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【编者按】根据《普通高中数学课程标准（2017年版）》，可以提出数学关键能力的基本成分：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析。在2018年江苏省义务教育阶段学生学业质量监测中，董林伟老师带领的课题组尝试在测试题目及师生问卷中加入了测量、调查6个数学关键能力的元素，得到的大样本数据在一定程度上反映了江苏省八年级学生数学关键能力的发展状况。他们还针对测试结果反映出来的问题，力图提出一些初中生数学关键能力培养的可行性建议。本期《本刊特稿》栏目呈现的3篇文章，便是他们的一部分研究成果。
摘要：基于初中数学关键能力的水平划分，2018年江苏省义务教育学生学业质量监测，在测试题目及师生问卷中加入了测量、调查数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等6个初中数学关键能力的元素，得到的大样本数据在一定程度上反映了江苏省八年级学生数学关键能力的发展状况。
关键词：学业质量监测 数学关键能力 测试结果 结果分析
一、初中数学关键能力概述
参照《普通高中数学课程标准（2017年版）》和《义务教育数学课程标准（2011年版）》，初中数学关键能力的6个要素为：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析。其中，数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的思维过程;逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的思维过程;数学建模是指对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的思维过程;直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解決数学问题的思维过程;数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的思维过程;数据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的思维过程。
我们把初中数学关键能力的水平划分为三级指标：一级指标就是初中数学关键能力的6个要素;二级指标是每一个要素的若干具体表现;三级指标是每一种表现的水平划分，从高到低依次分为A、B、C、D四个水平，一般来说，在某一维度处于较高水平的学生也能完成较低水平的任务。详情如下：
（一）数学抽象能力
1.具体表现。
主要包括四个方面：（1）感悟现实生活中数的意义，估计运算结果;（2）用符号表示数、数量关系和变化规律;（3）从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念;（4）借助符号进行运算和推理，抽象出一般规律和结构。
2.水平划分。
A水平：（1）能在复杂情境中根据需要准确描述数的意义;能正确选择法则进行计算;能使用较为复杂的工具进行测量并计算。（2）能用符号语言准确描述数学对象;能在模型、自然语言、图表、数或字母等之间进行转化;能利用数学对象对复杂情境中的现象进行多方面的解释。（3）能识别出复杂情境中的数学概念，根据对象的意义、性质判断对象的属性以及与其相关对象之间的联系与区别;能用数学语言准确描述复杂情境中数学对象的特征并进行多方面解释;能用多种标准对复杂情境中的数学对象进行分类;能在自然语言、图形语言、符号语言之间进行转化。（4）能识别解决问题所需要的算法、法则、公式、定理等，并形成相应策略找出问题中的一般规律和结构;能对问题中的一般规律和结构的意义进行解释，验证解决方法或结果的合理性。
B水平：（1）能在具体情境中准确描述数的意义;能在具体情境中正确选择法则进行计算;能使用常见的工具进行测量并计算。（2）能用数学语言描述数学对象的主要特征;能用模型、自然语言、图表、数或字母等多种方式表示概念;利用数学对象对复杂情境中的现象进行解释。（3）能识别出复杂情境中的数学概念，根据对象的意义、性质判断对象的属性;能用数学语言准确描述复杂情境中数学对象的特征并进行解释;能自己确定合理标准对复杂情境中的数学对象进行分类;能用自然语言、图形语言、符号语言表达概念。（4）能在复杂情境中识别解决问题所需要的算法、法则、公式、定理等，并通过列式计算、画出图表或运用推理等方法找出问题中的一般规律和结构;能对问题中的一般规律和结构的意义进行解释，能根据意义验证结果的合理性。
C水平：（1）能在简单情境中准确描述数的意义;能在简单情境中正确选择法则进行计算;能使用简单的工具进行测量并计算。（2）能用自己的语言描述数学对象的特征;能认识用模型、自然语言、图表、数或字母等表示的概念，并能举出一些实例;能利用数学对象对简单情境中的现象进行解释。（3）能识别出简单情境中的数学概念，并判断对象的属性;能用自己的语言描述简单情境中数学对象的特征并进行解释;能利用给定的标准对简单情境中的数学对象进行分类;能认识用自然语言、图形语言、符号语言表示的概念，并能举出一些实例。（4）能在简单情境中识别解决问题所需要的算法、法则、公式、定理等，并通过列式计算、画出图表或运用推理等方法找出问题中的一般规律和结构;能对问题中的一般规律和结构的意义进行解释。
D水平：（1）不能在简单情境中准确描述数的意义，或描述出部分、混淆的数的意义;不能在简单情境中正确选择法则进行计算，或计算中频繁出错;不能使用简单的工具进行基本测量并计算，或在测量及计算中频繁出错。（2）不能选择适当的形式表示数学对象，或选用其中的一种方式表达不完整;不能在不同形式之间进行简单转化;不能描述数学对象或用数学对象对简单情境中的现象进行解释，或描述、解释不完整，有明显错误。（3）不能识别出简单情境中的数学对象，不能正确判断对象的属性，或识别的数学对象存在偏差，判断的属性有明显错误;不能正确描述、解释简单情境中数学对象的特征，或描述、解释不完整，有明显错误;不能根据给定的标准对简单情境中的数学对象进行分类，或分类过程混乱;完全不能认识用自然语言、图形语言、符号语言表示的概念，无法举出实例。（4）不能在简单情境中识别解决问题所需要的算法、法则、公式、定理等，或者在运用法则、公式、定理时经常出现错误;不能对问题中的一般规律和结构的意义进行解释，或解释明显缺乏合理性。 （二）逻辑推理能力
