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[摘 要] 对自然电位测井问题的数值方法进行了研究，针对于相容性条件不满足的情形，对奇性化到右端项后的数值方法进行了讨论，并用有限元方法对问题进行了求解。提出了适用于此类问题的有限元网格剖分，并得出了有限元计算格式。
[关键词] 有限元 测井 直角网格 剖分 计算格式
[Abstract] The numerical method of spontaneous potential well-logging is studied. In the case compatibilityconditions are not met,the numerical method is discussed after removing the singularity to the term of right-hand side andthe finite element methodis put forward to solvethe problems. Then the mesh and calculation format of the finite element is proposed forsuch problems.
[Key words] finite element well-logging rectangular grid split formula
1.问题陈述
自然电位(Spontaneous Potential, SP)测井是一种被广泛应用于现代石油勘探中的测井方法。为了制作相应的测井解释图表，通常假设地层是关于中心平面和井轴对称的[1]，在平面中的区域中考虑问题，其中是适当大的数。假设各个地层的电阻率为分片常数(图1)。在测井问题中，自然电位满足一个在交界面上有跳跃的椭圆边界值问题[1.2]。在结合点A和B处(图1)，自然电势的跳跃不满足相容性条件[3]，正问题没有一个分片H1的解，从而不能直接用有限元方法求解。对交界面的结合点A和B进行分析，边界结合点处电势差的不相容性导致了问题的奇性。通过构造两个函数，将奇性化到方程的右端项[4]，并得到一个新的函数，它满足如下的边界值问题[5]：
此时可以用有限元方法来对它进行求解。
2.有限元计算格式的形成
2.1网格剖分
用两组平行于坐标轴的直线将求解区域分成直交网格，在此基础上连接适当的对角线，构成相应的直角三角形有限元素分割，并且这些分割线应该包含区域的分界线。网格剖分好之后，自然地将节点分为边界点和内点。又将内点分为正常点：它和它周围的点都不在交界面上；非正常点：它和它周围的点至少有一个点在交界面上。对每种类型的点我们都将给出它的计算格式。
2.2 一般剖分时的计算格式
先来考虑一般三角形元的情况，对于三角形元，、、 逆时针排列，假设在这三个节点上的值分别为，，，又用、、分别表示矢量，，，用，记，。
2.3 直角网格剖分时的计算格式
现在再来考虑直角网格剖分时的方程。因为方程通常写成的形式，将带有积分的项移到右端去，每个小三角形对方程的贡献就分成了左端项和右端项。左端项含有未知量，右端则是带有积分的常量项[7]。
当为正常点时。
分别表示每个三角形中的一个锐角。则点的计算格式就可以被给出。
因为自然电位在交界面的两侧取不同的值，所以把,,在交界面两侧的值分别记为和（如图3）。可类似地得到点处的计算格式。
（3）对于边界点的情形
（I）第二类边界点。与前面的内点的计算格式相似，只须从它周围的三角形元逐个求出对点有限元方程两端的贡献并分别相加就可得到相应的有限元方程[5]。
（II）第一类边界点。因为在第一类边界点上的边界条件为[8]，故此点处的有限元方程为.
至此，就得到了网格上所有节点处的有限元方程，将这些方程联立起来就得到了形如的有限元方程。只需利用相应的计算软件就可以将每个节点处的电位值计算出来。
3.结语
本文主要研究了用有限元方法求解自然电位测井问题时的网格剖分及计算格式的形成。自然电位测井问题在相容性条件不满足的条件下不能对它直接采用有限元素法求解。在将奇性化到右端项之后可以用有限元对问题求解，但是奇性体现在了有限元方程中。本文通过对选取适当的构造函数和网格剖分，并对右端项进行分析，最后得出了有限元计算格式。
参考文献：
[1] Li Tatsien, Tan Yongji, Peng Yuejun, Mathematical methods for the SP well-logging [J]. Applied and Industrial Mathematics,1989,1:343-339.
[2] Li Tatsien, Tan Yongji, Peng Yuejun. Mathematical model and method for spontaneous potential well-logging [J]. European Journal of Applied Mathematics,1994,5:123-139.
[3] 李 宏.高分辨率间断有限元方法[J].计算物理,2004,21(4):367-376.
[4] Wang Weinan, Tong Maosong, Fu Yousheng, On distribution of natural electric field in open hole, Well Logging Technology, 2006, 209-214.
[5] 潘克家,谭永基,胡宏伶.非均质地层中自然电位测井的数学模型和数值方法[J].应用数学与力学,2009,30(2):204-212.
[6] Jari Kaipio, Erkki Somersalo, Statistical inverse problems: Discretization, model reductioninverse crimes, Journal of Computational and Applied Mathematics, 2007,198:493-504.
[7] 李海龙. 均匀地层中自然电位测井方程的“精确解”[J].数学年刊,1996,17A(1):87-96.
