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临近中考,对如何提高复习效率,大家都十分关注,希望老师能“支几招”,然而Z老师并没有正面回答,而是请同学先看题.
例1(2007年山西省中考试题)如图①,直线l是一条河,P、Q两地相距8千米,P、Q两地到l的距离分别为2千米、5千米,欲在l上的某点M处修建一个水泵站,向P、Q两地供水.现有如下四种铺设方案,则铺设的管道最短的是().
大家不约而同地选B.H同学说:对这种最小值问题,我的印象太深刻了.
Z老师笑了笑,说:我看到这个问题时,第一反映也和大家一样,但我不禁自问,真的这么简单吗?除了B,我们还可能选择A.
对于A,MP+PQ=2+8=10.如图②过Q作QN⊥l于N,过P作PS⊥QN于S.在Rt△QPS中,QS=QN-PM=5-2=3,PQ=8,PS===MN.
对于B,由于P、P′关于l对称,MP+MQ=P′Q.如图③,过Q作l的垂线,过P′作l的平行线,相交于K,则QK=5+2=7,P′K=,所以P′Q==>10,这说明本题正确的选择是A.
H同学说:为什么我们熟知的最值结论在这里出了问题?究竟错在哪里呢?
Z老师反问:直线l外有A、B两点,在l上找一点M,使MA+MB的值为最小,M如何找?
小清说:(1)如果A、B在l的两侧,如图④,因为两点间,连接这两点的线段最短,所以连接AB,线段AB与l的交点就是M,MA+MB的最小值就是AB的长.
(2)如果A、B在l的同侧,如图⑤,考虑B(或A)关于l的对称点B′(或A′).由于l是BB′的垂直平分线,l上的任一点到B、B′的距离相等,因此在l上找一点M,使MA+MB的值为最小,就转化为在l上找一点M,使MA+MB′的值为最小,由(1)知就是AB′与l的交点.
Z老师说:小清分析得很好,请注意,这里最小值的含义是l上的某一点到A、B两点距离之和的最小值.
H同学恍然大悟,说:水泵站向P、Q供水并不一定是向P、Q分别供水,也可以是水泵站经P向Q供水.是否经P向Q供水的路程一定比分别供水短呢?
Z老师说:你的问题提得很好,例2会给你答复.
例2(2008年河北省中考试题)在一平直河岸 l同侧有A、B两个村庄,A、B到l的距离分别是3km和2km,AB=akm(a>1),现计划在河岸l上建一抽水站P,用输水管向两个村庄供水.
方案设计:某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案:图⑥是方案一的示意图.设该方案中管道长度为d1,且d1=PB+BA(其中BP⊥l于点P);图⑦是方案二的示意图,设该方案中管道长度为d2,且d2=PA+PB(其中点A′与点A关于l 对称,A′B与l交于点P).
观察计算:(1)在方案一中,d1=km(用含a的式子表示).(2)方案二中,组长小宇为了计算d2的长,作了如图⑧所示的辅助线,请你按小宇同学的思路计算d2=km(用含a的式子表示).
探索归纳:(1)①当a=4时,比较大小:d1d2(填“>”、“=”或“<”);②当a=6时,比较大小:d1d2(填“>”、“=”或“<”).
(2)请你参考下边方框中的方法指导,就a(a>1)的所有取值情况进行分析,要使铺设的管道长度较短,应选择方案一,还是方案二?
方法指导
当不易直接比较两个正数m与n的大小时,可以对它们的平方进行比较:
∵m2-n2=(m+n)(m-n),m+n>0,
∴(m2-n2)与(m-n)的符号相同.
当m2-n2>0时,m-n>0,即m>n;
当m2-n2=0时,m-n=0,即m=n;
当m2-n2<0时,m-n<0,即m 由于题目设计的梯度性,加上例1的启示,H同学很快解得:当a>5时,选方案二;当1 Z老师说: 求直线上的一点到直线外两定点距离之和的最小值是一个重要的极值问题,它与轴对称的知识紧密联系,在中考、竞赛中经常出现.所以我们要认真总结这类题的解题方法和解答中易出现的错误.
在复习中,肯定要接触很多题,产生错误是难免的,它恰恰暴露了你在知识掌握中的问题.对待出现的错误,尤其是对一些重要知识点、重要题型理解的偏差,该怎么办?
H同学说:我想要把错误记录下来,在理解的基础上,把问题解决,不留隐患;其次,还要认真分析错误的原因,包括直接的和深层次的.例如对例1,我出错的直接原因是对有关的最值结论理解不透,深层次的原因是只记住结论,忽视了命题成立的前提条件,在今后学习中要吸取教训.
小清说:对出现的新情况,如有可能作一些探究,对知识的深化是十分有益的,例2就是一个很好的例证.同时通过实际运用,能加深对重要结论的理解.