1.具体表现。
主要包括两个方面：（1）从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通過归纳和类比等推断某些结果;（2）从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。
2.水平划分。
A水平：（1）能发现问题和提出命题;能理解数学知识之间的联系，建构知识框架;在解决问题的过程中，能形成合情推理的思维品质。（2）能掌握逻辑推理的基本形式，表述论证的过程;在解决问题的过程中，能形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质。
B水平：（1）能发现一些问题;能体会数学知识之间的联系;在解决问题的过程中，发展自身的合情推理能力。（2）能表述证明的过程;在解决问题的过程中，发展自身的逻辑推理能力。
C水平：（1）能发现一些简单的结论;能了解数学知识之间的简单联系;在解决问题的过程中，有合情推理的意识。（2）能基本完成证明的过程;在解决问题的过程中，形成逻辑推理的习惯。
D水平：（1）不能发现结论;不了解数学知识之间的联系;在解决问题的过程中，没有合情推理的意识。（2）不能完成基本证明;在解决问题的过程中，没有逻辑推理的意识。
（三）数学建模能力
1.具体表现。
主要包括三个方面：（1）在实际情境中从数学的视角发现问题，用数学语言表达问题;（2）在实际情境中发现和提出问题，针对问题建立数学模型;（3）运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型，最终解决实际问题。
2.水平划分。
A水平：（1）能在实际情境中用符号语言准确描述数学对象;能利用数学语言对复杂情境中的现象进行解释。（2）通过信息的重组，获取解决问题的有效信息，并做出合理的假设与推断，能根据问题情境中的信息提出数学问题;通过分析情境中的数学关系，发现内在联系，构建数学模型，并运用知识、方法等解决非常规问题。（3）能在学习过程中自主发现和提出新问题，并进行质疑;能将多种信息联系起来，体验解决问题方法的多样性，能做出恰当的选择，并能将模型进行拓展。
B水平：（1）能在实际情境中用符号语言准确描述数学对象;能利用数学语言对复杂情境中的现象进行表达。（2）能获取给定问题情境中的信息，并做出合理的假设与推断;能根据问题情境中的信息提出简单的数学问题;能通过图表等分析问题情境中的数学关系，能够选择适当的形式表达数学关系，并运用知识、方法等解决非常规问题。（3）能在现实情境中发现问题和提出问题，并能将问题抽象成数学问题;综合运用数学知识解决简单的实际问题，获得分析问题和解决问题的一些基本方法。
C水平：（1）能用自己的语言描述数学对象的特征;能利用数学语言对简单情境中的现象进行表达。（2）能读懂问题情境中的数学信息，从给定的信息中做出简单的假设与推断;能利用生活现象、直观模型等解决常规问题。（3）认识到现实生活中蕴含着大量与数量和图形有关的问题;能利用数学的概念和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的简单问题。
D水平：（1）不能选择适当的形式表示数学对象，或选用其中的一种方式表达不完整;不能描述数学对象或用数学对象对简单情境中的现象进行解释，或描述、解释不完整，有明显错误。（2）不能读懂问题情境中的数学信息，或不能根据问题有效提取问题情境中的数学信息;不能利用生活现象、直观模型等解决常规问题。（3）不能读懂问题情境中的数学信息或不能根据问题有效提取问题情境中的数学信息;不能运用知识和方法解决问题或解决问题的基本策略与方法有明显错误。
（四）直观想象能力
1.具体表现。
主要包括三个方面：（1）借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;（2）利用图形理解数学概念，描述、分析数学问题;（3）建立形与数的联系，把握不同事物之间的关联。
2.水平划分。
A水平：（1）能根据物体特征抽象出几何图形;能用语言描述几何图形的特征，并想象出所描述的实际物体;能想象出物体的方位和相互之间的位置关系;能用数学语言描述图形的运动和变化;能依据文字语言的描述画出图形。（2）能借助几何直观图形准确理解数学概念;能借助明确的几何图形来描述和分析复杂的数学问题;能通过对复杂的实物动手操作或图形运动操作进行几何直观探索。（3）能借助见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握;能借助与研究对象有一定关联的现实世界中的实际事物，进行简捷、形象的思考和判断;能在几何图形、数或具体情境等之间进行灵活转化;能借助几何图形直观探索、描述和分析几何以外的其他数学领域的问题。
B水平：（1）能根据物体特征抽象出几何图形;能根据几何图形想物体;能根据文字语言的描述想象出物体的方位和相互之间的位置关系;能描述简单的图形运动和变化;能依据文字语言的描述画出简单图形。（2）能借助几何直观图形理解数学概念;能借助几何图形来描述和分析数学问题;能通过对不太复杂的实物动手操作或图形运动操作进行几何直观探索。（3）能借助见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（空间形式和数量关系）进行直接感知;能借助与研究对象有一定关联的现实世界中的实际事物，进行形象的思考和判断;能在几何图形、数或具体情境等之间进行转化;能借助几何图形直观探索、描述和分析几何以外的其他数学领域的问题。
