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摘 要：基于工程教育更加重视数学和科学教育的“新工科”理念，系统思考了新时期工程数学课程的教学定位、教学问题和教学策略。从一线教学实践的角度出发，文章指出了工程数学教学的若干问题，即课程应用目标不明确、课程内容艰涩抽象和课时压缩等现实问题。针对上述典型问题，分别提出了目标导向式教学方法、数学软件可视化教学方法、线上和线下课堂混合式教学模式等解决方案。研究结果有助于光电类专业教师更好地开展工程数学等大类基础课程，亦有助于大类基础课程在专业交叉的复合型人才培养中发挥重要作用。
关键词：基础课程;工程数学;教学问题;教学模式;教学策略
中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2021）29-0080-05
Abstract： Based on the "new engineering" concept that engineering education attaches more importance to mathematics and science education， the teaching orientation， teaching problems and teaching strategies of engineering mathematics in the new era are systematically considered. From the perspective of front-line teaching practice， this paper points out practical problems in engineering mathematics teaching， such as unclear application objectives， obscure and abstract contents， and compressed class hours. Aiming at the typical problems mentioned above， this paper puts forward some solutions， such as goal-oriented teaching method， mathematical-software-visualization teaching method， online and offline mixed teaching mode. The results of this study are helpful for the teachers of photoelectric majors to carry out the teaching of engineering mathematics and other basic courses better， and also help the basic courses play an important role in the training of interdisciplinary talents.
Keywords： basic courses; engineering mathematics; teaching problems; teaching modes; teaching strategies
随着新一轮产业升级和科技发展的日益蓬勃，“新工科”肩负着孕育和推动第四次工业革命的使命，逐渐步入国家教育体系改革的战略规划。“新工科”主要是指由新兴产业形成的专业门类，其中以工业智能和互联网为核心，包括人工智能、大數据、虚拟现实、智能科学与技术等相关专业，也包括对传统工科的升级改造[1]。“新工科”的教育目标是培养新兴产业所需要的具有过硬实践能力和创新能力的复合型高级专业人才。然而，所谓的复合型人才绝不是不同专业的简单叠加，而是综合思维能力的复合加成。因此，“新工科”教育改革过程中更加注重夯实基础理论知识和思维训练。麻省理工学院G.Brown教授在关于未来工程教育改革报告中提出了科学主导工程的重要倡议，强调了教学中数学和科学的首要地位，并认为现代工程师应该按照科学家的模式来培养[2]。在“新工科”的背景下，各类工科课程体系都将数学放在了重要地位;以某高校光电专业课程框架构成为例，除了公共课程中开设的微积分、线性代数、概率论之外，课程体系又在大类基础课程中增设了工程数学（主要包括复变函数和积分变换）和数学物理方法。大类基础课程中的数学课程不仅具有公共课程中数学课程的本质特征，而且与专业主干课程有着直接的、千丝万缕的联系。特别是对于新时期工程数学而言，如何将数学、专业课和“新工科”揉为一体自然地成为了教学设计中的重中之重。基于此，本文重新审视工程数学的教学过程，总结了工程数学常见的教学问题，并针对问题提出一系列教学策略和具体方案。
