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通过数学开放性教学，引导学生对所要探究的问题由浅入深、层层深入地进行多方面、多角度、多侧面的思考，可以逐步提高学生对数学的学习兴趣，可以使其对数学知识以及数学知识之间的关系理解得更为深刻，同时可以培养良好的思维品质和数学能力。
一、数学开放性教学有助于学习兴趣的提高
1 开放性问题容易唤起中下等成绩的学生的热情
设计数学开放题应做到入口宽、起点低。宽入口、低起点的问题可使相对落后的学生也能够参与其中，并能因此体会成功，进而提高对数学的学习兴趣。成功的经验容易提高学生的自我效能感，其解决问题的正确性和遇到难题的坚持性容易得到提高。例如，在等腰三角形性质的开放探讨中，许多学习成绩处于中下等的学生能够自己寻找到等腰三角形的一些性质；经过长期的开放性教学后，这部分学生常常能够找到一两种甚至多种解题的方法，能发现一些带规律性的问题，并具备推广问题的意识；在他们当中，80％以上的学生都表示对数学的学习兴趣有较大的提高，并认为自己在遇到数学问题时解题的思路增多。
2 开放性教学适合学生的心理
开放性教学可以让学生以自己喜欢的方式，比较自由、随意地思考和探究问题，能激发学生积极、主动地思考问题。保持儿童的自由选择感能很好地激发和发展每个儿童参与认识活动的动机基础。在开放性教学中应用这一心理学原则可大大提高学生的学习积极性，增强教学的效果，且符合人本主义的思想。教师的教学一定要适合学生的年龄特征、兴趣和爱好。在开放性教学的课堂里，教师要为学生创设自由选择的情景，使学生有可能根据兴趣和需要，在一定范围内从中作出自由的选择。
3 学习兴趣和智力发展互为促进
开放性教学能很好地激发学生的学习兴趣，而这种良好的兴趣和动机反过来又促进学生智力的发展。在数学教学中，与封闭题比较，开放题的问题情景常常能引起学生的好奇心，造成较强的认知冲突和对问题解决、问题发展的期待，使学生的注意力集中地指向学习对象，造成紧张的思维活动以增强思维的强度，从而提高思维的效率。笔者注重精心构思开放的问题情景，设法引起学生的认知冲突，造成对问题解决、问题发展、问题内在奥秘的揭示等的渴望，使大部分学生的大脑处于最佳的醒觉状态，同时选用新颖的教具，变换叙述的方式，组织学生参与其中，或独立思考，或小组讨论和交流，或全班集体讨论和交流。
二、开放性教学有助子培养学生的创造能力和创新精神
1 开放性教学有利于对学生发散思维的培养
良好的发散思维能力体现在学生的思维具有较好的流畅性、灵活性、批判性、奇异性，而这最容易引发学生的创造性思维。从理论上分析，数学开放题和发散思维在内涵上是十分接近的。在开放性教学中对数学问题的开放是多方面的，例如对数学概念的多种等价表述和拓广，对数学命题的等价表述、推广和引申，对解题方法、证明方法、面对现实问题的解决过程的策略开放、结论开放及条件开放。开放的方式、方法多种多样，可以引导学生多角度、多方向、多层次地思考问题，所以它有利于良好的发散思维的形成。
案例：教学平面几何时，引导学生讨论：在Rt△AABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D求证：BC=AB+AD。笔者首先隐去题目的结论而要求学生思考可以从图中得出哪些结论。大部分学生都能够得出图形中有关角的关系及线段之间的相等关系。
其次，引导启发学生对该问题的条件进行开放。有学生提出：其它条件不改变，如果顶角是120°的等腰三角形，图形中的线段之间的和差关系还存在吗?经讨论。学生发现线段的和差关系仍然成立。再进一步思考后，有的学生发现：顶角分别为108°、100°的等腰三角形的线段之间仍然有和差关系。
笔者乘机提议：若减弱条件，线段之间还有和差关系吗?如何减弱?怎样减弱?学生充分思考后，提出：该条件可减弱为∠A=2∠B。在此基础上，把学生提出的问题条件整理为a：∠A=2∠B，b：BD平分∠ABC→c：BC=AB+AD。简单表示为：a+b→c。那么，由此命题可以得出哪些命题呢?学生得到启发后提出：a+c→b可能吗?b+c→a呢?