C水平：（1）能根据物体的详细特征抽象出几何图形;能根据完整的几何图形想象出所描述的实际物体;能想象出物体的方位和相互之间的位置关系;能用自己的语言描述图形的运动和变化;能依据语言的描述画出简单的图形。（2）能借助几何直观图形理解数学概念;能借助几何图形来描述和分析简单的数学问题;能通过对简单的实物动手操作或图形运动操作进行几何直观探索。（3）能借助见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握;能借助与研究对象有一定关联的现实世界中的实际事物，进行简捷、形象的思考和判断;能在几何图形与数之间进行转化;能借助几何图形直观探索、描述和分析几何以外的其他数学领域的简单问题。 D水平：（1）不能根据物体特征抽象出几何图形;不能根据几何图形想象出所描述的实际物体;不能想象出物体的方位和相互之间的位置关系;不能描述图形的运动和变化;不能依据语言的描述画出图形。（2）不能利用几何直观图形理解数学概念;不能通过对实物的动手操作或图形运动操作进行几何直观探索;不能借助明确的几何图形来描述和分析具体的数学问题。（3）不能借助见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握;不能借助与研究对象有一定关联的现实世界中的实际事物，进行简捷、形象的思考和判断;不能借助几何图形直观探索、描述和分析几何以外的其他数学领域的问题。
（五）数学运算能力
1.具体表现。
主要包括两个方面：（1）对法则和运算律等认识清晰，根据具体题目的特殊性正确选择法则和运算律;（2）合理、简洁设计程序，正确、迅速完成运算，通过运算解决问题。
2.水平划分。
A水平：（1）在科学和社会情境中，能够发现运算问题，确定运算对象，明晰算理，灵活选择运算法则，明确运算方向。（2）能够针对运算问题，合理构造运算程序，并以此为基础建立合理、简洁的解决问题模式。
B水平：（1）能够在数学情境中明晰运算对象，提出运算问题，探究运算的方向和目标。（2）能够针对运算问题，正确分析运算条件、确定运算方向;能够合理选择运算方法，正确利用运算解决问题。
C水平：（1）能够在简单的数学情境中理解运算对象，提出运算问题，建立运算关系。（2）能够理解法则的背景和适用范围，掌握基本的运算法则，根据数学问题的特征选择合适的运算法则解决问题。
D水平：（1）不能在数学情境中理解运算对象，不能提出运算问题，建立运算关系。（2）不能理解法则的背景和适用范围，不能掌握基本的运算法则，不能根据数学问题的特征选择合适的运算法则解决问题。
（六）数据分析能力
1.具体表现。
主要包括三个方面：（1）调查研究现实生活问题，收集数据，分析并做出判断，体会数据中蕴涵着信息;（2）用多种分析方法分析同样的数据，根据问题背景选择合适的方法;（3）通過数据分析体验随机性，同样的问题背景每次收集到的数据可能不同，感受只要有足够的数据，就可能从中发现规律。
2.水平划分。
A水平：（1）能通过分析情境中的数学关系，发现内在联系，构建数学模型，并运用知识、方法等解决非常规问题。（2）能通过统计图、统计表等多种方式分析问题情境中的数学关系，能选择适当的形式表达数学关系。（3）能从问题情境中获取丰富的信息，能从信息中做出合理的假设与推理。
B水平：（1）能通过分析情境中的数学关系，发现内在联系，构建数学模型，并运用知识、方法等解决简单的非常规问题。（2）能通过统计图、统计表等多种方式分析简单问题情境中的数学关系，能选择适当的形式表达简单的数学关系。（3）能从简单的问题情境中获取信息，能从信息中做出合理的假设与推理。
C水平：（1）能通过分析简单情境中的数学关系，发现联系，构建简单的数学模型，并运用知识、方法等解决简单问题。（2）能用统计图或统计表等分析简单问题情境中的数学关系，能用某种方式表达简单的数学关系。（3）能读懂问题情境中的数学信息，能从给定的信息中做出简单的假设与推断。
D水平：（1）不能分析情境中的数学关系，不能发现联系，不能构建简单的数学模型，不能解决问题。（2）不能通过统计图或统计表等分析问题情境中的数学关系，不能选择适当的形式表达数学关系。（3）不能读懂问题情境中的数学信息，或不能根据问题有效提取问题情境中的数学信息。
二、2018年江苏省义务教育学生学业质量监测介绍
从建立省基础教育质量标准体系的需要出发，江苏省自2014年起，独立实施义务教育学生学业质量监测。质量监测与分析在省教育厅的部署下进行，严格依据课程标准，遵循国际上有关教育质量科学测试的要求，并采用9项指数全面呈现“质量”内涵。测试分别在三年级和八年级进行，每两年实施一次，覆盖全省所有市、县（区）。测试后，分别在省、市、县（区）、校四级形成质量分析报告（基于人力与成本等方面的考虑，目前只在部分地区的部分学校开展质量分析服务）。
教育研究与评论中学教育教学/2019年第7期本刊特稿对学生学业质量进行测试与分析的目的主要在于三个方面：一是全面呈现地方和学校课程教学质量情况;二是对教育教学的过程进行深入细致的诊断，为教育教学和管理改革提供依据;三是引导地方、学校和教师把学生的学习与事业发展水平的提升，把课程与学习环境的改善结合起来。诊断与改进是本项目实施的根本，也是本项目区别于其他测试项目的特点所在。为此，希望教育管理人员、教科研人员和广大教师能从质量分析报告提供的质量信息与数据分析出发，增强问题研究意识，注重实际改进，优化教学过程和管理方式，为提高全省基础教育质量而共同努力。
2018年江苏省义务教育学生学业质量监测，全省129个区县全部参与，涉及1002所学校，占全省的45.1%。其中，抽取了46262名八年级学生参加了本次质量监测和学生问卷调查，占全省同年级学生人数的6.7%;要求全省所有八年级数学教师参加，最终共有4573名八年级数学教师参加了本次教师问卷调查。
三、测试概况
（一）测试工具
本次测试时间为90分钟，内容为七、八年级的数学课程内容，题型包括选择题、填空题和解答题三种形式。为确保测试内容的覆盖面，我们设计了A、B两套试卷，其中A套试卷18题（共26小题），B套试卷19题（共28小题）。为保证A、B两卷的等值性，我们设计了S卷，S卷是从两份试卷中各抽取部分试题组成的。三套试卷分别由三批学生作答。 A、B两套试卷每道试题对应的关键能力和具体表现等分别如表1、表2所示（其中，“题目编号”中的“M”指数学，“8”指年级，“A”代表A卷，“B”代表B卷，“O”代表客观题，“S”代表主观题，后三个数中前两个代表题号，最后一个代表小题号）。
（二）测试结果
1.主要结论。
