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一、通过解法发散,扩展思维平面,培养思维能力
所谓解法发散即一题多解,就是针对同一问题,有目的、有条理地从不同角度去观察、分析、思考,从而输出众多的思维信息,达到殊途同归的目的。例如在高三的一节复习课上,让学生求证:arctg+arctg=,大多数同学都是利用类似课本求arctgx+ arctgx=的方法,等学生们做完后,启发他们能否利用构造复数,通过复数积的辅角等于各因子的辅角的和来解答,学生们马上动笔算起来,基础好的很快做出了答案。Z1=6+ ,Z2=7+,则
arctgZ1=arctg,arctgZ2=arctg
所以arctg+arctg
=arctgZ1+arctgZ2=arctg(Z1+Z2)
=arctg(6+)(7+)
=arctg(39+13)=
还能不能构造其他方法呢?学生们经过讨论总结出还可以利用arctgK1+arctgK2=arctg 或利用构造三角形形式利用解析几何两直线夹角公式进行证明,学生们讨论的很热烈,这节课下来,复习了好多内容并且使学生们学会灵活利用学过的知识解决问题,从而也提高了他们的能力。
二、通过逆向发散,交换思维角度,培养创造思维能力
逆向发散是由目标至条件的定向思考的一种思维方式,由于受思维定势的影响,人们求解问题的习惯、思维方式往往是由原因推导结果——顺向思维,而有的问题顺向思维却会事倍功半,这时不妨换个角度,采用执果索因——逆向思维,进行分析求解,或许会收到事倍功半的效果。例如:设抛物线y2=4x的焦点弦,被焦点分为长是m与n的关系。欲求m与n的关系,首先认清m和n是两个焦半径的长,即需求两个焦半径长的关系,直接求无从下手。不妨换个角度,设A、B两点的横坐标分别为x1、x2,由焦半径公式得m=x1+1, n=x1+1,从而得x1=m-1,x2=n-1,下面借助韦达定理寻找x1、x2的关系,当直线AB的斜率存在时,令直线AB的斜率为k,则直线的方程为y=k(x-1),将此方程代入y2=4x中整理得k2x2-(2k2+4)+k2=0,x1x2=1,所以(m-1)(n-1)=1,即m+n=mn,这样,就借助A、B两点横坐标,求出m、n的关系。
三、通过转化发散而化难为易,化复杂为简单,培养学生的思维能力
对某些排列组合问题,当从正面入手情况比较复杂,不易解决的话,可考虑从反面入手,将其等价转化为一个较简单的问题来处理。例如马路上有编号为1,2,3,4,…9的9只路灯,为节约用电,现要求把其中的三只灯关掉,但不能同时关掉相邻的两只或三只,也不能关掉两端的路灯,则满足条件的关灯方式共有多少个。关掉第一支灯的方法有7种,关掉二、三只灯时要分类讨论,情况较为复杂。换一个角度,从反面入手考虑,因每一种关灯的方法惟一对应着一种满足题设条件的亮灯与暗灯排列,于是问题转化为6只亮灯中插入了3只暗灯,任何两只暗灯不相邻,且暗灯不在两端,即就是6只亮灯所形成的5个间隙中选3个插入3只暗灯,其方法有=10种,故满足条件的关灯方法共有10种。
四、通过构造发散,恰当地构造出模型或元素,使问题得到解决,从而提高学生的思维能力
例如:在球面上有四个点P、A、B、C如果PA、PB、PC两两互相垂直,且PA =PB=PC=a那么这个球的面积是多少。根据题目条件直接构建正方体,由正方体的特殊性,巧妙解题,即以PA、PB、PC为相邻三条棱构建正方体,则过P、A、B、C的球为正方体的为外接球,其中半径R满足2R=a,从而球面积为4πR2=3πa2。另外根据不同的题目可以构建不同的数学模型,突出研究对象的本质因素,忽略其非本质因素,把思维的起点选择在模型的建立上。从而使问题化繁为简,化难为易。
五、通过迁移发散,巧用公式定理解决问题,从而提高学生的思维能力
比如讲二项式定理时,遇到这样一道题:若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,求(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值,很多同学都是将(2x+ )4展开,然后由对应项系数相等求出a0、a1、a2、a3、a4在代入上式,这样做比较麻烦。若启发学生们从结论入手(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4)=(2+)4(-2+)4=1,这样即复习了二项式定理的内容又复习了平方差公式,提高了速度,从而培养了学生的兴趣。
当然,发散思维的方法还有许多种,只要教师在平时的教学中坚持运用这种思维方式,就能培养学生的兴趣,提高学生的能力,从而培养出高素质的人才。
