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摘 要：二次函数与线的交点问题将图像与代数计算完美的结合在了一起，体现了数学中重要的数形结合思想，是中考中常考的考点。下面我将站在一线教师的角度，从一节复习课来展现如何让孩子们突破这个难点。
关键词：中考;图像与线
一、教学准备
①学情分析：从知识的角度看，九年级学生基本上能通过联立解析式的方法来求交点坐标，对于为什么联立，部分学生不清楚原因所在，并且学生普遍存在计算问题。从情感的角度看，九年级学生面临升学的压力，时间紧，任务重，对于常常出现在最后一题的函数压轴题，往往有畏惧心理。
②教师准备：根据学情，规划好教学目标，选定教学设计，精选历年中考题，根据从中提取的考点，对中考题进行变式。
二、教学目标展现
1、掌握如何求直线与二次函数的交点问题;
2、探究并掌握如何研究线段、射线与二次函数的交点问题;
3、树立中考信心
三、教学设计
问题1：（心有灵犀一点通）
找一个或者两个周围的小伙伴，你写出一个二次函数，让他（她）写出一个直线解析式，判断是否相交，如果相交，求出交点坐标。
追问：你是如何求出交点坐标的呢？
学生答：通过联立解析式;
老师根据情况进行补充：直线上的点满足直线的解析式，二次函数上的点满足二次函数的解析式，所谓的交点即点的坐标既满足直线的解析式，又满足二次函数的解析式，在方程角度展现出来，即点的坐标同时满足两个方程，即联立方程，方程的解的情况，就是反映了直线与二次函数的交点个数情况，如果有解，解出的结果即交点的横纵坐标。其实不光是二次函数与一次函数，反比例函数与一次函数之间的求交点问题也可以采取这种方法。
设计意图：对于数学知识而言，如果仅仅只知道这样做很明显是不够的，因此这里通过一个追问，让学生知道为什么可以这样做，从而让学生更加熟练地掌握知识点。
问题2：已知A（-2，-5）B（1，4）求出抛物线与线段AB的交点。
问题预测：学生的计算可能出现问题，或者是求的与直线AB的交点并没有求出与线段AB的交点，或者求出二次函数与直线的交点后，不知道如何辨别。
老师在下面巡视，搜集主要问题。
追问：如何确定直线AB与抛物线的交点就落在线段AB上呢？
老师：可以互相之间交流一下。
学生答：比较二次函数与直线交点与A，B的横坐标的关系即可
老师：展示直线图片，更加强调、明确一点，只需要满足即可。
设计意图：设计了一个讨论的环节，让学生在本节课的难点问题上思维进行碰撞，更进一步激发孩子想往下探究的欲望。并且老师从图像的角度，给予学生以直观的印象，让学生掌握解决此类问题的一般方法，为后续在二次函数中增加参数做好准备。
问题3：已知A（-2，-5）B（1，4）求出抛物线与射线AB的交点。
问题预测：经过线段的问题，变式为射线学生应对比较轻松。
老师：请一位同学展示一下答案，出示追问，能说一下原因吗？
追问：如何确定直线AB与抛物线的交点就落在射线AB上呢？
学生：只需要横坐标大于等于即可
老师：展示图片，强化。
设计意图：由线段变式为射线，虽然线的类型上出现了变化，但是解决问题的方法并没有变化。问题3训练学生的应变思维，提升学生的自信力，进一步调整好学生的课堂状态，为下面中考题的到来做好准备。
问题4（宜昌2014·24）：已知抛物线经过O（0，0）、C（4，1）两点，点D的坐为（3，4），连接OD，若抛物线与线段OD只有唯一的公共点0，求的取值范围。
问题预测：
①学生计算抛物线解析式时，不知以哪个参数代入;
②学生在计算抛物线与直线OD的交点时候出现计算困难;
③学生计算出交点后，对于解分母含的不等式存在困难（需对的正负进行讨论）。
老师：巡视并搜集问题。
老师：同学们大多都写完了，遇到了什么样的问题？可以互相之间分享一下。