对本次监测中江苏省八年级学生在数学学科上的表现进行分析，得到以下主要结论：（1）A水平、B水平、C水平和D水平的人数比例分别为52%、30%、11%和7%，这表明93%的学生达到了中等及以上水平;（2）城区、镇区和乡村学校学生在D水平上的人数比例分别为5%、8%和9%;（3）苏南、苏中和苏北地区学校学生在D水平上的人数比例分别为5%、5%和9%;（4）公办和民办学校学生在D水平上的人数比例分别为7%和2%;（5）男生和女生在D水平上的人数比例分别为8%和5%;（6）各设区市学生在D水平上的人数比例最低为3%，最高为11%;（7）在数学学科四个内容领域“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”和“综合与实践”上，学生在D水平上的人数比例分别为7%、6%、3%和8%。
2.各关键能力的表现。
在数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析6个关键能力上，学生在A水平上的人数比例依次为54%、50%、52%、57%、58%、45%，A水平占比较高的有“数学运算”“直观想象”“数学抽象”，占比较低的有“逻辑推理”与“数据分析”;在D水平上的人数比例依次为8%、7%、5%、6%、10%、4%，D水平占比较高的有“数学运算”“数学抽象”“逻辑推理”，占比较低的有“数学建模”与“数据分析”——其中，“数据分析”A水平占比较低与部分地区统计部分的内容放在九年级上学期学习有关。可见，“数学运算”两极分化较为突出，且在6个关键能力中整体合格率较低。
综合相关数据，可以得到各个关键能力C及以上水平的占比情况，如表3。从中可以看出各关键能力的水平：从城乡看，城区好于镇区，镇区好于乡村，极差最大的是“数学运算”（为6%），极差最小的是“数据分析”（为2%）;从地域看，苏南与苏中几乎没有差异，好于苏北，极差最大的是“数学运算”（为6%），极差最小的是“数学建模”“直观想象”“数据分析”（均为3%）;从学校性质看，民办好于公办，极差最大的是“数学运算”（为8%），极差最小的是“直观想象”“数据分析”（均为4%）;从性别看，女生好于男生，极差最大的是“数学抽象”（为4%），极差最小的是“数学建模”“数据分析”（均为2%）。
四、问卷概况
（一）问卷设置
对于每个关键能力，结合质量监测试卷，针对师生，我们各匹配设置了3道问卷题，选项依次为“（1）从不”“（2）很少”“（3）有时”“（4）常常”“（5）总是”。具体如下（因为穿插在一个大问卷中，所以题号没有从1开始，也不完全连续）：
1.关于“数学抽象”。
学生问卷题为：
152.学习概念时，老师引導我们先分析实例，寻找共同特征，再归纳出概念;
153.研究问题时，老师引导我们将问题进行推广，发现一般规律;
154.学习新知识时，老师引导我们将新知识与已学知识进行联系，构建知识框架。
教师问卷题为：
102.教学概念时，先提供一些实例让学生分析本质属性，然后引导学生归纳出概念;
103.研究问题时，有意识地引导学生将问题进行推广，发现一般规律;
104.教学新知时，有意识地引导学生将新知与旧知进行联系，构建知识体系。
2.关于“逻辑推理”。
学生问卷题为：
156.学习尺规作图时，老师让我们思考如何作图、为什么这样作图;
157.对于较复杂的证明题，老师让我们先独立思考，再讨论交流;
158.对于几何证明题，老师引导我们用分析的方法寻找证明的思路，再有条理地表达证明过程。
教师问卷题为：
106.进行尺规作图教学时，让学生明白如何作图、为什么这样作图;
107.进行较复杂的证明题教学时，引导学生先独立思考，再讨论交流;
108.对于几何证明题，引导学生用分析的方法寻找证明的思路，再有条理地表达证明过程。
3.关于“数学建模”。
学生问卷题为：
162.学习方程、函数等内容时，老师引导我们联系生活实例，鼓励我们发现问题、提出问题;
163.老师让我们从同一个数量关系（如方程、不等式、函数）设计具有不同生活背景的问题;
164.解决实际问题时，老师引导我们分析其中的数量关系，建立方程、不等式或函数来解决问题。
教师问卷题为：
112.教学方程、函数等内容时，引导学生联系生活实例，鼓励学生发现问题、提出问题;
113.让学生从同一个数量关系（如方程、不等式、函数）设计具有不同生活背景的问题;
114.解决实际问题时，引导学生分析其中的数量关系，建立方程、不等式或函数来解决问题。
4.关于“直观想象”。
学生问卷题为：
165.学习几何时，老师让我们利用实物模型进行观察思考;
166.学习函数时，老师引导我们结合图像来研究问题;
167.解决几何问题时，老师引导我们依据条件画出图形，寻找解决问题的思路。
教师问卷题为：
115.教学几何时，引导学生利用实物模型进行观察思考;
116.教学函数时，引导学生结合图像来研究问题;
117.解决几何问题时，引导学生依据条件画出图形，寻找解决问题的思路。
5.关于“数学运算”。
学生问卷题为：
168.解方程（组）和不等式（组）时，老师让我们明白运算的依据;
169.学习整式运算法则时，老师让我们了解法则的形成过程;
170.老师引导我们对运算错误进行错因分析。
教师问卷题为：
118.解方程（组）和不等式（组）时，让学生明白运算的算理;
119.教学运算法则时，引导学生了解法则的由来;
120.引导学生对运算错误进行错因分析。
6.关于“数据分析”。
学生问卷题为：
172.老师让我们针对一个调查，自己设计问卷;
173.老师引导我们在真实的问题情境中，通过分析数据获取信息;
174.课外我们做过实际的统计调查活动。
教师问卷题为：
122.让学生针对一个调查，自己设计问卷;
123.引导学生在真实的问题情境中，通过分析数据获取信息;
124.为了经历统计分析的全过程，布置学生针对某一现象分组进行研究性学习，并安排汇报展示。
（二）调查结果
表4为学生问卷调查结果，表5为教师问卷调查结果。
从中可以看出，学生和教师的调查结果有差异，差异最大的是“数据分析”，反映了教学中需加强设计真实的情境，让学生主动参与，提升学生的数据收集、整理、分析能力;其次是“直观想象”，反映了教学中需加强创设数学的活动，让学生直接体验、经历数学知识的形成过程。
参考文献：
[1] 董林伟，喻平.基于学业水平质量监测的初中生数学核心素养发展状况调查[J].数学教育学报，2017（1）.