一、工程数学课程特点及教学问题
（一）课程特点
1. 工程数学知识与专业主干课程关联度高
广义的工程数学包括线性代数、概率论、微积分、复变函数和积分变换等高等数学内容。针对光电类专业而言，狭义的工程数学主要特指复变函数和积分变换两大块内容。虽然工程数学属于大类基础课程，但是其与光电类专业的专业课程紧密相连，甚至在关联度上可以上升为专业基础课程的等同地位。换言之，工程数学的数学方法直接关系到光电类专业主干课程中重要工程问题的求解。例如复变函数是表达和求解电磁场和电磁波问题的利器，共形变换是光学超材料等效介电常数求解的基本方法，傅里叶变换和拉普拉斯变换是光学和电学信号处理的重要手段。因此，夯实的工程数学基础是电动力学、电磁场与电磁波、信息光学和电路理论等主干课程顺利开展教学的重要保障。 2. 概念、定律和公式众多，内容抽象计算量大
例如“留数及应用”一章就大约涉及12个定理、6个定义和29道典型例题;在“解析函数级数表示”一章中，将函数在不同的区域内展开为洛朗级数的典型习题就涉及函数部分分式分解、洛朗级数公式系数代入和化简以及大量复数四则混合运算;在“傅里叶和拉普拉斯变换”章节中更是涉及数十个基本概念和基本性质，该密集的知识量不但在理解层面上带来巨大挑战，而且在识记层面也带来不小难度。由此可见，即便是满足“基本识记和会求解典型习题”的基本课程要求也绝非一件轻松的任务，更何况“新工科”的学科发展趋势对工程数学教学提出了更高要求。
（二）教学问题
结合工程数学的课程特点和教学实践情况，目前存在的一般教学问题主要体现在三大方面。
1. 课程工程应用目标不明确
低年级学生暂时没有接触到专业课程内容，因此不能深入理解工科数学的具体应用;复变函数相对于实变函数增加了函数维度，积分变换的概念亦相对抽象，因此难以体会到数学形式下的物理本质;沿用高等数学的一般学习方法，没有明确工程数学的工程价值和实用意义。应用目标缺失导致学生对工程数学的学习兴趣、学习主动性和自觉性也相对不高。
2. 课程内容艰涩抽象
工程数学内容主要包括数学概念定义、公式推导、定理证明和典型例题等，诸如此类内容决定了课程内容的抽象属性。在教学过程中，教师为了保证教学大纲中知识点的全面覆盖，容易忽略数学之工程意义的重点阐述;在授课方法上，教师更加注重教学形式的严谨性，而往往忽略了数学抽象的形象化阐述和可视化展示。
3. 课程群建设不足和学时压缩受限
在课程群的组织方面，数学软件工具（Maple，MATLAB， Mathematica等）的课程不开设，或者是在高年级选修;而电路理论和电动力学等也一般晚于工程数学的开课时间。另外，为了满足专业课的比例，高校在不同程度上压缩了工程数学的学时，例如光电专业的工程数学（共8个章节）总学时约为36学时，那么每章节的平均课时即为4学时。学时受限一方面制约了线下课堂内容的扩展，另一方面也倒逼授课教师合理统筹课堂内外时间，积极开发线上第二课堂。
二、针对“课程应用目标不明确”问题，采用目标问题导向式教学方法，培养卓越工程师思维
目标问题导向教学法有别于常规的问题导向式教学方法。常规的问题导向式教学方法即所谓的“四步法”：第一步，课前学生自主预习，然后提出问题;第二步，课上分组合作研讨，提出本组问题;第三步，汇总各组问题，提炼出共性问题，作为课堂重点讲解对象;第四步，学生归纳整理，仍有个别问题的，进行单独提问。从四步法的一般教学组织过程可以看出，一方面，所提问题均来自学生，这在教学实操中可能导致问题质量不高、问题内容过于发散甚至偏离课程教学目标;另一方面，如果学生的预习不深入、课堂参与度不高，那么基于问题导向式的教学组織将如无源之水。针对这种情况，目标问题导向式教学方法应运而生。目标问题导向式教学方法一般过程是教师根据课程目标，精心开展目标问题设计;学生根据目标问题，开展自主探索;教师根据学生反馈，因势利导，最终完成既定教学目标[3]。
从授课教师和教学实践的层面讲，目标问题设计环节至关重要。根据工程数学的课程特点和光电类学科的专业内容，目标问题可以分为以下若干类型：工程应用型问题、概念公式识记型问题、定理理解型问题和思维能力拓展型问题等。其中，工程应用型问题在明确课程应用目标方面尤为重要。为了让学生明确课程应用目标，并深刻体会工程数学的工程价值，专业教师应该发挥自身专业背景的优势，精心设计工程应用场景，提出难度适中的工程应用问题。由于工程数学课程受众基本为大一阶段新生，其对专业领域知之甚少，因此问题的难度系数不宜过大。难度适中的工程问题，既可以激发学生自主探索的求知欲，又可以引导学生通过自我学习获得极大成就感。另外，在大部分实际情况下，教师可以针对所提工程问题详细地交代背景知识，亦可提供思路予以参考。例如，在复变函数章节授课之初，某教师提出了如下问题：高压输电线可以视为均匀带电的无限长直导线，在垂直导线的所有平面上的电场分布是相同的，因而可以取其中一平面作为代表，当作平面电场来研究。那么，如何用复变函数表示该均匀的平面电场？