圆锥曲线是解析几何中最重要部分，也是高考中必考的难点内容。尤其是圆锥曲线与直线的相交问题，大部分同学利用联立方程，后用韦达定理，但这些方法计算量较大。笔者针对最近出现的高考题，谈谈由一道高考题所得到的结论，灵活解决一些高考题。利用圆锥曲线极坐标方程解决焦半径问题。
　　
　　考题（2010年高考数学辽宁理第20题）
　　
　　设椭圆C：+=1（a>b>0）的左焦点F,过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，=
　　（1）求e。
　　（2）若│AB│=，求椭圆的方程。
　　解: （1）以F为极点，垂直于左准线的方向为极轴的正方向建立极坐标系，则圆锥曲线的统一方程为：ρ=,A（ρ,），A（ρ,）
　　则││=ρ= ││=ρ=∵=∴=∴e=
　　（2）+=1（过程略）
　　该题第二问的结论可以推广为下面命题。
　　定理2：过椭圆左焦F点且倾斜角为a的直线l交椭圆于A、B两点，若=λ，则e=secα。
　　证明：以F为极点，垂直于左准线的方向为极轴的正方向建立极坐标系，则圆锥曲线的统一方程为ρ= A（ρ,θ），B（ρ,θ）
　　则││=，││=
　　则=
　　则e=secα
　　该定理可以推广为：过圆锥曲线焦点F且倾斜角为a的直线l交圆锥曲线于A、B两点，若=λ，则e=secα。
　　注：圆锥曲线方程为标准方程，其中抛物线为y=2px（p>0）。
　　该定理揭示了圆锥曲线的离心率、焦半径及过焦点的直线的倾斜角三者间的联系，那么只要是圆锥曲线与过焦点的相交问题，就可以利用该公式去解决求圆锥曲线的离心率，焦半径及过焦点的直线的倾斜角。在近几年有大量这样的高考题，下面我们来利用该定理速解相应高考题。
　　1.（2010年全国卷I理）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且=2，则C的离心率为___________。
　　解析：取左焦点F，上顶点B
　　则e=secα=• ∴e=
　　2.（2010年全国卷II理）已知椭圆C：+=1（a>b>0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k的直线与C相交于A，B两点，若=3，k=（）。
　　A.1 B.2 C. D.2
　　解析：该题直线是过焦点的直线，已知离心率及焦半径比,求直线斜率k。
　　由e=secα∴=secα∴secα=∴k=tanα=
　　3.（2008年江西，理）过抛物线x=2py（p>0）的焦点F作倾斜角为30°的直线与抛物线分别交于A，B两点（A在y轴左侧），则=________。
　　解析：该题等价于“过抛物线y=2px（p>0）的焦点F作倾斜角为120°的直线与抛物线分别交于A，B两点（A在x轴上侧），则=________。
　　由e=secα ∴1=sec120°∴λ= ∴=
　　另外，笔者列举了以下几个例子也可以用该结论解题
　　1.（2009年全国卷II，理）已知双曲线C：-=1（a>0，b>0）的右焦点为F，过且斜率为的直线交C于A、B两点，若=4，求e。
　　解析：e=secα=sec60°=
　　2.（2008年全国卷II）已知F是抛物线C：y=4x的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A、B两点，设|FA|>|FB|，则|FA|与|FB|的比值等于____________。（3+2）
　　3.（2010年辽宁理）已知椭圆C：+=1（a>b>0）的右焦点F，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，直线l的倾斜角为60°，若=2，则椭圆C的离心率为__________。（）
　　4.（2010年重庆）已知以F为焦点的抛物线y=4x上的两点A、B，满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为________。（）
　　（作者单位：江西省赣县中学）
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文