[2] 义务教育学科核心素养与关键能力研究项目组.义务教育学科核心素养·关键能力——测评与教学（初中数学）[M].南京：江苏凤凰科学技术出版社，2018.
摘要：基于初中数学关键能力的水平划分，2018年江苏省义务教育学生学业质量监测，在测试题目及师生问卷中加入了测量、调查数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等6个初中数学关键能力的元素，得到的大样本数据在一定程度上反映了江苏省八年级学生数学关键能力的发展状况。
关键词：学业质量监测 数学关键能力 测试结果 结果分析
一、初中数学关键能力概述
参照《普通高中数学课程标准（2017年版）》和《义务教育数学课程标准（2011年版）》，初中数学关键能力的6个要素为：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析。其中，数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的思维过程;逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的思维过程;数学建模是指对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的思维过程;直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解決数学问题的思维过程;数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的思维过程;数据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的思维过程。
我们把初中数学关键能力的水平划分为三级指标：一级指标就是初中数学关键能力的6个要素;二级指标是每一个要素的若干具体表现;三级指标是每一种表现的水平划分，从高到低依次分为A、B、C、D四个水平，一般来说，在某一维度处于较高水平的学生也能完成较低水平的任务。详情如下：
（一）数学抽象能力
1.具体表现。
主要包括四个方面：（1）感悟现实生活中数的意义，估计运算结果;（2）用符号表示数、数量关系和变化规律;（3）从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念;（4）借助符号进行运算和推理，抽象出一般规律和结构。
2.水平划分。
A水平：（1）能在复杂情境中根据需要准确描述数的意义;能正确选择法则进行计算;能使用较为复杂的工具进行测量并计算。（2）能用符号语言准确描述数学对象;能在模型、自然语言、图表、数或字母等之间进行转化;能利用数学对象对复杂情境中的现象进行多方面的解释。（3）能识别出复杂情境中的数学概念，根据对象的意义、性质判断对象的属性以及与其相关对象之间的联系与区别;能用数学语言准确描述复杂情境中数学对象的特征并进行多方面解释;能用多种标准对复杂情境中的数学对象进行分类;能在自然语言、图形语言、符号语言之间进行转化。（4）能识别解决问题所需要的算法、法则、公式、定理等，并形成相应策略找出问题中的一般规律和结构;能对问题中的一般规律和结构的意义进行解释，验证解决方法或结果的合理性。
B水平：（1）能在具体情境中准确描述数的意义;能在具体情境中正确选择法则进行计算;能使用常见的工具进行测量并计算。（2）能用数学语言描述数学对象的主要特征;能用模型、自然语言、图表、数或字母等多种方式表示概念;利用数学对象对复杂情境中的现象进行解释。（3）能识别出复杂情境中的数学概念，根据对象的意义、性质判断对象的属性;能用数学语言准确描述复杂情境中数学对象的特征并进行解释;能自己确定合理标准对复杂情境中的数学对象进行分类;能用自然语言、图形语言、符号语言表达概念。（4）能在复杂情境中识别解决问题所需要的算法、法则、公式、定理等，并通过列式计算、画出图表或运用推理等方法找出问题中的一般规律和结构;能对问题中的一般规律和结构的意义进行解释，能根据意义验证结果的合理性。
C水平：（1）能在简单情境中准确描述数的意义;能在简单情境中正确选择法则进行计算;能使用简单的工具进行测量并计算。（2）能用自己的语言描述数学对象的特征;能认识用模型、自然语言、图表、数或字母等表示的概念，并能举出一些实例;能利用数学对象对简单情境中的现象进行解释。（3）能识别出简单情境中的数学概念，并判断对象的属性;能用自己的语言描述简单情境中数学对象的特征并进行解释;能利用给定的标准对简单情境中的数学对象进行分类;能认识用自然语言、图形语言、符号语言表示的概念，并能举出一些实例。（4）能在简单情境中识别解决问题所需要的算法、法则、公式、定理等，并通过列式计算、画出图表或运用推理等方法找出问题中的一般规律和结构;能对问题中的一般规律和结构的意义进行解释。
D水平：（1）不能在简单情境中准确描述数的意义，或描述出部分、混淆的数的意义;不能在简单情境中正确选择法则进行计算，或计算中频繁出错;不能使用简单的工具进行基本测量并计算，或在测量及计算中频繁出错。（2）不能选择适当的形式表示数学对象，或选用其中的一种方式表达不完整;不能在不同形式之间进行简单转化;不能描述数学对象或用数学对象对简单情境中的现象进行解释，或描述、解释不完整，有明显错误。（3）不能识别出简单情境中的数学对象，不能正确判断对象的属性，或识别的数学对象存在偏差，判断的属性有明显错误;不能正确描述、解释简单情境中数学对象的特征，或描述、解释不完整，有明显错误;不能根据给定的标准对简单情境中的数学对象进行分类，或分类过程混乱;完全不能认识用自然语言、图形语言、符号语言表示的概念，无法举出实例。（4）不能在简单情境中识别解决问题所需要的算法、法则、公式、定理等，或者在运用法则、公式、定理时经常出现错误;不能对问题中的一般规律和结构的意义进行解释，或解释明显缺乏合理性。 （二）逻辑推理能力
1.具体表现。
主要包括两个方面：（1）从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通過归纳和类比等推断某些结果;（2）从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。