请尝试阐述该表述方法的优势（提示：电势强度向量可以表示为E=Ex（x，y）i+Ey（x，y）j）。为了解答该问题，学生需要翻阅教材并了解复变函数的概念定义、表示方法，以及电势强度向量的物理意义;同时学生会尝试用两个实变函数来表示同样物理量，并对比理解用一个复变函数对应两个实变函数的简洁之处。再举一例，在讲授拉普拉斯变换章节之前，某教师提出一个电路理论的问题，即给出一个汽车点火系统的RLC瞬态电路，并提供该电路的基尔霍夫电压守恒公式，让学生尝试用常规方法和拉普拉斯变换方法分别求解该汽车点火系统的瞬态电流，思考汽车点火系统的原理;在提示部分，给出了数学软件的拉普拉斯变换程序命令和具体操作流程。该专业问题贴近生活，能够激发学生对专业课的学习兴趣，同时也让学生真切感受到工程数学的实际价值。通过自主探索，学生一方面加深了对RLC瞬态电路的理解，另一方面也熟悉了拉普拉斯变换的数学操作步骤。在尝试解决这些专业问题的时候，学生会调动原有知识储备，并主动学习了解未知知识，从而通过自主探索式研究建立交叉复合的知识网络和对工程数学课程的价值感知。
三、针对“课程内容艰涩抽象”的问题，采用数学软件可视化解决方案，培养计算机编程能力
数学是抽象科学，工程数学也不例外。如何将枯燥的数字和符号变得生动形象呢？图形可视化是一种行之有效的方法。幸运的是，现有的数学软件具有强大的数据可视化功能，而且编程语言相对简单，能够通过短期乃至数小时的培训实现快速上机操作。著名的数学软件有擅长数值运算的MATLAB、精于符号运算的Mathematica和Maple等，这些软件不仅能绘制各类图表，而且能够方便地编制交互式GUI界面。功能强大的数学软件不但为工程数学的教学开展提供了有力的计算机辅助工具，也潜移默化地培养了学生的计算机编程能力、空间想象能力和创新实践能力[4]。 （一）数学软件可视化的内容
1. 复变函数的可视化
复变函数比较抽象，其与实变函数的图像相去甚远，因此学生经常无法在脑海里直接建立几何图像。但是，借助数学软件可以方便地获得各类复变函数（包括指数函数、幂函数、对数函数、三角函数、双曲函数等）的三维空间图形，而且可以通过实时旋转观察到不同角度的图形信息。另外，数学软件可以方便地进行复数运算、复数各种形式（例如三角形式、极坐标形式等）转换和典型等式证明，也可以方便地获得泰勒级数和洛朗级数等级数展开。
2. 共形映射的可视化
共形映射具有明确的几何意义，涉及几何图形在映射函数的作用下完成从一个空间到另一个空间之间的变换，但是转换过程非常抽象。借助于数学软件，特别是以符号运算见长的Mathematica软件，能够精确图形化每个映射操作过程，从而增加对映射操作的感性认识。
3. 傅里叶变换和拉普拉斯变换的可视化
这两种数学变换能够将微分方程转换为代数方程，从而极大地降低了工程计算难度，因此在光电子和信号处理技术中应用极其广泛。虽然两种变换的人工操作还是有一定难度和计算量，但是这些操作在数学软件里极其方便，仅仅需要调用一下内置的专用命令，即可完成傅里叶变换、拉普拉斯变换及其逆变换。通过对比变换前后的函数图像，可以更加深刻地理解两种变换的特殊功能、使用范围和物理意义。另外，计算机高超的运算能力特别适合繁杂重复的运算操作，从而使学生摆脱繁缛的计算细节，拨开数学运算之迷雾看清物理本质之太阳。
（二）数学软件可视化的实现
1. 课程建设方面
教务和教研组重新认识数学软件对于工程数学的重要意义，增加必要的数学软件课程和上机操作实验，并合理安排课程的时间节点以确保其与工程数学良好衔接。
2. 软件版权作为一类重要的知识产权，在当前社会日益受到关注和重视
特别是2020年，美国的Math Works公司针对包括哈工大在内的13所中国高校中止MATLAB软件授权，从而在各界引起了重大反响。然而，国产的数学软件几乎空白。因此，高校一方面可以暂时购置国外版权，另一方面也可以鼓励使用开源的数学软件（例如Sage，R语言等）。
3. 学生方面
现在的网络学习资源非常丰富，除了帮助文件、电子教程、专业论坛之外，网络上还有大量的视频教程。这些丰富便利的学习资料为学生自学提供了良好的外部条件，因此学生应该充分发挥学习自觉性，合理安排自学计划，按部就班地储备数学软件基本技能。
4. 教师方面
在授课之初，明确提出课程目标和要求，强调数学软件的重要性，让学生充分意识到数学软件在工程数学教学中的积极作用。根据实际情况，确定好数学软件版本并提供良好的软件学习资源，和学生一起制定学习计划，充分发挥教师的引导和監督作用，并适时地提供软件代码、编程指导和案例教学。
（三）数学软件可视化的益处
1. 有利于加强学生的计算机编程能力
