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【设计理念】
本节课的内容是中考复习专题中的折叠问题，通过智慧课堂教学形式，揭示了“借助图形思考和解决问题”的思维过程，阐明了图形运动变化过程中的基本性质，分享了逐步建立并不断发展学生直观想象能力、逻辑推理能力及信息化培养等数学核心素养的实践经验。
一、创设情境，激发兴趣
数学来源于实践，应用于实践。生活中许多实践活动与数学有关。譬如，图形的折叠就蕴含着许多数学知识。这节课我们将以矩形的折叠为例，一起来研究图形的折叠问题。
二、实践探究，合作交流
问题1 已知一个矩形，如图1，把它沿中线对折，如果得到的矩形与原矩形相似，你能求出什么？
师：同学们看自己平板中的题目，这是我们生活中常见的图形，长方形白纸的对折，折叠之后的矩形与原矩形满足相似关系，能求出什么？
（学生小组内讨论、发言。）
师：虽然题目没有告诉我们具体的数据，但是同学们是否能找出各边、角之间的关系？比如折叠后的两个图形是全等形，它们的形状、大小不变。你能求出什么？
（学生继续分组讨论，有的在折纸，有的在平板上演算，有的在记录，也有的在平板上画图，积极思考折叠前后矩形之间的各种关系。）
生1：题目中虽然没有具体的数据，但我们可以根据刚才得到的关系，假设DE=x，AD=y，则DC=2x，由题意可得x：y=y：2x，从而x：y=1：[2]，也就是原矩形的宽与长的比为1：[2]。
生2：我们小组能直接求出长与宽的比例。因为对折后的矩形与原矩形相似，所以我们可以利用相似多边形的面积比等于相似比的平方直接求得DE：AD=1：[2]。
……
【设计意图】教师利用学生已有的知识结构，从简单的中线对折出发，提出问题“你能求出什么”，结论开放，激发学生求知的热情和探索的欲望，同时培养学生读取已知条件信息和识别图像信息的素养，让学生经历将实际问题抽象为数学问题的建模过程。
问题2 如图2，如果把矩形沿EF折叠，四边形ADEF为正方形，矩形EFBC与原矩形相似，那么原矩形的长与宽的比又是多少呢？
（学生分组讨论，拿出准备好的矩形纸片按要求折叠，研究折叠后如何使矩形EFBC与原矩形相似，并觀察计算各个线段之间的关系。）
师：我们在平时生活中会将长方形白纸折叠成一个正方形吗？
生（齐）：会，只要点A折叠到DC边上就行了。
师：而要使矩形EFBC与原矩形相似，关键是两个矩形的所有的边对应成比例。怎样去求原矩形的长与宽的比呢？
（经过一番讨论后，大部分学生都能够得到以下结果：设原矩形的长为a，宽为b，则折叠后得到的小矩形长为b，宽为a-b，由两个矩形相似可得[a-bb]=[ba]，化简得a2-ab-b2=0。）
师：这个方程我们暂时无法求出a、b的具体值，但题目中是求原矩形的长与宽的比，也就是 [ab]的值，能否运用整体的思想方法得到呢？
生3：能。方程两边同时除以b2，得[a2b2]-[ab]-1=0，把[ab]看成一个整体，运用换元的思想方法解方程，便可求得[ab]=[5+12]（负值舍去）。
师：说得对，这个比值正好符合黄金分割比例啊！
【设计意图】动手能使课堂更加生动活泼、主动和富有个性。学生凭着动手操作，抓住正方形的性质和两个相似矩形的特征得出方程，并运用换元的思想方法求出相似比，这样就能够更加直观地进行观察、猜测、推理、交流等数学活动。
三、抓住本质，开放探索
问题3 如图3，在矩形ABCD中，如果把矩形沿对角线折叠，你能求出什么？
师：刚才我们是研究最简单的矩形折叠，下面让我们来探讨沿着某直线折叠后构成全等三角形或相似三角形的情形。请看问题3，这是一道开放题，将矩形沿着它的对角线折叠，你能求出什么？
生4：我能求出△DFB为等腰三角形。
师：为什么？
生4：因为矩形沿着对角线折叠之后，∠EBD=∠ABD，由DC[∥]AB，得到∠CDB=∠ABD，从而∠EBD=∠CDB，所以DF=BF，因此△DFB为等腰三角形。
师：很好。还有吗？
生5：我能证明△DEF≌△BCF。
师：嗯，证证看。
生5：将矩形折叠后，得DE=DA=BC，∠E和∠C是对应角，再加上一组对顶角，根据全等三角形的知识能够得到△DEF≌△BCF。
师：很好。还有吗？