(作者单位:718600陕西省定边县第五中学)
所谓解法发散即一题多解,就是针对同一问题,有目的、有条理地从不同角度去观察、分析、思考,从而输出众多的思维信息,达到殊途同归的目的。例如在高三的一节复习课上,让学生求证:arctg+arctg=,大多数同学都是利用类似课本求arctgx+ arctgx=的方法,等学生们做完后,启发他们能否利用构造复数,通过复数积的辅角等于各因子的辅角的和来解答,学生们马上动笔算起来,基础好的很快做出了答案。Z1=6+ ,Z2=7+,则
arctgZ1=arctg,arctgZ2=arctg
所以arctg+arctg
=arctgZ1+arctgZ2=arctg(Z1+Z2)
=arctg(6+)(7+)
=arctg(39+13)=
还能不能构造其他方法呢?学生们经过讨论总结出还可以利用arctgK1+arctgK2=arctg 或利用构造三角形形式利用解析几何两直线夹角公式进行证明,学生们讨论的很热烈,这节课下来,复习了好多内容并且使学生们学会灵活利用学过的知识解决问题,从而也提高了他们的能力。
二、通过逆向发散,交换思维角度,培养创造思维能力
逆向发散是由目标至条件的定向思考的一种思维方式,由于受思维定势的影响,人们求解问题的习惯、思维方式往往是由原因推导结果——顺向思维,而有的问题顺向思维却会事倍功半,这时不妨换个角度,采用执果索因——逆向思维,进行分析求解,或许会收到事倍功半的效果。例如:设抛物线y2=4x的焦点弦,被焦点分为长是m与n的关系。欲求m与n的关系,首先认清m和n是两个焦半径的长,即需求两个焦半径长的关系,直接求无从下手。不妨换个角度,设A、B两点的横坐标分别为x1、x2,由焦半径公式得m=x1+1, n=x1+1,从而得x1=m-1,x2=n-1,下面借助韦达定理寻找x1、x2的关系,当直线AB的斜率存在时,令直线AB的斜率为k,则直线的方程为y=k(x-1),将此方程代入y2=4x中整理得k2x2-(2k2+4)+k2=0,x1x2=1,所以(m-1)(n-1)=1,即m+n=mn,这样,就借助A、B两点横坐标,求出m、n的关系。
三、通过转化发散而化难为易,化复杂为简单,培养学生的思维能力
对某些排列组合问题,当从正面入手情况比较复杂,不易解决的话,可考虑从反面入手,将其等价转化为一个较简单的问题来处理。例如马路上有编号为1,2,3,4,…9的9只路灯,为节约用电,现要求把其中的三只灯关掉,但不能同时关掉相邻的两只或三只,也不能关掉两端的路灯,则满足条件的关灯方式共有多少个。关掉第一支灯的方法有7种,关掉二、三只灯时要分类讨论,情况较为复杂。换一个角度,从反面入手考虑,因每一种关灯的方法惟一对应着一种满足题设条件的亮灯与暗灯排列,于是问题转化为6只亮灯中插入了3只暗灯,任何两只暗灯不相邻,且暗灯不在两端,即就是6只亮灯所形成的5个间隙中选3个插入3只暗灯,其方法有=10种,故满足条件的关灯方法共有10种。
四、通过构造发散,恰当地构造出模型或元素,使问题得到解决,从而提高学生的思维能力
例如:在球面上有四个点P、A、B、C如果PA、PB、PC两两互相垂直,且PA =PB=PC=a那么这个球的面积是多少。根据题目条件直接构建正方体,由正方体的特殊性,巧妙解题,即以PA、PB、PC为相邻三条棱构建正方体,则过P、A、B、C的球为正方体的为外接球,其中半径R满足2R=a,从而球面积为4πR2=3πa2。另外根据不同的题目可以构建不同的数学模型,突出研究对象的本质因素,忽略其非本质因素,把思维的起点选择在模型的建立上。从而使问题化繁为简,化难为易。
五、通过迁移发散,巧用公式定理解决问题,从而提高学生的思维能力
比如讲二项式定理时,遇到这样一道题:若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,求(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值,很多同学都是将(2x+ )4展开,然后由对应项系数相等求出a0、a1、a2、a3、a4在代入上式,这样做比较麻烦。若启发学生们从结论入手(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4)=(2+)4(-2+)4=1,这样即复习了二项式定理的内容又复习了平方差公式,提高了速度,从而培养了学生的兴趣。
当然,发散思维的方法还有许多种,只要教师在平时的教学中坚持运用这种思维方式,就能培养学生的兴趣,提高学生的能力,从而培养出高素质的人才。
(作者单位:718600陕西省定边县第五中学)