以人工智能和互联网为代表的“新工科”要求未来的工程师具有强大的编程能力，而且目前编程教育朝着人人会编程的目标大力普及发展。那么对现代大学生而言，编程能力无疑已成为了最重要的基本素质之一。数学软件可视化是通过程序语言将数学可视化的过程，涉及程序语言掌握、逻辑思维编译和人机交互体验等方面。程序编写的本质是逻辑思维的组织，虽然不同的数学软件具有不同形式的程序语言，但是它们在逻辑框架上却有相通之处。因此，程序员在精通一门数学程序语言之后，可以将逻辑经验快速迁移到另一门程序语言的学习之中。同样，学生在工程数学教学过程中习得的编程经验能够为其在人工智能等方面的编程打好坚实基础，也为其未来学科交叉和专业融合做好充分准备。
2. 有利于增强学生的学习兴趣和创新思维能力
数学软件可视化能够将枯燥的抽象化概念转化为生动的形象化图形，因此能够激发学生浓厚的学习兴趣和旺盛的求知欲望。在实现此转化过程中，学生可以通过自主探索选择不同路径和不同形式的可视化实现，从而有利于创新思维能力的培养。
3. 有利于培养学生动手实践能力
数学软件可视化实质上是一种数学实验，它能够通过数学软件的编程实践高效验证数学概念和定理的正确性，从而将数学理论的学习和数学实验的开展有机结合起来。强化操作实践能力是工科教育有别于理科教育的侧重点所在，通过数学编程和程序编译，学生的动手实践能力得到进一步强化，而工科教育的目标亦得以完美体现。
四、针对“课程群建设不足和学时压缩”的问题，采用线上和线下课堂混合教学模式，培养高素质复合型“新工科”人才
（一）线上网络教学的定位
1. 线上网络教学无法完全替代线下教学
近年来，网络教学风靡全球，各种网课平台如雨后春笋般不计其数。特别是新冠肺炎疫情暴发后的一段时期，网络教学在短期内甚至替代了线下教学。但是，实践表明，线上教学亦存在自身的弊端，在课堂组织、沟通方式和互动效果等方面都无法与线下课堂教学同日而语。这也正是为什么各国在疫情稍微缓解之后，都努力地陆续恢复线下课堂教学。毋庸置疑，线下教学相比于线上教学更加富有纪律性、组织性、互动性和高效性。通过疫情期间高校的教学实践，我们深刻认识到学生的惰性、师生所处周围环境、网络质量、电脑硬件等诸多环节都可能阻碍教学活动顺利进行，从而使得教学质量随时面临挑战，教学总体效果也不同程度地大打折扣。
2. 线上网络教学是线下课堂教学的有益补充
尽管线上教学无法完全替代线下教学，但是线上教学具有良好的灵活机动性，可以使线下教学在时间和空间上得到拓展，从而能够积极地解决线下教学课时不足和教室资源紧张的现实问题。因为课时总量是有限的，所以不可能每门课都安排得足够充裕。另一方面，由于教室资源有限，固定时间的教室也会给教务排课增加压力。因此，借助互联网技术开辟线下第二课堂是解决上述现实问题的不二选择。 （二）线上和线下教学的有机结合
1. 课前通过线上教学助力学生预习和探索
线上教学内容不同于线下，有着自身发展的特点和一般规律。首先，线上教学内容和线下不宜重复，否则会导致教学资源浪费。第二，线上教学内容不宜冗长晦涩，一方面是因为生动形象的教学内容才能真正调动学生学习的积极性，另一方面是冗长的自学内容会让课外时间紧张的大学新生望而却步。第三，线上教学内容不宜有教无评。教师的批阅能够引起学生高度重视，从而有效地督促学生保质保量地参与其中。同时，批阅评语能够纠正错误、答疑解惑，以确保教学沿着正确的轨道开展。根据上述分析，工程数学的线上教学内容可以大致包括：目标问题作业、重要概念和定理、数学软件使用、专业课程应用。
2. 课中通过线下教学完成重点学习和答疑
线上教学主要起到引导和铺垫的作用，而线下课堂学习才是教学活动的重心所在。教师在线上教学系统里获得了大量教学反馈，并据此精准把握课堂教学的侧重点，继而合理设计课堂教案。已在课前预习过的基本概念和定理在课堂上就不需要再花费太多时间讲，仅仅梳理和复习即可;而课前预习尚未解决的疑难知识点则需要重点展开，以便详略得当、高效地利用宝贵的课堂时间。
3. 课后通过线上教学保障学生复习和拓展
对于工程数学课程而言，习题练习是熟练掌握基本概念和定理的最佳途径。因此，课后习题的练习、批阅和答疑是必不可少的环节，而该环节最适合通过线上互动完成。这样既不占用课堂时间，又保障了课后习题的闭环教学管理。线上和线下混合式教学一方面充分利用了线下教学的高度组织性，另一方面也充分发挥了线上教学的灵活机动性。线上和线下教学的有机结合不仅有效地缓解了课堂时间和空间的压力，而且大大增加了教学的广度、深度和自由度[5]。
五、结束语
在“新工科”的内涵和理念引导下，工程数学在工程教育中的重要地位日益凸显，同时在深化教学改革中也面临新的机遇和挑战。以能力培养为导向的工程数学教学应当紧跟智能时代的步伐，抓住机遇迎接挑战，因地制宜地改革教学模式，寓数学于工程，为新兴产业培养实践能力强、创新后劲足的专业交叉型人才。
参考文献：
[1]杨威，高淑萍，陈怀琛，等.新工科背景下线性代数教学改革与探索——以国家精品在线开放课程《实用大众线性代数》为例[J].高教学刊，2020（5）：8-12.
[2]熊海燕.新工科背景下工科院校通识教育课程体系构建[D].杭州：浙江工业大学，2020.
[3]秦大偉，罗天雨.目标问题导向式在线教学模式探析[J].广东化工，2021，48（2）：242-243.