生6：那么根据△DEF≌△BCF，能够推出DF=BF，也可以说明△DFB为等腰三角形。
师：非常好。还有吗？
生7：我发现折叠后整个图形中的△ABD与△EBD关于BD成轴对称，△ABD与△CBD成中心对称，因此这3个三角形都是全等三角形。 师：大家说得都很好，思维很活跃。如果我给出矩形的长AB=5，宽AD=3 ，你能求出什么？
生8：在Rt△ABD中，我可以根据勾股定理求得BD=[34]。由刚才两位同学的全等三角形或者等腰三角形结论都能求出CF和BF的长度。设BF= x，则DF=x，CF=5-x，在Rt△BCF中，根据勾股定理列方程计算即可得到。
师：求出线段BF的长度，那么其他线段的长度也就迎刃而解了。因此，同学们在解题过程中要勇于动脑思考，挖掘题目中的隐含条件。
【设计意图】教师引导学生从不同的角度思考问题，培养学生发现图像信息的能力。
四、實践探究，拓展提升
问题4 如图4，已知矩形ABCD中，长AB=5，宽AD=3 ，如果沿BE折叠，使A点落到CD上，你能求出什么？
师：将矩形沿着BE折叠，使A点正好落到CD上，你们能求出什么？
生9：我可以解Rt[△]BCF。
师：好的，说说看。
生9：因为矩形沿着BE折叠后，点A与点F对称，那么△ABE≌△FBE，所以BF=AB=5，在Rt△BCF中，利用勾股定理可求得CF=4。
师：很好，那能不能求出线段DE的长度呢？
生10：由CF=4，我可以继续求出DF=1。设DE=x，则EA=3-x，EF=3-x，在Rt△DEF中，根据勾股定理，得DF2+DE2=EF2，即12+x2=（3-x）2，解得x=[43]，即DE=[43] 。
生11：我可以直接由△DEF∽△CFB，得[DECF]=[DFBC]，即[x4]=[13]，解得x=[43]。
师：大家说得都不错，学数学就得大胆地思考，这样思维才能更加灵活，解题的方法才会不断增多。
生12：老师，我还有一种特殊方法可求AE。
师 （惊喜地）：请讲。
生12：连接AF，由A、F对称很容易证明△AEB∽△DFA，得[AEDF]=[ABAD]，则[AE1]=[53]，解得AE=[53]，所以DE=3-[53]= [43]。
【设计意图】学生在自主学习中，自由地在本组内充分交流，既有了表现的机会，又增强了合作意识。
五、课堂小结，畅谈收获
师：很高兴和大家一起探讨、研究矩形的折叠问题，由最基本的沿着中线折叠，到沿着对角线折叠，再到复杂的有条件限制的折叠，同学们都能够积极思考，通过小组合作的形式掌握矩形折叠的实质和解题的方法。那么通过这节课的学习，大家有哪些收获呢？
生13：我认为矩形折叠后会得到直角三角形，可以运用勾股定理求相应的边长。
生14：矩形折叠后可以得到全等三角形或相似三角形。
生15：有时遇到特殊边、特殊角，还可以运用锐角三角函数的知识去解直角三角形。
生16：我发现在折叠后的图形中，对称点的连线垂直平分折痕。
生17：我认为这节课我们学到了折叠问题中的各种解题方法和技巧。今后，我们不管是遇到四边形的折叠，还是其他图形的折叠，都可以用这些思想方法去解决。
师：同学们说得非常好。这节课我们主要研究矩形折叠中的边角关系，始终抓住“折痕的位置”变化这条主线，对各种形式的折叠进行了探讨。希望同学们在今后的学习中多动手、动口、动脑，就能用我们所学的数学知识解决生活中的许多实际问题。
【教学反思】矩形的折叠，主要是通过折叠图形构造图形的轴对称性来解决问题。由于折叠前后折叠部分图形的形状、大小不变，因此利用轴对称性，可以转化相等的线段、相等的角等关系。本节课笔者通过折叠问题的设置，不断加大问题难度，有梯度地慢慢引入，通过层层引导，达到问题解决的目的。这种设计符合学生的认知水平，调动了学生探索的积极性，让学生经历数学化的过程，体验数学知识间的内在联系，并获得研究问题的方法和经验，较完整地对图形的折叠问题进行了梳理和总结。
初中数学折叠问题不管形式如何变化，解决的关键都在于把握图形折叠后“变”与“不变”的因素。因此，教师在教学时，应注重培养学生提炼基本模型的能力，把握问题本质，进而促进学生数学素养的提升。
（作者单位：江苏省泰州市姜堰区实验初级中学）
本文系江苏省教育科学“十三五”规划2016年度课题“基于‘数字学习’场域建构的初中教学质态研究”（课题编号：C-c/2016/02/77）阶段性研究成果。
