论文部分内容阅读
【摘要】在傅里叶级数的教学中，为了深化信号与系统课程教学改革，提高教学质量，本文以向量空间和信号空间的联系，以及以MATLAB为仿真平台，讲解傅里叶级数与正交函数的关系，以及傅里叶级数仿真波形的产生和叠加，以便能更好地帮助学生正确理解定理和概念。
【关键词】向量空间；信号空间；正交性；傅里叶级数
1.前言
傅里叶级数广泛应用于电子技术、通信工程、自动控制等领域。但在教学中学习傅里叶级数存在很多问题，例如傅里叶级数有什么用处？它与我们之前学的基础课又有什么关系？有哪些后续课程会用到傅里叶级数等等一系列问题。我们可以运用线性代数中的基本概念来描述，让学生了解周期信号的分解与合成，掌握波形的叠加原理。
2.向量空间与信号空间的基本概念
2.1 向量空间与信号空间
设是非空的n维向量集合，若满足：①任意，有（加法封闭性）；②任意，是任意数，有（乘法封闭性）；则称集合是向量空间[1]。即向量空间是由向量组“张成”的空间。
信号空间指任意给定一组，设其两两独立且能量均为1，由所有组合而成的信号组成的集合：
称为张成的信号空间，称此空间是N维的，称为此N维信号空间Ф的归一化正交基。
向量空间有一些特殊的组合，例如正交向量组，同样对于信号空间也有正交信号。信号空间与向量空间本质相同，只要将向量空间中的元素向量换成信号，便是信号空间，信号空间由基本的集合组合而成。这个集合可看作信号空间中的基。也就是说信号空间中的任意一个信号都可以由基线性组合得到。
2.2 向量的正交性与函数的正交性
设n维向量，当=0时，称向量正交（或垂直）。两两正交的向量组称为正交向量组。若有正交向量组，它们的范数都为1，则称这组向量组为标准（规范）正交向量组[1]。例如，在三维空间中， 是一组标准正交向量，称是三维空间的一组标准正交基。向量空间中向量组的正交性也可反映在函数上，即就是函数的正交性。
函数的正交性是向量正交的推广，函数可看成无穷维向量，函数的正交性定义为：设有实函数是定义在区间的可积函数，如果，则称函数与相互正交。例如和是一对正交函数。函数和二维信号空间的一个基，那么二维信号空间中的任意一个信号均可以由此基线性组合得到。
组成完备的正交函数系[3]，其正交性表现为下列关系式成立：
成立，则一定有，若证明，则用乘以（1）式，并且由-π～π积分。
也是正交函数集，但不是完备的，因为还有很多元素例如也与此集的函数正交。我们常见的傅里叶级数是由不完备的正交函数集构成的，例如，方波、锯齿波、三角波等等。
3.标准正交基在傅里叶级数中的应用
满足狄里赫利（Dirichlet）条件[3]的周期信号可展开成傅里叶级数：
a0、a1、…am，b1、…bm，（）为傅里叶系数，代表向量在正交坐标轴上的投影，其中：
而与正交，是二维信号空间中的一个正交基。傅里叶级数可看作是将标准正交基和进行线性组合，获得与。傅里叶级数由基波及各次谐波分量可以叠加出任意形状的周期信号，而合成波所包含的谐波分量愈多，愈接近于原周期信号。在傅里叶级数中，和决定了谐波分量的频率，而它们的系数与分别决定谐波分量幅值的大小，由此可见对于基波频率，它与谐波频率比较基波频率应该是最小的，而基波的幅值应为最大，而傅里叶级数即使n趋于无穷大，也只能无限逼近周期信号。我们可以用图形来观察这种现象，利用MATLAB和线性代数的知识，使得傅里叶级数更容易理解，激发学生的学习兴趣，提高学习效率。
4.傅里叶级数的仿真
以方波信号和锯齿波信号为例：
对于方波，可用一组三角函数与的组合来表示，假设方波信号可分解为：
用6次谐波合成一频率为0.5Hz，幅值为1的方波，图形如图4-1所示。
对于锯齿波，也可用一组三角函数与的组合来表示，假设锯齿波信号可分解为：
用6次谐波合成一频率为0.5Hz，斜率为1/2的三角波，图形如图4-2所示。
上述傅里叶级数由不完备的正交函数集组合，另外都叠加了一直流信号1/2，所以合成波形都往上抬高了0.5个单位，合成波形除间断点附近外，谐波分量愈多，愈接近于原信号，随着谐波次数增大，合成波形的尖峰也愈靠近间断点，但尖峰幅度减小的不明显，即使n趋近于无穷大，在间断点处仍然有9%的误差，这就是吉布斯现象[2]。
5.总结
线性代数和傅里叶级数在后续课程及生活中的应用有很多，例如在通信原理中的调制解调可用向量空间中的基来分析，四季的交替，物理的震动等等这些周期现象也可用傅里叶级数来分析，但学生在傅里叶级数求解问题上是一大难点，公式难理解，那么我们在教学过程中把傅里叶级数与线性代数中的向量空间结合起来，使得傅里叶级数形象化，提高学习兴趣和学习效率，从而提高课程的教学质量，同时也为教师提供了便利的计算工具。
参考文献
[1]David C.Lay.Linear Algebra and Its Applications，Third Edition[M].机械工业出版社，2005，8.
[2]ALAN V.OPPENHEIM ALAN S.WILLSKY WITH S.HAMID NAWAB.Signals & Systems，second Edition[M].西安交通大学出版社，1998，3.
[3]吴大正，杨林耀，张永瑞，王松林，郭宝龙.信号与线性系统分析[M].高等教育出版社，2005，8.
