如果打的较少的话应选方式一，如果打的较多的话应选方式二，肯定会有一个点，两种方式的费用会有一个相等.
教师：（面向全体学生）他的意思是说肯定会有一个时间点，使得两种计费的方式费用相等.（面向被提问学生）那你如何看出来有相等呢？你能像刚才××同学说的那样吗？能给大家具体解释一下吗？
学生：……
教师：还没想好，再想想（示意坐下）！
学生想到会有费用相等的点，思路是正确的，但是在教师试图启发的追问下反而无言以对了，这与教师追问的措辞不当有关.“那你如何看出来有相等呢？你能像刚才××同学说的那样吗？能给大家具体解释一下吗？”这样追问语句太长、过于啰嗦，使学生不知从何说起，已有的一点思路戛然而止.所以，为保证师生顺利交流，教师语言还应尽量精炼.如在学生说出会有一个点使两种方式的费用相等后，教师以“为什么总有一个点处的费用相等，你能说出道理吗”这一较为简洁的、又是关键的问题追问，可能会使学生的思路更加明确.
2.2 提问
交流片段3 教师在进行课堂总结时向学生提问.
教师：请回顾电话计费问题的探究过程，回答以下问题
探究解决的过程大概包含哪几个步骤？
电话计费问题的核心问题是什么？
我们在探究的过程中用到了那些方法？你有哪些收获？
学生：……
教师：现在回答第一个问题.我们刚才都经历了，说不全没关系.大致有哪些过程，在经历之后我们再概括一下.
问题是教师向学生发送信息的主要形式，通过不断地提问，启发、引导学生积极思考、自主探索，以推进教学.教师表述的问题除了注意准确、规范、精炼外，还应具体、有针对性.如在交流片段3中教师提出三个问题帮助学生进行课堂总结，三个问题过大，学生无从回答，引起“冷场”，教师再次解释并鼓励学生后才有一位学生勉强做出回答.
新课程改革提倡启发式的教学以及探究性学习，部分教师将之解释为教师讲的越少越好，认为师生交流就是一问一答，在教学中期望用课堂提问来体现启发式教学的理念，以提问来替代教师讲课.尤其是在学生自主探究活动中更是回避“讲”的成分.顾沛先生指出，这种误解使得教师从“满堂灌”走向了“满堂问”.其实，数学探究活动中并不是所有步骤、结论都需要在问答式的交流中由学生说出，在学生思维成分比较少的地方，教师可进行启发性讲解以节约课堂时间. 2.3 倾听
倾听是教师作为信息接收者时的任务.不需要语言表达的倾听也是非常重要的工作，是教师能够与学生平等、有效交流所必须掌握的一门技巧.很多情况下，教师在听学生说话时，不是集中注意倾听收到的信息，而是还在思考自己所要提出的下一个问题或将要讲述的内容，同时眼睛余光还监控着整个课堂的秩序.尤其是学生发出的信息与教师期待的反应不同时，教师很难予以关注，有时甚至干扰或打断学生的回答.对于这种现象，顾沛先生指出数学教学不仅仅是要传授知识，更是一种育人活动.教师一心完成教学计划，无意中抹杀了学生的主动性和即兴发挥的能力，带给学生消极的情感体验.
倾听时教师要停止说话，尽量专注于正在表达的学生，包括其传达出的言语的及非言语的信息.如学生起立表达自己的观点时伴随双手颤抖、身体僵硬，教师应意识到他可能有些紧张.学生的言语内容、声音、面部表情、肢体动作都是教师倾听时关注的对象，即倾听不只用耳，还要用眼.
2.4 反馈
教师通过倾听，应该将自己的部分反应信息以某种载体反馈给学生，即对学生发出的信息作出评价.如面对学生“我……还没想好”的类似话语，教师鼓励的眼神与话语都可一定程度上击退学生的畏难情绪.当对学生进行表扬或鼓励时，教师惯用“很好，请坐”这一单调、笼统的评价.顾沛先生建议教师应给予具体的评价，如学生提出“电话费用与主叫时间有关”的观点后，“你找到了问题的关键”、“你说到了点上”等类似评价会带给学生更加积极的情绪体验.