在引导学生对问题进行质疑和反思时，有学生提出：a：∠A=2∠C，b：BD上AC于点D，可以推出c：BC=AB+AD吗?有的小组在讨论时不仅猜想而且还证明出：a+c→b；b+c→a均能成立。学生能够由角的平分线联想到三角形的高，这是创造。最后，笔者引导学生对以上的问题抽出一些并采用多种方法进行证明，学生在证明过程中连结辅助线也是创造。
长期实施开放性教学可以培养学生多角度、多方位、多层次的思维方式和习惯，这样的思维方式是有“累积效应”的。学生的智慧技能和智慧策略会随之得到发展和提高。而且随着问题的开放程度越大，学生的思维发散程度就越高，思维的提升就越高，为学生创造性解决问题提供了可能性。
2 开放性教学有利于学生发现问题、提出问题和反思问题的习惯的形成
在开放性教学中，对问题的分析全都是组织学生来探究和讨论的，同时，教师精心地创设不确定和模糊的问题情景，让学生产生疑惑、不安，使其不得不提出问题。教师在教学中应注意问话的方式，设置“圈套”让学生提出问题，还应该给学生留出反思、提问的空间和机会，使学生养成善于思考的习惯。如在教学某相遇问题时，有学生提出：多少次的相遇后相遇问题会变成追击问题?有学生还提出：相遇问题和追击问题可以相互转化的规律是什么?在教学测量建筑物、树木等的高度时，有学生提出：为什么要用到相似三角形的性质?用别的方法不可以吗?在教学全等三角形的判定方法时，有学生提出：既然两个三角形的三对角对应相等不能判定两个三角形全等，那么改成有两对角对应相等，再加上它们的面积相等可以吗?
笔者把进行开放性教学的班级的学生与对照班进行比较，得出结论：长期进行开放性教学班级的学生更善于提问。在开放性教学中，学生的思维空间开放，能较为充分地思考问题，进行反思，提出自己的想法。在这样的教学下，学生越来越爱提出问题，一次比一次会提出问题，由于同龄的学生之间的相互影响较大，学生争相提问的学风一旦形成，对培养学生的创造性是十分有利的。
3 开放性教学能很好地培养学生的再创造学习的能力
笔者在教学中，不是将各种规则、定律灌输给学生，而是创造合适的条件，提供很多具体的例子，让学生在开放的环境下再创造出许多的规则和性质。每一个定理的探讨，笔者都是引导学生把它作为一个或结论开放、或条件开放、或问题开放的问题来探讨。例如 在教学等腰三角形的判定时，笔者启发学生思考：一个三角形添上什么条件后能成为等腰三角形?学生在教师的引导下从多角度去思考，创造性地研究了等腰三角形的判定。笔者启发学生以开放的思想，再创造的方法进行数学学习。学生发现了超出课本内容的大量的性质，学生发现的性质越多对问题的研究相应地就越深入。实践证明，开放性教学进行的时间越长，学生再创造的速度越快、效率越高。
三、数学开放题在数学双基中的教育价值
1 数学开放题可以使学生理解知识的发生过程
良好的数学双基是中国数学教学的特色。笔者在研究开放性教学的过程中发现，把常规数学问题设计成为开放题可使学生更好地理解数学知识的发生过程，由此促进学生的双基的奠定。
案例1：双垂直图形的形成原因。
问题1：已知在△ABC中，点D和点E分别是AB、AC上的点，问：当满足什么条件时，由直线DE截AB、AC所得的三角形与原三角形相似?
思考后，字生探寻出：当∠1=∠2，或∠3=∠4、DE∥BC、AD/AB=AE/AC、AD/AC=AE/AB、AD/DB=AE/EC时可以推出：△ADE～△ABC。这时，学生提出了各种各样的问题。其中，有学生提出：当点E运动到点B，满足什么条件时，△ADC～△ACB?