Z老师说:大家说得很对.以一个做错的题为载体,将自己一系列的探求记录下来,做成卡片,不断充实,就能形成从一个重要知识点衍生的知识链.这就是我向大家推荐的一种复习方法.做错题并不可怕,关键是你应该正确面对错误,使坏事变为好事.正如一句谚语所说:当你被失败拥抱的时刻,成功也可能在亲吻你.
例1(2007年山西省中考试题)如图①,直线l是一条河,P、Q两地相距8千米,P、Q两地到l的距离分别为2千米、5千米,欲在l上的某点M处修建一个水泵站,向P、Q两地供水.现有如下四种铺设方案,则铺设的管道最短的是().
大家不约而同地选B.H同学说:对这种最小值问题,我的印象太深刻了.
Z老师笑了笑,说:我看到这个问题时,第一反映也和大家一样,但我不禁自问,真的这么简单吗?除了B,我们还可能选择A.
对于A,MP+PQ=2+8=10.如图②过Q作QN⊥l于N,过P作PS⊥QN于S.在Rt△QPS中,QS=QN-PM=5-2=3,PQ=8,PS===MN.
对于B,由于P、P′关于l对称,MP+MQ=P′Q.如图③,过Q作l的垂线,过P′作l的平行线,相交于K,则QK=5+2=7,P′K=,所以P′Q==>10,这说明本题正确的选择是A.
H同学说:为什么我们熟知的最值结论在这里出了问题?究竟错在哪里呢?
Z老师反问:直线l外有A、B两点,在l上找一点M,使MA+MB的值为最小,M如何找?
小清说:(1)如果A、B在l的两侧,如图④,因为两点间,连接这两点的线段最短,所以连接AB,线段AB与l的交点就是M,MA+MB的最小值就是AB的长.
(2)如果A、B在l的同侧,如图⑤,考虑B(或A)关于l的对称点B′(或A′).由于l是BB′的垂直平分线,l上的任一点到B、B′的距离相等,因此在l上找一点M,使MA+MB的值为最小,就转化为在l上找一点M,使MA+MB′的值为最小,由(1)知就是AB′与l的交点.
Z老师说:小清分析得很好,请注意,这里最小值的含义是l上的某一点到A、B两点距离之和的最小值.
H同学恍然大悟,说:水泵站向P、Q供水并不一定是向P、Q分别供水,也可以是水泵站经P向Q供水.是否经P向Q供水的路程一定比分别供水短呢?
Z老师说:你的问题提得很好,例2会给你答复.
例2(2008年河北省中考试题)在一平直河岸 l同侧有A、B两个村庄,A、B到l的距离分别是3km和2km,AB=akm(a>1),现计划在河岸l上建一抽水站P,用输水管向两个村庄供水.
方案设计:某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案:图⑥是方案一的示意图.设该方案中管道长度为d1,且d1=PB+BA(其中BP⊥l于点P);图⑦是方案二的示意图,设该方案中管道长度为d2,且d2=PA+PB(其中点A′与点A关于l 对称,A′B与l交于点P).
观察计算:(1)在方案一中,d1=km(用含a的式子表示).(2)方案二中,组长小宇为了计算d2的长,作了如图⑧所示的辅助线,请你按小宇同学的思路计算d2=km(用含a的式子表示).
探索归纳:(1)①当a=4时,比较大小:d1d2(填“>”、“=”或“<”);②当a=6时,比较大小:d1d2(填“>”、“=”或“<”).
(2)请你参考下边方框中的方法指导,就a(a>1)的所有取值情况进行分析,要使铺设的管道长度较短,应选择方案一,还是方案二?
方法指导
当不易直接比较两个正数m与n的大小时,可以对它们的平方进行比较:
∵m2-n2=(m+n)(m-n),m+n>0,
∴(m2-n2)与(m-n)的符号相同.
当m2-n2>0时,m-n>0,即m>n;
当m2-n2=0时,m-n=0,即m=n;
当m2-n2<0时,m-n<0,即m
在复习中,肯定要接触很多题,产生错误是难免的,它恰恰暴露了你在知识掌握中的问题.对待出现的错误,尤其是对一些重要知识点、重要题型理解的偏差,该怎么办?
H同学说:我想要把错误记录下来,在理解的基础上,把问题解决,不留隐患;其次,还要认真分析错误的原因,包括直接的和深层次的.例如对例1,我出错的直接原因是对有关的最值结论理解不透,深层次的原因是只记住结论,忽视了命题成立的前提条件,在今后学习中要吸取教训.
小清说:对出现的新情况,如有可能作一些探究,对知识的深化是十分有益的,例2就是一个很好的例证.同时通过实际运用,能加深对重要结论的理解.
Z老师说:大家说得很对.以一个做错的题为载体,将自己一系列的探求记录下来,做成卡片,不断充实,就能形成从一个重要知识点衍生的知识链.这就是我向大家推荐的一种复习方法.做错题并不可怕,关键是你应该正确面对错误,使坏事变为好事.正如一句谚语所说:当你被失败拥抱的时刻,成功也可能在亲吻你.