2.水平划分。
A水平：（1）能发现问题和提出命题;能理解数学知识之间的联系，建构知识框架;在解决问题的过程中，能形成合情推理的思维品质。（2）能掌握逻辑推理的基本形式，表述论证的过程;在解决问题的过程中，能形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质。
B水平：（1）能发现一些问题;能体会数学知识之间的联系;在解决问题的过程中，发展自身的合情推理能力。（2）能表述证明的过程;在解决问题的过程中，发展自身的逻辑推理能力。
C水平：（1）能发现一些简单的结论;能了解数学知识之间的简单联系;在解决问题的过程中，有合情推理的意识。（2）能基本完成证明的过程;在解决问题的过程中，形成逻辑推理的习惯。
D水平：（1）不能发现结论;不了解数学知识之间的联系;在解决问题的过程中，没有合情推理的意识。（2）不能完成基本证明;在解决问题的过程中，没有逻辑推理的意识。
（三）数学建模能力
1.具体表现。
主要包括三个方面：（1）在实际情境中从数学的视角发现问题，用数学语言表达问题;（2）在实际情境中发现和提出问题，针对问题建立数学模型;（3）运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型，最终解决实际问题。
2.水平划分。
A水平：（1）能在实际情境中用符号语言准确描述数学对象;能利用数学语言对复杂情境中的现象进行解释。（2）通过信息的重组，获取解决问题的有效信息，并做出合理的假设与推断，能根据问题情境中的信息提出数学问题;通过分析情境中的数学关系，发现内在联系，构建数学模型，并运用知识、方法等解决非常规问题。（3）能在学习过程中自主发现和提出新问题，并进行质疑;能将多种信息联系起来，体验解决问题方法的多样性，能做出恰当的选择，并能将模型进行拓展。
B水平：（1）能在实际情境中用符号语言准确描述数学对象;能利用数学语言对复杂情境中的现象进行表达。（2）能获取给定问题情境中的信息，并做出合理的假设与推断;能根据问题情境中的信息提出简单的数学问题;能通过图表等分析问题情境中的数学关系，能够选择适当的形式表达数学关系，并运用知识、方法等解决非常规问题。（3）能在现实情境中发现问题和提出问题，并能将问题抽象成数学问题;综合运用数学知识解决简单的实际问题，获得分析问题和解决问题的一些基本方法。
C水平：（1）能用自己的语言描述数学对象的特征;能利用数学语言对简单情境中的现象进行表达。（2）能读懂问题情境中的数学信息，从给定的信息中做出简单的假设与推断;能利用生活现象、直观模型等解决常规问题。（3）认识到现实生活中蕴含着大量与数量和图形有关的问题;能利用数学的概念和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的简单问题。
D水平：（1）不能选择适当的形式表示数学对象，或选用其中的一种方式表达不完整;不能描述数学对象或用数学对象对简单情境中的现象进行解释，或描述、解释不完整，有明显错误。（2）不能读懂问题情境中的数学信息，或不能根据问题有效提取问题情境中的数学信息;不能利用生活现象、直观模型等解决常规问题。（3）不能读懂问题情境中的数学信息或不能根据问题有效提取问题情境中的数学信息;不能运用知识和方法解决问题或解决问题的基本策略与方法有明显错误。
（四）直观想象能力
1.具体表现。
主要包括三个方面：（1）借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;（2）利用图形理解数学概念，描述、分析数学问题;（3）建立形与数的联系，把握不同事物之间的关联。
2.水平划分。
A水平：（1）能根据物体特征抽象出几何图形;能用语言描述几何图形的特征，并想象出所描述的实际物体;能想象出物体的方位和相互之间的位置关系;能用数学语言描述图形的运动和变化;能依据文字语言的描述画出图形。（2）能借助几何直观图形准确理解数学概念;能借助明确的几何图形来描述和分析复杂的数学问题;能通过对复杂的实物动手操作或图形运动操作进行几何直观探索。（3）能借助见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握;能借助与研究对象有一定关联的现实世界中的实际事物，进行简捷、形象的思考和判断;能在几何图形、数或具体情境等之间进行灵活转化;能借助几何图形直观探索、描述和分析几何以外的其他数学领域的问题。
B水平：（1）能根据物体特征抽象出几何图形;能根据几何图形想物体;能根据文字语言的描述想象出物体的方位和相互之间的位置关系;能描述简单的图形运动和变化;能依据文字语言的描述画出简单图形。（2）能借助几何直观图形理解数学概念;能借助几何图形来描述和分析数学问题;能通过对不太复杂的实物动手操作或图形运动操作进行几何直观探索。（3）能借助见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（空间形式和数量关系）进行直接感知;能借助与研究对象有一定关联的现实世界中的实际事物，进行形象的思考和判断;能在几何图形、数或具体情境等之间进行转化;能借助几何图形直观探索、描述和分析几何以外的其他数学领域的问题。
C水平：（1）能根据物体的详细特征抽象出几何图形;能根据完整的几何图形想象出所描述的实际物体;能想象出物体的方位和相互之间的位置关系;能用自己的语言描述图形的运动和变化;能依据语言的描述画出简单的图形。（2）能借助几何直观图形理解数学概念;能借助几何图形来描述和分析简单的数学问题;能通过对简单的实物动手操作或图形运动操作进行几何直观探索。（3）能借助见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握;能借助与研究对象有一定关联的现实世界中的实际事物，进行简捷、形象的思考和判断;能在几何图形与数之间进行转化;能借助几何图形直观探索、描述和分析几何以外的其他数学领域的简单问题。 D水平：（1）不能根据物体特征抽象出几何图形;不能根据几何图形想象出所描述的实际物体;不能想象出物体的方位和相互之间的位置关系;不能描述图形的运动和变化;不能依据语言的描述画出图形。（2）不能利用几何直观图形理解数学概念;不能通过对实物的动手操作或图形运动操作进行几何直观探索;不能借助明确的几何图形来描述和分析具体的数学问题。（3）不能借助见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握;不能借助与研究对象有一定关联的现实世界中的实际事物，进行简捷、形象的思考和判断;不能借助几何图形直观探索、描述和分析几何以外的其他数学领域的问题。