[4]孙淑兰，陈琳珏，宋丽艳.数学软件Mathematica在工程数学教学中的应用[J].企业技术开发，2009，28（12）：178.
[5]周翔，张廷萍.程序设计基础类课程“线上+线下”混合式教学模式实践[J].计算机教育，2021（8）：138-141.
关键词：基础课程;工程数学;教学问题;教学模式;教学策略
中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2021）29-0080-05
Abstract： Based on the "new engineering" concept that engineering education attaches more importance to mathematics and science education， the teaching orientation， teaching problems and teaching strategies of engineering mathematics in the new era are systematically considered. From the perspective of front-line teaching practice， this paper points out practical problems in engineering mathematics teaching， such as unclear application objectives， obscure and abstract contents， and compressed class hours. Aiming at the typical problems mentioned above， this paper puts forward some solutions， such as goal-oriented teaching method， mathematical-software-visualization teaching method， online and offline mixed teaching mode. The results of this study are helpful for the teachers of photoelectric majors to carry out the teaching of engineering mathematics and other basic courses better， and also help the basic courses play an important role in the training of interdisciplinary talents.
Keywords： basic courses; engineering mathematics; teaching problems; teaching modes; teaching strategies
随着新一轮产业升级和科技发展的日益蓬勃，“新工科”肩负着孕育和推动第四次工业革命的使命，逐渐步入国家教育体系改革的战略规划。“新工科”主要是指由新兴产业形成的专业门类，其中以工业智能和互联网为核心，包括人工智能、大數据、虚拟现实、智能科学与技术等相关专业，也包括对传统工科的升级改造[1]。“新工科”的教育目标是培养新兴产业所需要的具有过硬实践能力和创新能力的复合型高级专业人才。然而，所谓的复合型人才绝不是不同专业的简单叠加，而是综合思维能力的复合加成。因此，“新工科”教育改革过程中更加注重夯实基础理论知识和思维训练。麻省理工学院G.Brown教授在关于未来工程教育改革报告中提出了科学主导工程的重要倡议，强调了教学中数学和科学的首要地位，并认为现代工程师应该按照科学家的模式来培养[2]。在“新工科”的背景下，各类工科课程体系都将数学放在了重要地位;以某高校光电专业课程框架构成为例，除了公共课程中开设的微积分、线性代数、概率论之外，课程体系又在大类基础课程中增设了工程数学（主要包括复变函数和积分变换）和数学物理方法。大类基础课程中的数学课程不仅具有公共课程中数学课程的本质特征，而且与专业主干课程有着直接的、千丝万缕的联系。特别是对于新时期工程数学而言，如何将数学、专业课和“新工科”揉为一体自然地成为了教学设计中的重中之重。基于此，本文重新审视工程数学的教学过程，总结了工程数学常见的教学问题，并针对问题提出一系列教学策略和具体方案。
一、工程数学课程特点及教学问题
（一）课程特点
1. 工程数学知识与专业主干课程关联度高
