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摘 要：本文基于“提前期决策权由下游控制，下游完全承担缩短提前期的费用”的假设,研究由一个供应商和一个零售商组成的供应链决策问题，建立该供应链系统的Stackelberg模型，并给出相应的算法供参考，最后结合算例分析，证实了该模型的有效性和实用性，即合理地缩短提前期可以有效降低供应链库存成本。
关键词：提前期；供应链；库存成本
中图分类号：F253.4;F224 文献标识码：A doi:10.3969/j.issn.1672-3309（x）.2012.03.13 文章编号：1672-3309（2012）03-29-03
一、引言
20世纪50年代，市场的竞争主要基于价格的竞争，在这样的环境下，大部分制造商把企业的主要经营战略放在使生产成本最小化为目标的规模化生产上。而到了80年代，随着市场需求变化的加剧，市场竞争越来越激烈，企业开始把更多的目光聚焦在产品质量和响应时间上，由此，竞争模式也开始发生变化。80年代末，学术界提出了一种名为“基于时间的竞争（Time-Based Competition）”的新型竞争模式，至此，有关速度的问题越来越受到学术界和企业界的关注。其中，提前期作为有关“基于时间的竞争”中的一个有力武器，也越来越被大家所重视。缩短提前期可以有效降低企业的库存量,减少资金积压,提高对顾客的服务水平并增强企业的竞争能力。在“基于时间的竞争”越来越剧烈的今天，能否有效缩短提前期已成为企业提升竞争能力不可或缺的关键因素。
Liao等[1]基于库存连续检查策略提出了提前期可控的库存模型，在该模型中，只有提前期是决策变量；Ben等[2]又将订货量纳入了决策变量之中，扩充了模型，考虑两者的联合决策问题。本文在前人所做研究的基础上，又新增加了一个决策变量——订货点，即分析提前期、订货量以及订货点三者的联合决策问题，并且，本文也是假设提前期决策权由下游控制，下游完全承担缩短提前期的费用。
二、成本构成分析
1.供应链系统构成
仅考虑由一个供应商和一个零售商构成的单一产品的两层供应链系统，其中供应商负责产品生产，而零售商则负责将产品销售给顾客。已知该产品每年平均需求量为D，供应商生产率为P，且供应商生产率大于年平均需求，即P＞D。零售商以连续检查的方式监控库存水平，当库存量降至再订货点r时，零售商才发出运输请求要求供应商供货，每次供货量为Q单位。供应商每次生产产品数量为mQ单位，分m次运送给零售商，每次运输量为Q单位。在这里，运输Q与运送批次m均为决策变量。进一步假定提前期内需求X服从正态分布，其均值为uL，标准差为?啄■，因此，零售商的再订货r=提前期内平均需求量+安全库存量，即r=uL+k?啄■，其中k为安全因子。且设提前期包括n个相互独立的操作时段，每个操作时段均有一个最短持续时间ai和一个最大持续时间bi。如果用L0=■bj表示零售商的最长提前期，用Li为提前期时间组成成份中1到成份i都在充分赶工下的提前期长度，因此有Li=■aj+■bj=■bj-■(bj-aj)=L0-■(bj-aj)。并且可以通过增加一定的费用来缩短提前期。第i个部分缩短一个单位的时间所需要的费用为ci， ci按非降序排列，即c1?燮c2?燮L?燮cn。若用R(L)表示一次订货中将提前期缩短为所需的赶工成本，因此有R(L)=ci(Li-1-L)+■cj(bj-aj)，L?缀[Li，Li-1]。
2.零售商库存成本
零售商年期望成本由3个部分构成：年订货成本、年持有成本与年赶工成本。
(1)年订货成本。零售商每次订货成本为A，年需求量为D，每次订货量为Q，因此年订货成本为■。
(2)年持有成本。零售商单位商品的年持有成本为■+k?啄■，年平均库存水平为，因此年持有成本为hr(■+k?啄■)。
(3)年赶工成本。在已知提前期L?缀[Li，Li-1]中，每次订货期的赶工成本为R(L)=ci(Li-1-L)+■cj(bj-aj)，由于本文研究的是年赶工成本由零售商完全承担的库存优化问题，因此零售商的年赶工成本为■。
故零售商年总库存成本可表示为Cr(Q,L)=■+hr(■+k?啄■)+■ (1)
3.供应商库存成本
供应商年库存成本包括两部分：备货成本与库存持有成本。
(1)备货成本。供应商每次备货成本为S，年需求量为D，每次生产量为mQ，因此年备货成本为■。
(2)年持有成本。供应商单位商品年持有成本为hs，年平均库存量为■［m(1-■)-1+■］，因此供应商库存持有成本为■［m(1-■)-1+■］hs。
故供应商年总库存成本也可表示为
Cs（Q，m)=■+■［m(1-■)-1+■］hs (2)
三、模型的建立