（五）数学运算能力
1.具体表现。
主要包括两个方面：（1）对法则和运算律等认识清晰，根据具体题目的特殊性正确选择法则和运算律;（2）合理、简洁设计程序，正确、迅速完成运算，通过运算解决问题。
2.水平划分。
A水平：（1）在科学和社会情境中，能够发现运算问题，确定运算对象，明晰算理，灵活选择运算法则，明确运算方向。（2）能够针对运算问题，合理构造运算程序，并以此为基础建立合理、简洁的解决问题模式。
B水平：（1）能够在数学情境中明晰运算对象，提出运算问题，探究运算的方向和目标。（2）能够针对运算问题，正确分析运算条件、确定运算方向;能够合理选择运算方法，正确利用运算解决问题。
C水平：（1）能够在简单的数学情境中理解运算对象，提出运算问题，建立运算关系。（2）能够理解法则的背景和适用范围，掌握基本的运算法则，根据数学问题的特征选择合适的运算法则解决问题。
D水平：（1）不能在数学情境中理解运算对象，不能提出运算问题，建立运算关系。（2）不能理解法则的背景和适用范围，不能掌握基本的运算法则，不能根据数学问题的特征选择合适的运算法则解决问题。
（六）数据分析能力
1.具体表现。
主要包括三个方面：（1）调查研究现实生活问题，收集数据，分析并做出判断，体会数据中蕴涵着信息;（2）用多种分析方法分析同样的数据，根据问题背景选择合适的方法;（3）通過数据分析体验随机性，同样的问题背景每次收集到的数据可能不同，感受只要有足够的数据，就可能从中发现规律。
2.水平划分。
A水平：（1）能通过分析情境中的数学关系，发现内在联系，构建数学模型，并运用知识、方法等解决非常规问题。（2）能通过统计图、统计表等多种方式分析问题情境中的数学关系，能选择适当的形式表达数学关系。（3）能从问题情境中获取丰富的信息，能从信息中做出合理的假设与推理。
B水平：（1）能通过分析情境中的数学关系，发现内在联系，构建数学模型，并运用知识、方法等解决简单的非常规问题。（2）能通过统计图、统计表等多种方式分析简单问题情境中的数学关系，能选择适当的形式表达简单的数学关系。（3）能从简单的问题情境中获取信息，能从信息中做出合理的假设与推理。
C水平：（1）能通过分析简单情境中的数学关系，发现联系，构建简单的数学模型，并运用知识、方法等解决简单问题。（2）能用统计图或统计表等分析简单问题情境中的数学关系，能用某种方式表达简单的数学关系。（3）能读懂问题情境中的数学信息，能从给定的信息中做出简单的假设与推断。
D水平：（1）不能分析情境中的数学关系，不能发现联系，不能构建简单的数学模型，不能解决问题。（2）不能通过统计图或统计表等分析问题情境中的数学关系，不能选择适当的形式表达数学关系。（3）不能读懂问题情境中的数学信息，或不能根据问题有效提取问题情境中的数学信息。
二、2018年江苏省义务教育学生学业质量监测介绍
从建立省基础教育质量标准体系的需要出发，江苏省自2014年起，独立实施义务教育学生学业质量监测。质量监测与分析在省教育厅的部署下进行，严格依据课程标准，遵循国际上有关教育质量科学测试的要求，并采用9项指数全面呈现“质量”内涵。测试分别在三年级和八年级进行，每两年实施一次，覆盖全省所有市、县（区）。测试后，分别在省、市、县（区）、校四级形成质量分析报告（基于人力与成本等方面的考虑，目前只在部分地区的部分学校开展质量分析服务）。
教育研究与评论中学教育教学/2019年第7期本刊特稿对学生学业质量进行测试与分析的目的主要在于三个方面：一是全面呈现地方和学校课程教学质量情况;二是对教育教学的过程进行深入细致的诊断，为教育教学和管理改革提供依据;三是引导地方、学校和教师把学生的学习与事业发展水平的提升，把课程与学习环境的改善结合起来。诊断与改进是本项目实施的根本，也是本项目区别于其他测试项目的特点所在。为此，希望教育管理人员、教科研人员和广大教师能从质量分析报告提供的质量信息与数据分析出发，增强问题研究意识，注重实际改进，优化教学过程和管理方式，为提高全省基础教育质量而共同努力。
2018年江苏省义务教育学生学业质量监测，全省129个区县全部参与，涉及1002所学校，占全省的45.1%。其中，抽取了46262名八年级学生参加了本次质量监测和学生问卷调查，占全省同年级学生人数的6.7%;要求全省所有八年级数学教师参加，最终共有4573名八年级数学教师参加了本次教师问卷调查。
三、测试概况
（一）测试工具
本次测试时间为90分钟，内容为七、八年级的数学课程内容，题型包括选择题、填空题和解答题三种形式。为确保测试内容的覆盖面，我们设计了A、B两套试卷，其中A套试卷18题（共26小题），B套试卷19题（共28小题）。为保证A、B两卷的等值性，我们设计了S卷，S卷是从两份试卷中各抽取部分试题组成的。三套试卷分别由三批学生作答。 A、B两套试卷每道试题对应的关键能力和具体表现等分别如表1、表2所示（其中，“题目编号”中的“M”指数学，“8”指年级，“A”代表A卷，“B”代表B卷，“O”代表客观题，“S”代表主观题，后三个数中前两个代表题号，最后一个代表小题号）。
（二）测试结果
1.主要结论。