本节课的内容是中考复习专题中的折叠问题，通过智慧课堂教学形式，揭示了“借助图形思考和解决问题”的思维过程，阐明了图形运动变化过程中的基本性质，分享了逐步建立并不断发展学生直观想象能力、逻辑推理能力及信息化培养等数学核心素养的实践经验。
一、创设情境，激发兴趣
数学来源于实践，应用于实践。生活中许多实践活动与数学有关。譬如，图形的折叠就蕴含着许多数学知识。这节课我们将以矩形的折叠为例，一起来研究图形的折叠问题。
二、实践探究，合作交流
问题1 已知一个矩形，如图1，把它沿中线对折，如果得到的矩形与原矩形相似，你能求出什么？
师：同学们看自己平板中的题目，这是我们生活中常见的图形，长方形白纸的对折，折叠之后的矩形与原矩形满足相似关系，能求出什么？
（学生小组内讨论、发言。）
师：虽然题目没有告诉我们具体的数据，但是同学们是否能找出各边、角之间的关系？比如折叠后的两个图形是全等形，它们的形状、大小不变。你能求出什么？
（学生继续分组讨论，有的在折纸，有的在平板上演算，有的在记录，也有的在平板上画图，积极思考折叠前后矩形之间的各种关系。）
生1：题目中虽然没有具体的数据，但我们可以根据刚才得到的关系，假设DE=x，AD=y，则DC=2x，由题意可得x：y=y：2x，从而x：y=1：[2]，也就是原矩形的宽与长的比为1：[2]。
生2：我们小组能直接求出长与宽的比例。因为对折后的矩形与原矩形相似，所以我们可以利用相似多边形的面积比等于相似比的平方直接求得DE：AD=1：[2]。
……
【设计意图】教师利用学生已有的知识结构，从简单的中线对折出发，提出问题“你能求出什么”，结论开放，激发学生求知的热情和探索的欲望，同时培养学生读取已知条件信息和识别图像信息的素养，让学生经历将实际问题抽象为数学问题的建模过程。
问题2 如图2，如果把矩形沿EF折叠，四边形ADEF为正方形，矩形EFBC与原矩形相似，那么原矩形的长与宽的比又是多少呢？
（学生分组讨论，拿出准备好的矩形纸片按要求折叠，研究折叠后如何使矩形EFBC与原矩形相似，并觀察计算各个线段之间的关系。）
师：我们在平时生活中会将长方形白纸折叠成一个正方形吗？
生（齐）：会，只要点A折叠到DC边上就行了。
师：而要使矩形EFBC与原矩形相似，关键是两个矩形的所有的边对应成比例。怎样去求原矩形的长与宽的比呢？
（经过一番讨论后，大部分学生都能够得到以下结果：设原矩形的长为a，宽为b，则折叠后得到的小矩形长为b，宽为a-b，由两个矩形相似可得[a-bb]=[ba]，化简得a2-ab-b2=0。）
师：这个方程我们暂时无法求出a、b的具体值，但题目中是求原矩形的长与宽的比，也就是 [ab]的值，能否运用整体的思想方法得到呢？
生3：能。方程两边同时除以b2，得[a2b2]-[ab]-1=0，把[ab]看成一个整体，运用换元的思想方法解方程，便可求得[ab]=[5+12]（负值舍去）。
师：说得对，这个比值正好符合黄金分割比例啊！
【设计意图】动手能使课堂更加生动活泼、主动和富有个性。学生凭着动手操作，抓住正方形的性质和两个相似矩形的特征得出方程，并运用换元的思想方法求出相似比，这样就能够更加直观地进行观察、猜测、推理、交流等数学活动。
三、抓住本质，开放探索
问题3 如图3，在矩形ABCD中，如果把矩形沿对角线折叠，你能求出什么？
师：刚才我们是研究最简单的矩形折叠，下面让我们来探讨沿着某直线折叠后构成全等三角形或相似三角形的情形。请看问题3，这是一道开放题，将矩形沿着它的对角线折叠，你能求出什么？
生4：我能求出△DFB为等腰三角形。
师：为什么？
生4：因为矩形沿着对角线折叠之后，∠EBD=∠ABD，由DC[∥]AB，得到∠CDB=∠ABD，从而∠EBD=∠CDB，所以DF=BF，因此△DFB为等腰三角形。
师：很好。还有吗？
生5：我能证明△DEF≌△BCF。
师：嗯，证证看。
生5：将矩形折叠后，得DE=DA=BC，∠E和∠C是对应角，再加上一组对顶角，根据全等三角形的知识能够得到△DEF≌△BCF。
师：很好。还有吗？
生6：那么根据△DEF≌△BCF，能够推出DF=BF，也可以说明△DFB为等腰三角形。