广义的工程数学包括线性代数、概率论、微积分、复变函数和积分变换等高等数学内容。针对光电类专业而言，狭义的工程数学主要特指复变函数和积分变换两大块内容。虽然工程数学属于大类基础课程，但是其与光电类专业的专业课程紧密相连，甚至在关联度上可以上升为专业基础课程的等同地位。换言之，工程数学的数学方法直接关系到光电类专业主干课程中重要工程问题的求解。例如复变函数是表达和求解电磁场和电磁波问题的利器，共形变换是光学超材料等效介电常数求解的基本方法，傅里叶变换和拉普拉斯变换是光学和电学信号处理的重要手段。因此，夯实的工程数学基础是电动力学、电磁场与电磁波、信息光学和电路理论等主干课程顺利开展教学的重要保障。 2. 概念、定律和公式众多，内容抽象计算量大
例如“留数及应用”一章就大约涉及12个定理、6个定义和29道典型例题;在“解析函数级数表示”一章中，将函数在不同的区域内展开为洛朗级数的典型习题就涉及函数部分分式分解、洛朗级数公式系数代入和化简以及大量复数四则混合运算;在“傅里叶和拉普拉斯变换”章节中更是涉及数十个基本概念和基本性质，该密集的知识量不但在理解层面上带来巨大挑战，而且在识记层面也带来不小难度。由此可见，即便是满足“基本识记和会求解典型习题”的基本课程要求也绝非一件轻松的任务，更何况“新工科”的学科发展趋势对工程数学教学提出了更高要求。
（二）教学问题
结合工程数学的课程特点和教学实践情况，目前存在的一般教学问题主要体现在三大方面。
1. 课程工程应用目标不明确
低年级学生暂时没有接触到专业课程内容，因此不能深入理解工科数学的具体应用;复变函数相对于实变函数增加了函数维度，积分变换的概念亦相对抽象，因此难以体会到数学形式下的物理本质;沿用高等数学的一般学习方法，没有明确工程数学的工程价值和实用意义。应用目标缺失导致学生对工程数学的学习兴趣、学习主动性和自觉性也相对不高。
2. 课程内容艰涩抽象
工程数学内容主要包括数学概念定义、公式推导、定理证明和典型例题等，诸如此类内容决定了课程内容的抽象属性。在教学过程中，教师为了保证教学大纲中知识点的全面覆盖，容易忽略数学之工程意义的重点阐述;在授课方法上，教师更加注重教学形式的严谨性，而往往忽略了数学抽象的形象化阐述和可视化展示。
3. 课程群建设不足和学时压缩受限
在课程群的组织方面，数学软件工具（Maple，MATLAB， Mathematica等）的课程不开设，或者是在高年级选修;而电路理论和电动力学等也一般晚于工程数学的开课时间。另外，为了满足专业课的比例，高校在不同程度上压缩了工程数学的学时，例如光电专业的工程数学（共8个章节）总学时约为36学时，那么每章节的平均课时即为4学时。学时受限一方面制约了线下课堂内容的扩展，另一方面也倒逼授课教师合理统筹课堂内外时间，积极开发线上第二课堂。
二、针对“课程应用目标不明确”问题，采用目标问题导向式教学方法，培养卓越工程师思维
目标问题导向教学法有别于常规的问题导向式教学方法。常规的问题导向式教学方法即所谓的“四步法”：第一步，课前学生自主预习，然后提出问题;第二步，课上分组合作研讨，提出本组问题;第三步，汇总各组问题，提炼出共性问题，作为课堂重点讲解对象;第四步，学生归纳整理，仍有个别问题的，进行单独提问。从四步法的一般教学组织过程可以看出，一方面，所提问题均来自学生，这在教学实操中可能导致问题质量不高、问题内容过于发散甚至偏离课程教学目标;另一方面，如果学生的预习不深入、课堂参与度不高，那么基于问题导向式的教学组織将如无源之水。针对这种情况，目标问题导向式教学方法应运而生。目标问题导向式教学方法一般过程是教师根据课程目标，精心开展目标问题设计;学生根据目标问题，开展自主探索;教师根据学生反馈，因势利导，最终完成既定教学目标[3]。
从授课教师和教学实践的层面讲，目标问题设计环节至关重要。根据工程数学的课程特点和光电类学科的专业内容，目标问题可以分为以下若干类型：工程应用型问题、概念公式识记型问题、定理理解型问题和思维能力拓展型问题等。其中，工程应用型问题在明确课程应用目标方面尤为重要。为了让学生明确课程应用目标，并深刻体会工程数学的工程价值，专业教师应该发挥自身专业背景的优势，精心设计工程应用场景，提出难度适中的工程应用问题。由于工程数学课程受众基本为大一阶段新生，其对专业领域知之甚少，因此问题的难度系数不宜过大。难度适中的工程问题，既可以激发学生自主探索的求知欲，又可以引导学生通过自我学习获得极大成就感。另外，在大部分实际情况下，教师可以针对所提工程问题详细地交代背景知识，亦可提供思路予以参考。例如，在复变函数章节授课之初，某教师提出了如下问题：高压输电线可以视为均匀带电的无限长直导线，在垂直导线的所有平面上的电场分布是相同的，因而可以取其中一平面作为代表，当作平面电场来研究。那么，如何用复变函数表示该均匀的平面电场？请尝试阐述该表述方法的优势（提示：电势强度向量可以表示为E=Ex（x，y）i+Ey（x，y）j）。为了解答该问题，学生需要翻阅教材并了解复变函数的概念定义、表示方法，以及电势强度向量的物理意义;同时学生会尝试用两个实变函数来表示同样物理量，并对比理解用一个复变函数对应两个实变函数的简洁之处。