对本次监测中江苏省八年级学生在数学学科上的表现进行分析，得到以下主要结论：（1）A水平、B水平、C水平和D水平的人数比例分别为52%、30%、11%和7%，这表明93%的学生达到了中等及以上水平;（2）城区、镇区和乡村学校学生在D水平上的人数比例分别为5%、8%和9%;（3）苏南、苏中和苏北地区学校学生在D水平上的人数比例分别为5%、5%和9%;（4）公办和民办学校学生在D水平上的人数比例分别为7%和2%;（5）男生和女生在D水平上的人数比例分别为8%和5%;（6）各设区市学生在D水平上的人数比例最低为3%，最高为11%;（7）在数学学科四个内容领域“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”和“综合与实践”上，学生在D水平上的人数比例分别为7%、6%、3%和8%。
2.各关键能力的表现。
在数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析6个关键能力上，学生在A水平上的人数比例依次为54%、50%、52%、57%、58%、45%，A水平占比较高的有“数学运算”“直观想象”“数学抽象”，占比较低的有“逻辑推理”与“数据分析”;在D水平上的人数比例依次为8%、7%、5%、6%、10%、4%，D水平占比较高的有“数学运算”“数学抽象”“逻辑推理”，占比较低的有“数学建模”与“数据分析”——其中，“数据分析”A水平占比较低与部分地区统计部分的内容放在九年级上学期学习有关。可见，“数学运算”两极分化较为突出，且在6个关键能力中整体合格率较低。
综合相关数据，可以得到各个关键能力C及以上水平的占比情况，如表3。从中可以看出各关键能力的水平：从城乡看，城区好于镇区，镇区好于乡村，极差最大的是“数学运算”（为6%），极差最小的是“数据分析”（为2%）;从地域看，苏南与苏中几乎没有差异，好于苏北，极差最大的是“数学运算”（为6%），极差最小的是“数学建模”“直观想象”“数据分析”（均为3%）;从学校性质看，民办好于公办，极差最大的是“数学运算”（为8%），极差最小的是“直观想象”“数据分析”（均为4%）;从性别看，女生好于男生，极差最大的是“数学抽象”（为4%），极差最小的是“数学建模”“数据分析”（均为2%）。
四、问卷概况
（一）问卷设置
对于每个关键能力，结合质量监测试卷，针对师生，我们各匹配设置了3道问卷题，选项依次为“（1）从不”“（2）很少”“（3）有时”“（4）常常”“（5）总是”。具体如下（因为穿插在一个大问卷中，所以题号没有从1开始，也不完全连续）：
1.关于“数学抽象”。
学生问卷题为：
152.学习概念时，老师引導我们先分析实例，寻找共同特征，再归纳出概念;
153.研究问题时，老师引导我们将问题进行推广，发现一般规律;
154.学习新知识时，老师引导我们将新知识与已学知识进行联系，构建知识框架。
教师问卷题为：
102.教学概念时，先提供一些实例让学生分析本质属性，然后引导学生归纳出概念;
103.研究问题时，有意识地引导学生将问题进行推广，发现一般规律;
104.教学新知时，有意识地引导学生将新知与旧知进行联系，构建知识体系。
2.关于“逻辑推理”。
学生问卷题为：
156.学习尺规作图时，老师让我们思考如何作图、为什么这样作图;
157.对于较复杂的证明题，老师让我们先独立思考，再讨论交流;
158.对于几何证明题，老师引导我们用分析的方法寻找证明的思路，再有条理地表达证明过程。
教师问卷题为：
106.进行尺规作图教学时，让学生明白如何作图、为什么这样作图;
107.进行较复杂的证明题教学时，引导学生先独立思考，再讨论交流;
108.对于几何证明题，引导学生用分析的方法寻找证明的思路，再有条理地表达证明过程。
3.关于“数学建模”。
学生问卷题为：
162.学习方程、函数等内容时，老师引导我们联系生活实例，鼓励我们发现问题、提出问题;
163.老师让我们从同一个数量关系（如方程、不等式、函数）设计具有不同生活背景的问题;
164.解决实际问题时，老师引导我们分析其中的数量关系，建立方程、不等式或函数来解决问题。
教师问卷题为：
112.教学方程、函数等内容时，引导学生联系生活实例，鼓励学生发现问题、提出问题;
113.让学生从同一个数量关系（如方程、不等式、函数）设计具有不同生活背景的问题;
114.解决实际问题时，引导学生分析其中的数量关系，建立方程、不等式或函数来解决问题。
4.关于“直观想象”。
学生问卷题为：
165.学习几何时，老师让我们利用实物模型进行观察思考;
166.学习函数时，老师引导我们结合图像来研究问题;
167.解决几何问题时，老师引导我们依据条件画出图形，寻找解决问题的思路。
教师问卷题为：
115.教学几何时，引导学生利用实物模型进行观察思考;
116.教学函数时，引导学生结合图像来研究问题;
117.解决几何问题时，引导学生依据条件画出图形，寻找解决问题的思路。
5.关于“数学运算”。
学生问卷题为：
168.解方程（组）和不等式（组）时，老师让我们明白运算的依据;
169.学习整式运算法则时，老师让我们了解法则的形成过程;
170.老师引导我们对运算错误进行错因分析。
教师问卷题为：
118.解方程（组）和不等式（组）时，让学生明白运算的算理;
119.教学运算法则时，引导学生了解法则的由来;
120.引导学生对运算错误进行错因分析。
6.关于“数据分析”。
学生问卷题为：
172.老师让我们针对一个调查，自己设计问卷;
173.老师引导我们在真实的问题情境中，通过分析数据获取信息;
174.课外我们做过实际的统计调查活动。
教师问卷题为：
122.让学生针对一个调查，自己设计问卷;
123.引导学生在真实的问题情境中，通过分析数据获取信息;
124.为了经历统计分析的全过程，布置学生针对某一现象分组进行研究性学习，并安排汇报展示。
（二）调查结果
表4为学生问卷调查结果，表5为教师问卷调查结果。
从中可以看出，学生和教师的调查结果有差异，差异最大的是“数据分析”，反映了教学中需加强设计真实的情境，让学生主动参与，提升学生的数据收集、整理、分析能力;其次是“直观想象”，反映了教学中需加强创设数学的活动，让学生直接体验、经历数学知识的形成过程。
参考文献：
[1] 董林伟，喻平.基于学业水平质量监测的初中生数学核心素养发展状况调查[J].数学教育学报，2017（1）.
[2] 义务教育学科核心素养与关键能力研究项目组.义务教育学科核心素养·关键能力——测评与教学（初中数学）[M].南京：江苏凤凰科学技术出版社，2018.