零售商需要决定最优经济批量Q、最优提前期L，而供应商则需要决定最优送货批次m。此问题可归结为一类Stackelberg主从对策问题，即零售商寻求库存成本最小时的经济批量与提前期，而供应商则通过预测零售商可能做出的选择来寻求最优送货批次。因而，供应商与零售商构成的Stackelberg主从对策模型为:
minCs(Q,m)=■+■［m(1-■)-1+■］hs
s.t. Cr(Q,L)=■+hr(■+k?啄■)+■ (3)
四、模型求解步骤
对式（3）中的Q、L分别求二阶偏导得
■=■[A+R(L)]>0 (4)
■=-■k?啄hrL■<0 (5)
由式（4）和式（5）可知：第一，对于任意给定的经济订货批量Q，Cr(Q,L)为提前期L的凹函数；第二，对于任意给定的提前期L?缀[Li，Li-1]，Cr(Q,L)为经济订货批量Q的凸函数。因此，最优提前期L*必然发生在区间的端点上。 又对式（3）中的Q求偏导可得
■=■[A+R(L)]+■ (6)
令式（6）等于零即可得零售商的最佳经济批量
Q*=■ (7)
对供应商来说，它通过预测零售商的最优经济批量Q*和L*提前期来决定自己的最优分批送货次数m*。由于m为正整数，根据式（2）可知，当m=m*为最优解时，必然同时满足下列不等式。
C■(Q*,m*)?燮C■(Q*,m*+1) (8)C■(Q*,m*)?燮C■(Q*,m*-1) (9)
综合上述分析，可以给出最优解算法：
1.对每个提前期Li(i=0,1,L,n)，通过式（7）计算Qi；
2.对每一组(Li,Qi)，计算出相应的Cr(Li,Qi)，i=0,1,L,n；
3.令Cr(Q*,L*)=■Cr(Li,Qi)，则(Q*,m*)为最优解；
4.将(Q*,L*)代入式（8）和式（9）中求出m的取值范围，设取值范围内存在k个可行解，则第i个可行解设为mi；
5.将mi分别代入式（2）中，令C■(Q*,m*)=■Cs(Qi,mi)，则m*为最优解，在此最优解下供应商的库存总成本为Cs(Q*,m*)。
五、算例分析
假设该供应链系统基本参数为：D=500,A=180，h=18，k=1.65，?啄=6，S=1600,P=2000，hs=16。零售商向供应商订货的提前期由4个部分组成，具体数值如表1所示。
根据模型求解步骤中的最优解算法可得表2：
由表2可知，当零售商提前期L*=12周及经济订货批量Q*=102件时，其年总库存成本达到最小的Cr(12,102)=2447.76元。再将该最优解代(L*,Q*)入式(8)和式(9)中求得供应商交货批次取值范围为12.6?燮m*?燮13.6，即m*=13。当最优解为m*=13时供应商年总库存成本为Cs(102,13)=8151.32元。此时，整个供应链年总库存成本为Csum(12,102,13)=10598.38元。
六、结束语
本文研究的是由1个供应商和1个零售商组成的供应链中提前期和订单量决策问题，考虑由零售商决定提前期并完全承担缩短提前期费用的交货策略，经过模型分析，得出使得供应链总成本最小的最优提前期以及该提前期下的经济订货批量和供应商最优交货批次，并且通过具体算例验证了模型的实用性和有效性。该模型还可进一步推广到由一个供应商和两个零售商所组成的供应链决策问题。
参考文献：
[1] Liao C J,Shyu C H.An analytical determination of lead time with normal demand[J]. International Journal of Operations & Production Management,1991,(09): 72-78.
[2] Ben Daya A M,Raouf A. Inventory models involving lead-time as decision variable[J]. Journal of the Operational Research Society,1994,(05): 579-582.
[3] 李华、李益强、徐国华. 供应链配送中的提前期模型研究[J]. 管理工程学报,2004,(03): 112-114.
[4] L.-Y. Ouyang,K.-S. Wu, C.-H. Ho.Integrated vendor-buyer cooperative models with stochastic demand in controllable lead time[J]. Int. J. Production Economics,2004,(92): 255-266.
[5] 蒋良奎、汪传旭.缩短交货提前期费用共担的供应链决策[J].上海海事大学学报,2008,(02): 48-51.
[6] 刘蕾、唐小我.基于缩短交货期费用分担的供应商交货策略[J].系统工程,2005,(08): 42-45.