交流片段4 教师引导学生用数学的语言来解决问题，试图启发学生说出可以以字母表示主叫时间.
教师：既然这道题中费用取决于主叫时间，而时间是在变化的，又要用它，那该怎么办？
学生：我们可以设一个方程.
教师：现在还没有到方程.我们要用数学的语言将这几种情况表示出来，先要把时间设一下.设时间为……？
学生：t.
当提问与回答有误差时，对教师的反馈能力是一个考验，也是折射教师教育理念的关键时刻.在交流片段4中，教师试图让学生先用字母表示出主叫时间，渗透符号表示的思想，再列方程，可学生已经想到了列方程.此处学生的回答并没有错误，只是不符合教师的预期.面对教师以个人预期为基准对学生传达出的信息解码，对学生做出消极的反馈，我们不禁要问，对于教师来说，数学教学是完成既定的教学计划，还是指向学生的发展.在此，顾沛先生再次强调“我们不仅仅是在教知识，我们是在育人.学生的情感态度、学习兴趣，可能就因教师的打断或不应有的否定而受到负面影响”.3 师生交流的提升
对于“四基”间的关系，顾沛先生认为基础知识和基本技能是数学教学的主要载体，需要花费较多的课堂时间；数学思想则是数学教学的精髓，是统领课堂教学的制高点；数学活动是不可或缺的教学形式与过程[4].教师有意识地在师生交流中渗透或传授数学思想，是数学交流活动提升内涵质量的必要内容.
数学的基本思想，主要有数学抽象的思想、数学推理的思想、数学模型的思想、数学审美的思想.由上述“基本思想”演变、派生、发展出来的数学思想还有很多，例如由“数学抽象的思想”派生出来的有分类的思想、集合的思想、符号表示的思想等.《电话计费问题》的探究活动中主要体现数学模型思想，但整堂课教师的口中及板书中却并没有出现“模型”一词，顾沛先生将之称为渗透数学思想.在将主叫时间分类讨论后，教师以缓慢、强调的语气总结“这5种情况的分类，是我们解决这种综合问题的一种很好的方法”，并同时板书“分类”，是明确地向学生传授数学思想.
无论是传授还是渗透数学思想，都不是在讲授知识时生拉硬扯、牵强附会地阐述的，也不是摆开架势、长篇大论地传授的，而应是在教师有意识地引导下融入师生的交流中的.例如课例中在帮助学生用形象的、情境的方法得到结论后，教师发问“这是严格的数学吗？能够完全说服别人吗？所以，我们还要回归到数学，用数字、字母、算式、方程等工具去说明问题”，让学生认识到一切数学结论都不是数出来、猜出来，而是由逻辑推理来的，较好地渗透了数学推理的思想.为了在师生交流中渗透或传授数学思想，教师需要精心设计自己的教学语言，并恰当地把握两者间的分寸.目前来看，渗透数学思想、传授数学思想与不同年龄学生的匹配问题，还有待进一步研究.
观摩一堂好课能使人收获，聆听顾沛先生对一堂课的深度点评亦使人受益匪浅.成功的师生交流需要教师不断地揣摩、尝试与改进，始终不变的宗旨是数学教学要重视育人.
参考文献
[1] 中华人民共和国教育部.义务教育阶段数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012：2.
[2] 肯尼斯·莫尔.课堂教学技巧[M].刘静，译.北京：人民教育出版社，2010：143.
[3] 顾沛.试论研究性教学中教师的作用[J].数学教育学报，2006，15（3）：4-7.
[4] 顾沛.数学基础教育中的“双基”如何发展为“四基”[J].数学教育学报，2012，21（1）：14-16.