学生继续研究出：当∠1=∠B，或∠2=∠ACB、AC2=AD×AB时可以推出△ADC～△ACB。有学生又发现：当∠1=∠B，或∠4=∠ACB、BC2=BD×AB时可以推出△ADC～△ACB。教师问：再特殊下去怎么样?这时，有学生表示想知道：满足什么条件两个三角形都和原来的三角形相似。教师鼓励学生思考下去。一段时间后，有学生发现：当上面的A和A1同时成立时，两个三角形都和原来的三角形相似。又有学生发现：A可以和A1，B1，C1搭配，这样的搭配可以有9种。
很明显，如果教师不对知识进行重新组织，而是按照教材的顺序以封闭的问题呈现给学生，那么，学生所习得的将是孤立的规则，更不可能理解知识的发生过程以及知识之间的内在联系。
2 数学开放题可以促进学生形成牢固的数学基础
知识的真正理解和掌握应在使用中才能更好地完成。为了使学生能够建立起比较牢固的数学双基，教师可以启发、调动学生尽可能地应用自己的数学知识来设计并求解问题。
案例：设计并求二次函数的解析式。
笔者引导学生把求解二次函数的解析式的问题，转变成为让学生参与设计条件开放的问题。
问题：根据二次函数图像上的三个点的坐标，写出二次函数的解析式。
(1)(-1，3)，(1，3)，(2，6)。
首先引导学生理解，二次函数有三个待定系数，要确定一个二次函数。需要三个独立条件。然后提出：除了上面的已知某个二次函数经过三个点等条件外，还能提出另外的条件吗?引导学生由浅入深地设计出各种含三个独立条件的确定二次函数问题。
对学生所设计的二次函数的解析式，笔者挑选有代表性的在课堂上练习或讨论，有的作为课后习题。设计二次函数的解析式并求解，是学生综合应用所学基础知识的过程。在此过程中，学生在已经储存的知识结构中进行挑选、分析、运用，以多角度、从多种联系中理解基础知识。这样的教学，既能充分调动学生的主动性和积极性，能给学生较多的思维空间和创造机会，同时又能有效促进数学双基的建立。
3 数学开放题可以更好地整合学生的基础知识
教师应力求设计综合性较强的数学开放题，好的数学开放题可有效整合学生的基础知识。
案例：折纸问题。
问题1：一张纸片，如果对其进行折叠，最容易想到的是如何折叠? 有的学生将其对折，有的沿着对角线折叠，等。观察折叠后的图形，教师提出：能说明这是为什么吗?这里面有怎样的数学知识呢?
问题2：还可以怎样折叠?有什么好的建议?
学生提出多种建议和想法，其中有学生提议把正方形的一个角折到对边的中点处。教师对学生的提议给予较高评价，并鼓励学生思考该问题。 有学生小组发现：假设正方形的边长AB=I，则没有被盖住的两个三角形是相似三角形，且可分别求出其三条边长。教师肯定这个小组的发现，要求学生说出发现上述问题的理由。有的学生小组计算出两个三角形的面积、周长、其外接圆的半径和斜边上的高，有的学生小组还计算出折痕MN。
问题3：折叠到边AD的1/3处、1/4处，又会如何?