[8] Liu Xiangjun, Experiment and investigation of the resistivity in invaded zone, Well Logging Technology,1992, 91-99.
[关键词] 有限元 测井 直角网格 剖分 计算格式
[Abstract] The numerical method of spontaneous potential well-logging is studied. In the case compatibilityconditions are not met,the numerical method is discussed after removing the singularity to the term of right-hand side andthe finite element methodis put forward to solvethe problems. Then the mesh and calculation format of the finite element is proposed forsuch problems.
[Key words] finite element well-logging rectangular grid split formula
1.问题陈述
自然电位(Spontaneous Potential, SP)测井是一种被广泛应用于现代石油勘探中的测井方法。为了制作相应的测井解释图表，通常假设地层是关于中心平面和井轴对称的[1]，在平面中的区域中考虑问题，其中是适当大的数。假设各个地层的电阻率为分片常数(图1)。在测井问题中，自然电位满足一个在交界面上有跳跃的椭圆边界值问题[1.2]。在结合点A和B处(图1)，自然电势的跳跃不满足相容性条件[3]，正问题没有一个分片H1的解，从而不能直接用有限元方法求解。对交界面的结合点A和B进行分析，边界结合点处电势差的不相容性导致了问题的奇性。通过构造两个函数，将奇性化到方程的右端项[4]，并得到一个新的函数，它满足如下的边界值问题[5]：
此时可以用有限元方法来对它进行求解。
2.有限元计算格式的形成
2.1网格剖分
用两组平行于坐标轴的直线将求解区域分成直交网格，在此基础上连接适当的对角线，构成相应的直角三角形有限元素分割，并且这些分割线应该包含区域的分界线。网格剖分好之后，自然地将节点分为边界点和内点。又将内点分为正常点：它和它周围的点都不在交界面上；非正常点：它和它周围的点至少有一个点在交界面上。对每种类型的点我们都将给出它的计算格式。
2.2 一般剖分时的计算格式
先来考虑一般三角形元的情况，对于三角形元，、、 逆时针排列，假设在这三个节点上的值分别为，，，又用、、分别表示矢量，，，用，记，。
2.3 直角网格剖分时的计算格式
现在再来考虑直角网格剖分时的方程。因为方程通常写成的形式，将带有积分的项移到右端去，每个小三角形对方程的贡献就分成了左端项和右端项。左端项含有未知量，右端则是带有积分的常量项[7]。
当为正常点时。
分别表示每个三角形中的一个锐角。则点的计算格式就可以被给出。
因为自然电位在交界面的两侧取不同的值，所以把,,在交界面两侧的值分别记为和（如图3）。可类似地得到点处的计算格式。
（3）对于边界点的情形
（I）第二类边界点。与前面的内点的计算格式相似，只须从它周围的三角形元逐个求出对点有限元方程两端的贡献并分别相加就可得到相应的有限元方程[5]。
（II）第一类边界点。因为在第一类边界点上的边界条件为[8]，故此点处的有限元方程为.
至此，就得到了网格上所有节点处的有限元方程，将这些方程联立起来就得到了形如的有限元方程。只需利用相应的计算软件就可以将每个节点处的电位值计算出来。
3.结语
本文主要研究了用有限元方法求解自然电位测井问题时的网格剖分及计算格式的形成。自然电位测井问题在相容性条件不满足的条件下不能对它直接采用有限元素法求解。在将奇性化到右端项之后可以用有限元对问题求解，但是奇性体现在了有限元方程中。本文通过对选取适当的构造函数和网格剖分，并对右端项进行分析，最后得出了有限元计算格式。
参考文献：
[1] Li Tatsien, Tan Yongji, Peng Yuejun, Mathematical methods for the SP well-logging [J]. Applied and Industrial Mathematics,1989,1:343-339.
[2] Li Tatsien, Tan Yongji, Peng Yuejun. Mathematical model and method for spontaneous potential well-logging [J]. European Journal of Applied Mathematics,1994,5:123-139.
[3] 李 宏.高分辨率间断有限元方法[J].计算物理,2004,21(4):367-376.
[4] Wang Weinan, Tong Maosong, Fu Yousheng, On distribution of natural electric field in open hole, Well Logging Technology, 2006, 209-214.
[5] 潘克家,谭永基,胡宏伶.非均质地层中自然电位测井的数学模型和数值方法[J].应用数学与力学,2009,30(2):204-212.
[6] Jari Kaipio, Erkki Somersalo, Statistical inverse problems: Discretization, model reductioninverse crimes, Journal of Computational and Applied Mathematics, 2007,198:493-504.
[7] 李海龙. 均匀地层中自然电位测井方程的“精确解”[J].数学年刊,1996,17A(1):87-96.
[8] Liu Xiangjun, Experiment and investigation of the resistivity in invaded zone, Well Logging Technology,1992, 91-99.