老师：根据收集的问题精讲。
老师：下面看一下规范的解答过程，这可是中考得分的必备法宝哦。
设计意图：本题是从中考题抽出来的一个小问，从前面的常数计算扩展到参数计算，字母表示数实际上是初中数学的难点，也是中考的重要考点，学生感到困难是正常的，这时老师要善于引导、鼓励，发现学生的问题，根据学生的问题精讲，让学生学有所获，增强学生的自信力。之后设计了规范解答过程展示，让学生清楚自己的得分点应该在哪。
变式1（宜昌2014·24）：已知抛物线经过O（0，0）、C（4，1）两点，点D的坐为（3，4），连接OD，若抛物线与线段OD有两个不重合的公共点，求的取值范围。
问题预测：经过前面的讲解，学生在解决抛物线与线段OD有两个不重合的公共点的时候，应对比较轻松，但依然存在不会解以及不会算的情况。
老师：若抛物线与线段OD有两个不重合的公共点，这个时候，另一个交点的落点可能在哪里呢？请位同学回答一下。
学生：可能在线段OD上（不与0重合，可以和D重合）
老师：那么你可以说出另一个落点横坐标的取值范围吗？
学生齐：
设计意图：通过对变式1的训练和思考，学生可以对所学方法融会贯通，同时让学生感受应变思维，提升其核心素养。
课堂小结：二次函数与线的交点问题，对于直线，我们着重考虑根的判别式的情况;对于射线、线段，我们一般通过联立解析式，求出交点坐标，对交点坐标的位置进行讨论，得出最终的结果。
設计意图：整体把握，对知识系统性地掌握。
四、教学设计说明：本节课首先就是一个有趣的开放性问题，让学生能说、敢说、想说，活跃了课堂氛围，然后遵循由易到难，由特殊到一般的指导思想，逐步展现出难点，重点;通过精选的题目以及变式让学生将二次函数、一次函数、不等式等知识进行融会贯通;最后站在一定的高度进行总结，使得学生对所学知识有一个全局的把握，较好地提升了学生的全局观以及自信力。
参考文献：
[1]姜黄飞. 巧妙破解含参二次函数图象有关交点问题[J]. 数理化学习（初中版）， 2019（01）：19-20.
关键词：中考;图像与线
一、教学准备
①学情分析：从知识的角度看，九年级学生基本上能通过联立解析式的方法来求交点坐标，对于为什么联立，部分学生不清楚原因所在，并且学生普遍存在计算问题。从情感的角度看，九年级学生面临升学的压力，时间紧，任务重，对于常常出现在最后一题的函数压轴题，往往有畏惧心理。
②教师准备：根据学情，规划好教学目标，选定教学设计，精选历年中考题，根据从中提取的考点，对中考题进行变式。
二、教学目标展现
1、掌握如何求直线与二次函数的交点问题;
2、探究并掌握如何研究线段、射线与二次函数的交点问题;
3、树立中考信心
三、教学设计
问题1：（心有灵犀一点通）
找一个或者两个周围的小伙伴，你写出一个二次函数，让他（她）写出一个直线解析式，判断是否相交，如果相交，求出交点坐标。
追问：你是如何求出交点坐标的呢？
学生答：通过联立解析式;
老师根据情况进行补充：直线上的点满足直线的解析式，二次函数上的点满足二次函数的解析式，所谓的交点即点的坐标既满足直线的解析式，又满足二次函数的解析式，在方程角度展现出来，即点的坐标同时满足两个方程，即联立方程，方程的解的情况，就是反映了直线与二次函数的交点个数情况，如果有解，解出的结果即交点的横纵坐标。其实不光是二次函数与一次函数，反比例函数与一次函数之间的求交点问题也可以采取这种方法。
设计意图：对于数学知识而言，如果仅仅只知道这样做很明显是不够的，因此这里通过一个追问，让学生知道为什么可以这样做，从而让学生更加熟练地掌握知识点。
问题2：已知A（-2，-5）B（1，4）求出抛物线与线段AB的交点。