教师启发：我们能发现什么规律性呢?怎样去分析所面对的问题呢?在教师的启发下，学生用列表的方法去分析比较，寻找规律。
学生在折叠正方形纸片的过程中所涉及的知识有：正方形的性质，勾股定理，三角形的面积计算，相似三角形的性质，三角形的内切圆的性质，三角形的外接圆的性质，等腰三角形和等边三角形的性质和判定，等差数列等。所涉及到的数学思想和方法有：对称变换，方程思想，由特殊到一般的归纳的思想，猜想发现，直觉思维等，总之，学生需要用到几何和代数的比较多的知识才能分析问题和解决问题，解决问题的过程其实就是整合学生的数学知识的过程。
用开放题作为切入点来改造初中数学的教学，能让学生形成比较牢固的“双基”，培养逻辑思维能力和空间想象能力，锻炼和提高探究问题、发现问题的能力，直觉和顿悟水平，创造意识和创造能力。
责编 雷 靖
一、数学开放性教学有助于学习兴趣的提高
1 开放性问题容易唤起中下等成绩的学生的热情
设计数学开放题应做到入口宽、起点低。宽入口、低起点的问题可使相对落后的学生也能够参与其中，并能因此体会成功，进而提高对数学的学习兴趣。成功的经验容易提高学生的自我效能感，其解决问题的正确性和遇到难题的坚持性容易得到提高。例如，在等腰三角形性质的开放探讨中，许多学习成绩处于中下等的学生能够自己寻找到等腰三角形的一些性质；经过长期的开放性教学后，这部分学生常常能够找到一两种甚至多种解题的方法，能发现一些带规律性的问题，并具备推广问题的意识；在他们当中，80％以上的学生都表示对数学的学习兴趣有较大的提高，并认为自己在遇到数学问题时解题的思路增多。
2 开放性教学适合学生的心理
开放性教学可以让学生以自己喜欢的方式，比较自由、随意地思考和探究问题，能激发学生积极、主动地思考问题。保持儿童的自由选择感能很好地激发和发展每个儿童参与认识活动的动机基础。在开放性教学中应用这一心理学原则可大大提高学生的学习积极性，增强教学的效果，且符合人本主义的思想。教师的教学一定要适合学生的年龄特征、兴趣和爱好。在开放性教学的课堂里，教师要为学生创设自由选择的情景，使学生有可能根据兴趣和需要，在一定范围内从中作出自由的选择。
3 学习兴趣和智力发展互为促进
开放性教学能很好地激发学生的学习兴趣，而这种良好的兴趣和动机反过来又促进学生智力的发展。在数学教学中，与封闭题比较，开放题的问题情景常常能引起学生的好奇心，造成较强的认知冲突和对问题解决、问题发展的期待，使学生的注意力集中地指向学习对象，造成紧张的思维活动以增强思维的强度，从而提高思维的效率。笔者注重精心构思开放的问题情景，设法引起学生的认知冲突，造成对问题解决、问题发展、问题内在奥秘的揭示等的渴望，使大部分学生的大脑处于最佳的醒觉状态，同时选用新颖的教具，变换叙述的方式，组织学生参与其中，或独立思考，或小组讨论和交流，或全班集体讨论和交流。
二、开放性教学有助子培养学生的创造能力和创新精神
1 开放性教学有利于对学生发散思维的培养
良好的发散思维能力体现在学生的思维具有较好的流畅性、灵活性、批判性、奇异性，而这最容易引发学生的创造性思维。从理论上分析，数学开放题和发散思维在内涵上是十分接近的。在开放性教学中对数学问题的开放是多方面的，例如对数学概念的多种等价表述和拓广，对数学命题的等价表述、推广和引申，对解题方法、证明方法、面对现实问题的解决过程的策略开放、结论开放及条件开放。开放的方式、方法多种多样，可以引导学生多角度、多方向、多层次地思考问题，所以它有利于良好的发散思维的形成。
案例：教学平面几何时，引导学生讨论：在Rt△AABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D求证：BC=AB+AD。笔者首先隐去题目的结论而要求学生思考可以从图中得出哪些结论。大部分学生都能够得出图形中有关角的关系及线段之间的相等关系。
其次，引导启发学生对该问题的条件进行开放。有学生提出：其它条件不改变，如果顶角是120°的等腰三角形，图形中的线段之间的和差关系还存在吗?经讨论。学生发现线段的和差关系仍然成立。再进一步思考后，有的学生发现：顶角分别为108°、100°的等腰三角形的线段之间仍然有和差关系。
笔者乘机提议：若减弱条件，线段之间还有和差关系吗?如何减弱?怎样减弱?学生充分思考后，提出：该条件可减弱为∠A=2∠B。在此基础上，把学生提出的问题条件整理为a：∠A=2∠B，b：BD平分∠ABC→c：BC=AB+AD。简单表示为：a+b→c。那么，由此命题可以得出哪些命题呢?学生得到启发后提出：a+c→b可能吗?b+c→a呢?