[7] H.-C. Chang,L.-Y. Ouyang,K.-S. Wu.Integrated vendor-buyer cooperative inventory models with controllable lead time and ordering cost reduction[J]. European Journal of Operational Research,2006,(02): 48-495.
关键词：提前期；供应链；库存成本
中图分类号：F253.4;F224 文献标识码：A doi:10.3969/j.issn.1672-3309（x）.2012.03.13 文章编号：1672-3309（2012）03-29-03
一、引言
20世纪50年代，市场的竞争主要基于价格的竞争，在这样的环境下，大部分制造商把企业的主要经营战略放在使生产成本最小化为目标的规模化生产上。而到了80年代，随着市场需求变化的加剧，市场竞争越来越激烈，企业开始把更多的目光聚焦在产品质量和响应时间上，由此，竞争模式也开始发生变化。80年代末，学术界提出了一种名为“基于时间的竞争（Time-Based Competition）”的新型竞争模式，至此，有关速度的问题越来越受到学术界和企业界的关注。其中，提前期作为有关“基于时间的竞争”中的一个有力武器，也越来越被大家所重视。缩短提前期可以有效降低企业的库存量,减少资金积压,提高对顾客的服务水平并增强企业的竞争能力。在“基于时间的竞争”越来越剧烈的今天，能否有效缩短提前期已成为企业提升竞争能力不可或缺的关键因素。
Liao等[1]基于库存连续检查策略提出了提前期可控的库存模型，在该模型中，只有提前期是决策变量；Ben等[2]又将订货量纳入了决策变量之中，扩充了模型，考虑两者的联合决策问题。本文在前人所做研究的基础上，又新增加了一个决策变量——订货点，即分析提前期、订货量以及订货点三者的联合决策问题，并且，本文也是假设提前期决策权由下游控制，下游完全承担缩短提前期的费用。
二、成本构成分析
1.供应链系统构成
仅考虑由一个供应商和一个零售商构成的单一产品的两层供应链系统，其中供应商负责产品生产，而零售商则负责将产品销售给顾客。已知该产品每年平均需求量为D，供应商生产率为P，且供应商生产率大于年平均需求，即P＞D。零售商以连续检查的方式监控库存水平，当库存量降至再订货点r时，零售商才发出运输请求要求供应商供货，每次供货量为Q单位。供应商每次生产产品数量为mQ单位，分m次运送给零售商，每次运输量为Q单位。在这里，运输Q与运送批次m均为决策变量。进一步假定提前期内需求X服从正态分布，其均值为uL，标准差为?啄■，因此，零售商的再订货r=提前期内平均需求量+安全库存量，即r=uL+k?啄■，其中k为安全因子。且设提前期包括n个相互独立的操作时段，每个操作时段均有一个最短持续时间ai和一个最大持续时间bi。如果用L0=■bj表示零售商的最长提前期，用Li为提前期时间组成成份中1到成份i都在充分赶工下的提前期长度，因此有Li=■aj+■bj=■bj-■(bj-aj)=L0-■(bj-aj)。并且可以通过增加一定的费用来缩短提前期。第i个部分缩短一个单位的时间所需要的费用为ci， ci按非降序排列，即c1?燮c2?燮L?燮cn。若用R(L)表示一次订货中将提前期缩短为所需的赶工成本，因此有R(L)=ci(Li-1-L)+■cj(bj-aj)，L?缀[Li，Li-1]。
2.零售商库存成本
零售商年期望成本由3个部分构成：年订货成本、年持有成本与年赶工成本。
(1)年订货成本。零售商每次订货成本为A，年需求量为D，每次订货量为Q，因此年订货成本为■。
(2)年持有成本。零售商单位商品的年持有成本为■+k?啄■，年平均库存水平为，因此年持有成本为hr(■+k?啄■)。
(3)年赶工成本。在已知提前期L?缀[Li，Li-1]中，每次订货期的赶工成本为R(L)=ci(Li-1-L)+■cj(bj-aj)，由于本文研究的是年赶工成本由零售商完全承担的库存优化问题，因此零售商的年赶工成本为■。
故零售商年总库存成本可表示为Cr(Q,L)=■+hr(■+k?啄■)+■ (1)
3.供应商库存成本
供应商年库存成本包括两部分：备货成本与库存持有成本。
(1)备货成本。供应商每次备货成本为S，年需求量为D，每次生产量为mQ，因此年备货成本为■。
(2)年持有成本。供应商单位商品年持有成本为hs，年平均库存量为■［m(1-■)-1+■］，因此供应商库存持有成本为■［m(1-■)-1+■］hs。
故供应商年总库存成本也可表示为
Cs（Q，m)=■+■［m(1-■)-1+■］hs (2)
三、模型的建立
零售商需要决定最优经济批量Q、最优提前期L，而供应商则需要决定最优送货批次m。此问题可归结为一类Stackelberg主从对策问题，即零售商寻求库存成本最小时的经济批量与提前期，而供应商则通过预测零售商可能做出的选择来寻求最优送货批次。因而，供应商与零售商构成的Stackelberg主从对策模型为:
minCs(Q,m)=■+■［m(1-■)-1+■］hs
s.t. Cr(Q,L)=■+hr(■+k?啄■)+■ (3)
四、模型求解步骤
对式（3）中的Q、L分别求二阶偏导得
■=■[A+R(L)]>0 (4)
■=-■k?啄hrL■<0 (5)
由式（4）和式（5）可知：第一，对于任意给定的经济订货批量Q，Cr(Q,L)为提前期L的凹函数；第二，对于任意给定的提前期L?缀[Li，Li-1]，Cr(Q,L)为经济订货批量Q的凸函数。因此，最优提前期L*必然发生在区间的端点上。 又对式（3）中的Q求偏导可得
■=■[A+R(L)]+■ (6)
令式（6）等于零即可得零售商的最佳经济批量
Q*=■ (7)
对供应商来说，它通过预测零售商的最优经济批量Q*和L*提前期来决定自己的最优分批送货次数m*。由于m为正整数，根据式（2）可知，当m=m*为最优解时，必然同时满足下列不等式。
C■(Q*,m*)?燮C■(Q*,m*+1) (8)C■(Q*,m*)?燮C■(Q*,m*-1) (9)
综合上述分析，可以给出最优解算法：
1.对每个提前期Li(i=0,1,L,n)，通过式（7）计算Qi；
2.对每一组(Li,Qi)，计算出相应的Cr(Li,Qi)，i=0,1,L,n；
3.令Cr(Q*,L*)=■Cr(Li,Qi)，则(Q*,m*)为最优解；
4.将(Q*,L*)代入式（8）和式（9）中求出m的取值范围，设取值范围内存在k个可行解，则第i个可行解设为mi；
5.将mi分别代入式（2）中，令C■(Q*,m*)=■Cs(Qi,mi)，则m*为最优解，在此最优解下供应商的库存总成本为Cs(Q*,m*)。
五、算例分析
假设该供应链系统基本参数为：D=500,A=180，h=18，k=1.65，?啄=6，S=1600,P=2000，hs=16。零售商向供应商订货的提前期由4个部分组成，具体数值如表1所示。
根据模型求解步骤中的最优解算法可得表2：
由表2可知，当零售商提前期L*=12周及经济订货批量Q*=102件时，其年总库存成本达到最小的Cr(12,102)=2447.76元。再将该最优解代(L*,Q*)入式(8)和式(9)中求得供应商交货批次取值范围为12.6?燮m*?燮13.6，即m*=13。当最优解为m*=13时供应商年总库存成本为Cs(102,13)=8151.32元。此时，整个供应链年总库存成本为Csum(12,102,13)=10598.38元。
六、结束语
本文研究的是由1个供应商和1个零售商组成的供应链中提前期和订单量决策问题，考虑由零售商决定提前期并完全承担缩短提前期费用的交货策略，经过模型分析，得出使得供应链总成本最小的最优提前期以及该提前期下的经济订货批量和供应商最优交货批次，并且通过具体算例验证了模型的实用性和有效性。该模型还可进一步推广到由一个供应商和两个零售商所组成的供应链决策问题。
参考文献：
[1] Liao C J,Shyu C H.An analytical determination of lead time with normal demand[J]. International Journal of Operations & Production Management,1991,(09): 72-78.
[2] Ben Daya A M,Raouf A. Inventory models involving lead-time as decision variable[J]. Journal of the Operational Research Society,1994,(05): 579-582.
[3] 李华、李益强、徐国华. 供应链配送中的提前期模型研究[J]. 管理工程学报,2004,(03): 112-114.
[4] L.-Y. Ouyang,K.-S. Wu, C.-H. Ho.Integrated vendor-buyer cooperative models with stochastic demand in controllable lead time[J]. Int. J. Production Economics,2004,(92): 255-266.
[5] 蒋良奎、汪传旭.缩短交货提前期费用共担的供应链决策[J].上海海事大学学报,2008,(02): 48-51.
[6] 刘蕾、唐小我.基于缩短交货期费用分担的供应商交货策略[J].系统工程,2005,(08): 42-45.
[7] H.-C. Chang,L.-Y. Ouyang,K.-S. Wu.Integrated vendor-buyer cooperative inventory models with controllable lead time and ordering cost reduction[J]. European Journal of Operational Research,2006,(02): 48-495.