问题预测：学生的计算可能出现问题，或者是求的与直线AB的交点并没有求出与线段AB的交点，或者求出二次函数与直线的交点后，不知道如何辨别。
老师在下面巡视，搜集主要问题。
追问：如何确定直线AB与抛物线的交点就落在线段AB上呢？
老师：可以互相之间交流一下。
学生答：比较二次函数与直线交点与A，B的横坐标的关系即可
老师：展示直线图片，更加强调、明确一点，只需要满足即可。
设计意图：设计了一个讨论的环节，让学生在本节课的难点问题上思维进行碰撞，更进一步激发孩子想往下探究的欲望。并且老师从图像的角度，给予学生以直观的印象，让学生掌握解决此类问题的一般方法，为后续在二次函数中增加参数做好准备。
问题3：已知A（-2，-5）B（1，4）求出抛物线与射线AB的交点。
问题预测：经过线段的问题，变式为射线学生应对比较轻松。
老师：请一位同学展示一下答案，出示追问，能说一下原因吗？
追问：如何确定直线AB与抛物线的交点就落在射线AB上呢？
学生：只需要横坐标大于等于即可
老师：展示图片，强化。
设计意图：由线段变式为射线，虽然线的类型上出现了变化，但是解决问题的方法并没有变化。问题3训练学生的应变思维，提升学生的自信力，进一步调整好学生的课堂状态，为下面中考题的到来做好准备。
问题4（宜昌2014·24）：已知抛物线经过O（0，0）、C（4，1）两点，点D的坐为（3，4），连接OD，若抛物线与线段OD只有唯一的公共点0，求的取值范围。
问题预测：
①学生计算抛物线解析式时，不知以哪个参数代入;
②学生在计算抛物线与直线OD的交点时候出现计算困难;
③学生计算出交点后，对于解分母含的不等式存在困难（需对的正负进行讨论）。
老师：巡视并搜集问题。
老师：同学们大多都写完了，遇到了什么样的问题？可以互相之间分享一下。
老师：根据收集的问题精讲。
老师：下面看一下规范的解答过程，这可是中考得分的必备法宝哦。
设计意图：本题是从中考题抽出来的一个小问，从前面的常数计算扩展到参数计算，字母表示数实际上是初中数学的难点，也是中考的重要考点，学生感到困难是正常的，这时老师要善于引导、鼓励，发现学生的问题，根据学生的问题精讲，让学生学有所获，增强学生的自信力。之后设计了规范解答过程展示，让学生清楚自己的得分点应该在哪。
变式1（宜昌2014·24）：已知抛物线经过O（0，0）、C（4，1）两点，点D的坐为（3，4），连接OD，若抛物线与线段OD有两个不重合的公共点，求的取值范围。
问题预测：经过前面的讲解，学生在解决抛物线与线段OD有两个不重合的公共点的时候，应对比较轻松，但依然存在不会解以及不会算的情况。
老师：若抛物线与线段OD有两个不重合的公共点，这个时候，另一个交点的落点可能在哪里呢？请位同学回答一下。
学生：可能在线段OD上（不与0重合，可以和D重合）
老师：那么你可以说出另一个落点横坐标的取值范围吗？
学生齐：
设计意图：通过对变式1的训练和思考，学生可以对所学方法融会贯通，同时让学生感受应变思维，提升其核心素养。
课堂小结：二次函数与线的交点问题，对于直线，我们着重考虑根的判别式的情况;对于射线、线段，我们一般通过联立解析式，求出交点坐标，对交点坐标的位置进行讨论，得出最终的结果。
設计意图：整体把握，对知识系统性地掌握。
四、教学设计说明：本节课首先就是一个有趣的开放性问题，让学生能说、敢说、想说，活跃了课堂氛围，然后遵循由易到难，由特殊到一般的指导思想，逐步展现出难点，重点;通过精选的题目以及变式让学生将二次函数、一次函数、不等式等知识进行融会贯通;最后站在一定的高度进行总结，使得学生对所学知识有一个全局的把握，较好地提升了学生的全局观以及自信力。
参考文献：
[1]姜黄飞. 巧妙破解含参二次函数图象有关交点问题[J]. 数理化学习（初中版）， 2019（01）：19-20.