在引导学生对问题进行质疑和反思时，有学生提出：a：∠A=2∠C，b：BD上AC于点D，可以推出c：BC=AB+AD吗?有的小组在讨论时不仅猜想而且还证明出：a+c→b；b+c→a均能成立。学生能够由角的平分线联想到三角形的高，这是创造。最后，笔者引导学生对以上的问题抽出一些并采用多种方法进行证明，学生在证明过程中连结辅助线也是创造。
长期实施开放性教学可以培养学生多角度、多方位、多层次的思维方式和习惯，这样的思维方式是有“累积效应”的。学生的智慧技能和智慧策略会随之得到发展和提高。而且随着问题的开放程度越大，学生的思维发散程度就越高，思维的提升就越高，为学生创造性解决问题提供了可能性。
2 开放性教学有利于学生发现问题、提出问题和反思问题的习惯的形成
在开放性教学中，对问题的分析全都是组织学生来探究和讨论的，同时，教师精心地创设不确定和模糊的问题情景，让学生产生疑惑、不安，使其不得不提出问题。教师在教学中应注意问话的方式，设置“圈套”让学生提出问题，还应该给学生留出反思、提问的空间和机会，使学生养成善于思考的习惯。如在教学某相遇问题时，有学生提出：多少次的相遇后相遇问题会变成追击问题?有学生还提出：相遇问题和追击问题可以相互转化的规律是什么?在教学测量建筑物、树木等的高度时，有学生提出：为什么要用到相似三角形的性质?用别的方法不可以吗?在教学全等三角形的判定方法时，有学生提出：既然两个三角形的三对角对应相等不能判定两个三角形全等，那么改成有两对角对应相等，再加上它们的面积相等可以吗?
笔者把进行开放性教学的班级的学生与对照班进行比较，得出结论：长期进行开放性教学班级的学生更善于提问。在开放性教学中，学生的思维空间开放，能较为充分地思考问题，进行反思，提出自己的想法。在这样的教学下，学生越来越爱提出问题，一次比一次会提出问题，由于同龄的学生之间的相互影响较大，学生争相提问的学风一旦形成，对培养学生的创造性是十分有利的。
3 开放性教学能很好地培养学生的再创造学习的能力
笔者在教学中，不是将各种规则、定律灌输给学生，而是创造合适的条件，提供很多具体的例子，让学生在开放的环境下再创造出许多的规则和性质。每一个定理的探讨，笔者都是引导学生把它作为一个或结论开放、或条件开放、或问题开放的问题来探讨。例如 在教学等腰三角形的判定时，笔者启发学生思考：一个三角形添上什么条件后能成为等腰三角形?学生在教师的引导下从多角度去思考，创造性地研究了等腰三角形的判定。笔者启发学生以开放的思想，再创造的方法进行数学学习。学生发现了超出课本内容的大量的性质，学生发现的性质越多对问题的研究相应地就越深入。实践证明，开放性教学进行的时间越长，学生再创造的速度越快、效率越高。
三、数学开放题在数学双基中的教育价值
1 数学开放题可以使学生理解知识的发生过程
良好的数学双基是中国数学教学的特色。笔者在研究开放性教学的过程中发现，把常规数学问题设计成为开放题可使学生更好地理解数学知识的发生过程，由此促进学生的双基的奠定。
案例1：双垂直图形的形成原因。
问题1：已知在△ABC中，点D和点E分别是AB、AC上的点，问：当满足什么条件时，由直线DE截AB、AC所得的三角形与原三角形相似?
思考后，字生探寻出：当∠1=∠2，或∠3=∠4、DE∥BC、AD/AB=AE/AC、AD/AC=AE/AB、AD/DB=AE/EC时可以推出：△ADE～△ABC。这时，学生提出了各种各样的问题。其中，有学生提出：当点E运动到点B，满足什么条件时，△ADC～△ACB?