再举一例，在讲授拉普拉斯变换章节之前，某教师提出一个电路理论的问题，即给出一个汽车点火系统的RLC瞬态电路，并提供该电路的基尔霍夫电压守恒公式，让学生尝试用常规方法和拉普拉斯变换方法分别求解该汽车点火系统的瞬态电流，思考汽车点火系统的原理;在提示部分，给出了数学软件的拉普拉斯变换程序命令和具体操作流程。该专业问题贴近生活，能够激发学生对专业课的学习兴趣，同时也让学生真切感受到工程数学的实际价值。通过自主探索，学生一方面加深了对RLC瞬态电路的理解，另一方面也熟悉了拉普拉斯变换的数学操作步骤。在尝试解决这些专业问题的时候，学生会调动原有知识储备，并主动学习了解未知知识，从而通过自主探索式研究建立交叉复合的知识网络和对工程数学课程的价值感知。
三、针对“课程内容艰涩抽象”的问题，采用数学软件可视化解决方案，培养计算机编程能力
数学是抽象科学，工程数学也不例外。如何将枯燥的数字和符号变得生动形象呢？图形可视化是一种行之有效的方法。幸运的是，现有的数学软件具有强大的数据可视化功能，而且编程语言相对简单，能够通过短期乃至数小时的培训实现快速上机操作。著名的数学软件有擅长数值运算的MATLAB、精于符号运算的Mathematica和Maple等，这些软件不仅能绘制各类图表，而且能够方便地编制交互式GUI界面。功能强大的数学软件不但为工程数学的教学开展提供了有力的计算机辅助工具，也潜移默化地培养了学生的计算机编程能力、空间想象能力和创新实践能力[4]。 （一）数学软件可视化的内容
1. 复变函数的可视化
复变函数比较抽象，其与实变函数的图像相去甚远，因此学生经常无法在脑海里直接建立几何图像。但是，借助数学软件可以方便地获得各类复变函数（包括指数函数、幂函数、对数函数、三角函数、双曲函数等）的三维空间图形，而且可以通过实时旋转观察到不同角度的图形信息。另外，数学软件可以方便地进行复数运算、复数各种形式（例如三角形式、极坐标形式等）转换和典型等式证明，也可以方便地获得泰勒级数和洛朗级数等级数展开。
2. 共形映射的可视化
共形映射具有明确的几何意义，涉及几何图形在映射函数的作用下完成从一个空间到另一个空间之间的变换，但是转换过程非常抽象。借助于数学软件，特别是以符号运算见长的Mathematica软件，能够精确图形化每个映射操作过程，从而增加对映射操作的感性认识。
3. 傅里叶变换和拉普拉斯变换的可视化
这两种数学变换能够将微分方程转换为代数方程，从而极大地降低了工程计算难度，因此在光电子和信号处理技术中应用极其广泛。虽然两种变换的人工操作还是有一定难度和计算量，但是这些操作在数学软件里极其方便，仅仅需要调用一下内置的专用命令，即可完成傅里叶变换、拉普拉斯变换及其逆变换。通过对比变换前后的函数图像，可以更加深刻地理解两种变换的特殊功能、使用范围和物理意义。另外，计算机高超的运算能力特别适合繁杂重复的运算操作，从而使学生摆脱繁缛的计算细节，拨开数学运算之迷雾看清物理本质之太阳。
（二）数学软件可视化的实现
1. 课程建设方面
教务和教研组重新认识数学软件对于工程数学的重要意义，增加必要的数学软件课程和上机操作实验，并合理安排课程的时间节点以确保其与工程数学良好衔接。
2. 软件版权作为一类重要的知识产权，在当前社会日益受到关注和重视
特别是2020年，美国的Math Works公司针对包括哈工大在内的13所中国高校中止MATLAB软件授权，从而在各界引起了重大反响。然而，国产的数学软件几乎空白。因此，高校一方面可以暂时购置国外版权，另一方面也可以鼓励使用开源的数学软件（例如Sage，R语言等）。
3. 学生方面
现在的网络学习资源非常丰富，除了帮助文件、电子教程、专业论坛之外，网络上还有大量的视频教程。这些丰富便利的学习资料为学生自学提供了良好的外部条件，因此学生应该充分发挥学习自觉性，合理安排自学计划，按部就班地储备数学软件基本技能。
4. 教师方面
在授课之初，明确提出课程目标和要求，强调数学软件的重要性，让学生充分意识到数学软件在工程数学教学中的积极作用。根据实际情况，确定好数学软件版本并提供良好的软件学习资源，和学生一起制定学习计划，充分发挥教师的引导和監督作用，并适时地提供软件代码、编程指导和案例教学。
（三）数学软件可视化的益处
1. 有利于加强学生的计算机编程能力
以人工智能和互联网为代表的“新工科”要求未来的工程师具有强大的编程能力，而且目前编程教育朝着人人会编程的目标大力普及发展。那么对现代大学生而言，编程能力无疑已成为了最重要的基本素质之一。数学软件可视化是通过程序语言将数学可视化的过程，涉及程序语言掌握、逻辑思维编译和人机交互体验等方面。程序编写的本质是逻辑思维的组织，虽然不同的数学软件具有不同形式的程序语言，但是它们在逻辑框架上却有相通之处。因此，程序员在精通一门数学程序语言之后，可以将逻辑经验快速迁移到另一门程序语言的学习之中。同样，学生在工程数学教学过程中习得的编程经验能够为其在人工智能等方面的编程打好坚实基础，也为其未来学科交叉和专业融合做好充分准备。