作者简介：
姚湘娥（1980—），女，湖南人，现供职于西安外事学院工学院。
张永峰，男，现供职于西安电力电子技术研究所。
张婷婷，女，现供职于西安电力电子技术研究所。
【关键词】向量空间；信号空间；正交性；傅里叶级数
1.前言
傅里叶级数广泛应用于电子技术、通信工程、自动控制等领域。但在教学中学习傅里叶级数存在很多问题，例如傅里叶级数有什么用处？它与我们之前学的基础课又有什么关系？有哪些后续课程会用到傅里叶级数等等一系列问题。我们可以运用线性代数中的基本概念来描述，让学生了解周期信号的分解与合成，掌握波形的叠加原理。
2.向量空间与信号空间的基本概念
2.1 向量空间与信号空间
设是非空的n维向量集合，若满足：①任意，有（加法封闭性）；②任意，是任意数，有（乘法封闭性）；则称集合是向量空间[1]。即向量空间是由向量组“张成”的空间。
信号空间指任意给定一组，设其两两独立且能量均为1，由所有组合而成的信号组成的集合：
称为张成的信号空间，称此空间是N维的，称为此N维信号空间Ф的归一化正交基。
向量空间有一些特殊的组合，例如正交向量组，同样对于信号空间也有正交信号。信号空间与向量空间本质相同，只要将向量空间中的元素向量换成信号，便是信号空间，信号空间由基本的集合组合而成。这个集合可看作信号空间中的基。也就是说信号空间中的任意一个信号都可以由基线性组合得到。
2.2 向量的正交性与函数的正交性
设n维向量，当=0时，称向量正交（或垂直）。两两正交的向量组称为正交向量组。若有正交向量组，它们的范数都为1，则称这组向量组为标准（规范）正交向量组[1]。例如，在三维空间中， 是一组标准正交向量，称是三维空间的一组标准正交基。向量空间中向量组的正交性也可反映在函数上，即就是函数的正交性。
函数的正交性是向量正交的推广，函数可看成无穷维向量，函数的正交性定义为：设有实函数是定义在区间的可积函数，如果，则称函数与相互正交。例如和是一对正交函数。函数和二维信号空间的一个基，那么二维信号空间中的任意一个信号均可以由此基线性组合得到。
组成完备的正交函数系[3]，其正交性表现为下列关系式成立：
成立，则一定有，若证明，则用乘以（1）式，并且由-π～π积分。
也是正交函数集，但不是完备的，因为还有很多元素例如也与此集的函数正交。我们常见的傅里叶级数是由不完备的正交函数集构成的，例如，方波、锯齿波、三角波等等。
3.标准正交基在傅里叶级数中的应用
满足狄里赫利（Dirichlet）条件[3]的周期信号可展开成傅里叶级数：
a0、a1、…am，b1、…bm，（）为傅里叶系数，代表向量在正交坐标轴上的投影，其中：
而与正交，是二维信号空间中的一个正交基。傅里叶级数可看作是将标准正交基和进行线性组合，获得与。傅里叶级数由基波及各次谐波分量可以叠加出任意形状的周期信号，而合成波所包含的谐波分量愈多，愈接近于原周期信号。在傅里叶级数中，和决定了谐波分量的频率，而它们的系数与分别决定谐波分量幅值的大小，由此可见对于基波频率，它与谐波频率比较基波频率应该是最小的，而基波的幅值应为最大，而傅里叶级数即使n趋于无穷大，也只能无限逼近周期信号。我们可以用图形来观察这种现象，利用MATLAB和线性代数的知识，使得傅里叶级数更容易理解，激发学生的学习兴趣，提高学习效率。
4.傅里叶级数的仿真
以方波信号和锯齿波信号为例：
对于方波，可用一组三角函数与的组合来表示，假设方波信号可分解为：
用6次谐波合成一频率为0.5Hz，幅值为1的方波，图形如图4-1所示。
对于锯齿波，也可用一组三角函数与的组合来表示，假设锯齿波信号可分解为：
用6次谐波合成一频率为0.5Hz，斜率为1/2的三角波，图形如图4-2所示。
上述傅里叶级数由不完备的正交函数集组合，另外都叠加了一直流信号1/2，所以合成波形都往上抬高了0.5个单位，合成波形除间断点附近外，谐波分量愈多，愈接近于原信号，随着谐波次数增大，合成波形的尖峰也愈靠近间断点，但尖峰幅度减小的不明显，即使n趋近于无穷大，在间断点处仍然有9%的误差，这就是吉布斯现象[2]。
5.总结
线性代数和傅里叶级数在后续课程及生活中的应用有很多，例如在通信原理中的调制解调可用向量空间中的基来分析，四季的交替，物理的震动等等这些周期现象也可用傅里叶级数来分析，但学生在傅里叶级数求解问题上是一大难点，公式难理解，那么我们在教学过程中把傅里叶级数与线性代数中的向量空间结合起来，使得傅里叶级数形象化，提高学习兴趣和学习效率，从而提高课程的教学质量，同时也为教师提供了便利的计算工具。
参考文献
[1]David C.Lay.Linear Algebra and Its Applications，Third Edition[M].机械工业出版社，2005，8.
[2]ALAN V.OPPENHEIM ALAN S.WILLSKY WITH S.HAMID NAWAB.Signals & Systems，second Edition[M].西安交通大学出版社，1998，3.
[3]吴大正，杨林耀，张永瑞，王松林，郭宝龙.信号与线性系统分析[M].高等教育出版社，2005，8.
作者简介：
姚湘娥（1980—），女，湖南人，现供职于西安外事学院工学院。
张永峰，男，现供职于西安电力电子技术研究所。
张婷婷，女，现供职于西安电力电子技术研究所。