学生继续研究出：当∠1=∠B，或∠2=∠ACB、AC2=AD×AB时可以推出△ADC～△ACB。有学生又发现：当∠1=∠B，或∠4=∠ACB、BC2=BD×AB时可以推出△ADC～△ACB。教师问：再特殊下去怎么样?这时，有学生表示想知道：满足什么条件两个三角形都和原来的三角形相似。教师鼓励学生思考下去。一段时间后，有学生发现：当上面的A和A1同时成立时，两个三角形都和原来的三角形相似。又有学生发现：A可以和A1，B1，C1搭配，这样的搭配可以有9种。
很明显，如果教师不对知识进行重新组织，而是按照教材的顺序以封闭的问题呈现给学生，那么，学生所习得的将是孤立的规则，更不可能理解知识的发生过程以及知识之间的内在联系。
2 数学开放题可以促进学生形成牢固的数学基础
知识的真正理解和掌握应在使用中才能更好地完成。为了使学生能够建立起比较牢固的数学双基，教师可以启发、调动学生尽可能地应用自己的数学知识来设计并求解问题。
案例：设计并求二次函数的解析式。
笔者引导学生把求解二次函数的解析式的问题，转变成为让学生参与设计条件开放的问题。
问题：根据二次函数图像上的三个点的坐标，写出二次函数的解析式。
(1)(-1，3)，(1，3)，(2，6)。
首先引导学生理解，二次函数有三个待定系数，要确定一个二次函数。需要三个独立条件。然后提出：除了上面的已知某个二次函数经过三个点等条件外，还能提出另外的条件吗?引导学生由浅入深地设计出各种含三个独立条件的确定二次函数问题。
对学生所设计的二次函数的解析式，笔者挑选有代表性的在课堂上练习或讨论，有的作为课后习题。设计二次函数的解析式并求解，是学生综合应用所学基础知识的过程。在此过程中，学生在已经储存的知识结构中进行挑选、分析、运用，以多角度、从多种联系中理解基础知识。这样的教学，既能充分调动学生的主动性和积极性，能给学生较多的思维空间和创造机会，同时又能有效促进数学双基的建立。
3 数学开放题可以更好地整合学生的基础知识
教师应力求设计综合性较强的数学开放题，好的数学开放题可有效整合学生的基础知识。
案例：折纸问题。
问题1：一张纸片，如果对其进行折叠，最容易想到的是如何折叠? 有的学生将其对折，有的沿着对角线折叠，等。观察折叠后的图形，教师提出：能说明这是为什么吗?这里面有怎样的数学知识呢?
问题2：还可以怎样折叠?有什么好的建议?
学生提出多种建议和想法，其中有学生提议把正方形的一个角折到对边的中点处。教师对学生的提议给予较高评价，并鼓励学生思考该问题。 有学生小组发现：假设正方形的边长AB=I，则没有被盖住的两个三角形是相似三角形，且可分别求出其三条边长。教师肯定这个小组的发现，要求学生说出发现上述问题的理由。有的学生小组计算出两个三角形的面积、周长、其外接圆的半径和斜边上的高，有的学生小组还计算出折痕MN。
问题3：折叠到边AD的1/3处、1/4处，又会如何?
教师启发：我们能发现什么规律性呢?怎样去分析所面对的问题呢?在教师的启发下，学生用列表的方法去分析比较，寻找规律。
学生在折叠正方形纸片的过程中所涉及的知识有：正方形的性质，勾股定理，三角形的面积计算，相似三角形的性质，三角形的内切圆的性质，三角形的外接圆的性质，等腰三角形和等边三角形的性质和判定，等差数列等。所涉及到的数学思想和方法有：对称变换，方程思想，由特殊到一般的归纳的思想，猜想发现，直觉思维等，总之，学生需要用到几何和代数的比较多的知识才能分析问题和解决问题，解决问题的过程其实就是整合学生的数学知识的过程。
用开放题作为切入点来改造初中数学的教学，能让学生形成比较牢固的“双基”，培养逻辑思维能力和空间想象能力，锻炼和提高探究问题、发现问题的能力，直觉和顿悟水平，创造意识和创造能力。
责编 雷 靖