师：非常好。还有吗？
生7：我发现折叠后整个图形中的△ABD与△EBD关于BD成轴对称，△ABD与△CBD成中心对称，因此这3个三角形都是全等三角形。 师：大家说得都很好，思维很活跃。如果我给出矩形的长AB=5，宽AD=3 ，你能求出什么？
生8：在Rt△ABD中，我可以根据勾股定理求得BD=[34]。由刚才两位同学的全等三角形或者等腰三角形结论都能求出CF和BF的长度。设BF= x，则DF=x，CF=5-x，在Rt△BCF中，根据勾股定理列方程计算即可得到。
师：求出线段BF的长度，那么其他线段的长度也就迎刃而解了。因此，同学们在解题过程中要勇于动脑思考，挖掘题目中的隐含条件。
【设计意图】教师引导学生从不同的角度思考问题，培养学生发现图像信息的能力。
四、實践探究，拓展提升
问题4 如图4，已知矩形ABCD中，长AB=5，宽AD=3 ，如果沿BE折叠，使A点落到CD上，你能求出什么？
师：将矩形沿着BE折叠，使A点正好落到CD上，你们能求出什么？
生9：我可以解Rt[△]BCF。
师：好的，说说看。
生9：因为矩形沿着BE折叠后，点A与点F对称，那么△ABE≌△FBE，所以BF=AB=5，在Rt△BCF中，利用勾股定理可求得CF=4。
师：很好，那能不能求出线段DE的长度呢？
生10：由CF=4，我可以继续求出DF=1。设DE=x，则EA=3-x，EF=3-x，在Rt△DEF中，根据勾股定理，得DF2+DE2=EF2，即12+x2=（3-x）2，解得x=[43]，即DE=[43] 。
生11：我可以直接由△DEF∽△CFB，得[DECF]=[DFBC]，即[x4]=[13]，解得x=[43]。
师：大家说得都不错，学数学就得大胆地思考，这样思维才能更加灵活，解题的方法才会不断增多。
生12：老师，我还有一种特殊方法可求AE。
师 （惊喜地）：请讲。
生12：连接AF，由A、F对称很容易证明△AEB∽△DFA，得[AEDF]=[ABAD]，则[AE1]=[53]，解得AE=[53]，所以DE=3-[53]= [43]。
【设计意图】学生在自主学习中，自由地在本组内充分交流，既有了表现的机会，又增强了合作意识。
五、课堂小结，畅谈收获
师：很高兴和大家一起探讨、研究矩形的折叠问题，由最基本的沿着中线折叠，到沿着对角线折叠，再到复杂的有条件限制的折叠，同学们都能够积极思考，通过小组合作的形式掌握矩形折叠的实质和解题的方法。那么通过这节课的学习，大家有哪些收获呢？
生13：我认为矩形折叠后会得到直角三角形，可以运用勾股定理求相应的边长。
生14：矩形折叠后可以得到全等三角形或相似三角形。
生15：有时遇到特殊边、特殊角，还可以运用锐角三角函数的知识去解直角三角形。
生16：我发现在折叠后的图形中，对称点的连线垂直平分折痕。
生17：我认为这节课我们学到了折叠问题中的各种解题方法和技巧。今后，我们不管是遇到四边形的折叠，还是其他图形的折叠，都可以用这些思想方法去解决。
师：同学们说得非常好。这节课我们主要研究矩形折叠中的边角关系，始终抓住“折痕的位置”变化这条主线，对各种形式的折叠进行了探讨。希望同学们在今后的学习中多动手、动口、动脑，就能用我们所学的数学知识解决生活中的许多实际问题。
【教学反思】矩形的折叠，主要是通过折叠图形构造图形的轴对称性来解决问题。由于折叠前后折叠部分图形的形状、大小不变，因此利用轴对称性，可以转化相等的线段、相等的角等关系。本节课笔者通过折叠问题的设置，不断加大问题难度，有梯度地慢慢引入，通过层层引导，达到问题解决的目的。这种设计符合学生的认知水平，调动了学生探索的积极性，让学生经历数学化的过程，体验数学知识间的内在联系，并获得研究问题的方法和经验，较完整地对图形的折叠问题进行了梳理和总结。
初中数学折叠问题不管形式如何变化，解决的关键都在于把握图形折叠后“变”与“不变”的因素。因此，教师在教学时，应注重培养学生提炼基本模型的能力，把握问题本质，进而促进学生数学素养的提升。
（作者单位：江苏省泰州市姜堰区实验初级中学）
本文系江苏省教育科学“十三五”规划2016年度课题“基于‘数字学习’场域建构的初中教学质态研究”（课题编号：C-c/2016/02/77）阶段性研究成果。