2. 有利于增强学生的学习兴趣和创新思维能力
数学软件可视化能够将枯燥的抽象化概念转化为生动的形象化图形，因此能够激发学生浓厚的学习兴趣和旺盛的求知欲望。在实现此转化过程中，学生可以通过自主探索选择不同路径和不同形式的可视化实现，从而有利于创新思维能力的培养。
3. 有利于培养学生动手实践能力
数学软件可视化实质上是一种数学实验，它能够通过数学软件的编程实践高效验证数学概念和定理的正确性，从而将数学理论的学习和数学实验的开展有机结合起来。强化操作实践能力是工科教育有别于理科教育的侧重点所在，通过数学编程和程序编译，学生的动手实践能力得到进一步强化，而工科教育的目标亦得以完美体现。
四、针对“课程群建设不足和学时压缩”的问题，采用线上和线下课堂混合教学模式，培养高素质复合型“新工科”人才
（一）线上网络教学的定位
1. 线上网络教学无法完全替代线下教学
近年来，网络教学风靡全球，各种网课平台如雨后春笋般不计其数。特别是新冠肺炎疫情暴发后的一段时期，网络教学在短期内甚至替代了线下教学。但是，实践表明，线上教学亦存在自身的弊端，在课堂组织、沟通方式和互动效果等方面都无法与线下课堂教学同日而语。这也正是为什么各国在疫情稍微缓解之后，都努力地陆续恢复线下课堂教学。毋庸置疑，线下教学相比于线上教学更加富有纪律性、组织性、互动性和高效性。通过疫情期间高校的教学实践，我们深刻认识到学生的惰性、师生所处周围环境、网络质量、电脑硬件等诸多环节都可能阻碍教学活动顺利进行，从而使得教学质量随时面临挑战，教学总体效果也不同程度地大打折扣。
2. 线上网络教学是线下课堂教学的有益补充
尽管线上教学无法完全替代线下教学，但是线上教学具有良好的灵活机动性，可以使线下教学在时间和空间上得到拓展，从而能够积极地解决线下教学课时不足和教室资源紧张的现实问题。因为课时总量是有限的，所以不可能每门课都安排得足够充裕。另一方面，由于教室资源有限，固定时间的教室也会给教务排课增加压力。因此，借助互联网技术开辟线下第二课堂是解决上述现实问题的不二选择。 （二）线上和线下教学的有机结合
1. 课前通过线上教学助力学生预习和探索
线上教学内容不同于线下，有着自身发展的特点和一般规律。首先，线上教学内容和线下不宜重复，否则会导致教学资源浪费。第二，线上教学内容不宜冗长晦涩，一方面是因为生动形象的教学内容才能真正调动学生学习的积极性，另一方面是冗长的自学内容会让课外时间紧张的大学新生望而却步。第三，线上教学内容不宜有教无评。教师的批阅能够引起学生高度重视，从而有效地督促学生保质保量地参与其中。同时，批阅评语能够纠正错误、答疑解惑，以确保教学沿着正确的轨道开展。根据上述分析，工程数学的线上教学内容可以大致包括：目标问题作业、重要概念和定理、数学软件使用、专业课程应用。
2. 课中通过线下教学完成重点学习和答疑
线上教学主要起到引导和铺垫的作用，而线下课堂学习才是教学活动的重心所在。教师在线上教学系统里获得了大量教学反馈，并据此精准把握课堂教学的侧重点，继而合理设计课堂教案。已在课前预习过的基本概念和定理在课堂上就不需要再花费太多时间讲，仅仅梳理和复习即可;而课前预习尚未解决的疑难知识点则需要重点展开，以便详略得当、高效地利用宝贵的课堂时间。
3. 课后通过线上教学保障学生复习和拓展
对于工程数学课程而言，习题练习是熟练掌握基本概念和定理的最佳途径。因此，课后习题的练习、批阅和答疑是必不可少的环节，而该环节最适合通过线上互动完成。这样既不占用课堂时间，又保障了课后习题的闭环教学管理。线上和线下混合式教学一方面充分利用了线下教学的高度组织性，另一方面也充分发挥了线上教学的灵活机动性。线上和线下教学的有机结合不仅有效地缓解了课堂时间和空间的压力，而且大大增加了教学的广度、深度和自由度[5]。
五、结束语
在“新工科”的内涵和理念引导下，工程数学在工程教育中的重要地位日益凸显，同时在深化教学改革中也面临新的机遇和挑战。以能力培养为导向的工程数学教学应当紧跟智能时代的步伐，抓住机遇迎接挑战，因地制宜地改革教学模式，寓数学于工程，为新兴产业培养实践能力强、创新后劲足的专业交叉型人才。
参考文献：
[1]杨威，高淑萍，陈怀琛，等.新工科背景下线性代数教学改革与探索——以国家精品在线开放课程《实用大众线性代数》为例[J].高教学刊，2020（5）：8-12.
[2]熊海燕.新工科背景下工科院校通识教育课程体系构建[D].杭州：浙江工业大学，2020.
[3]秦大偉，罗天雨.目标问题导向式在线教学模式探析[J].广东化工，2021，48（2）：242-243.
[4]孙淑兰，陈琳珏，宋丽艳.数学软件Mathematica在工程数学教学中的应用[J].企业技术开发，2009，28（12）：178.
[5]周翔，张廷萍.程序设计基础类课程“线上+线下”混合式教学模式实践[J].计算机教育，2021（8）：138-141.