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课本习题是数学知识、解题策略和思想方法的有机结合体，具有很强的生长性，许多中考试题就是在课本习题的基础上通过变式、拓展演变而来. 重视对课本习题的研究与应用有着重要的价值，本文以《锐角三角函数》一章中的一道课本习题为例，对习题进行变式探究，挖掘习题的最大价值，供读者参考.
原题：（苏科版教材九下第48页习题3）已知：如图1，AC是△ABD的高，BC=15 cm，∠BAC=30°，∠DAC=45°，求AD.
【解析】本题中的两个直角三角形Rt△ABC和Rt△ADC具有一条公共的直角边AC，且Rt△ABC已知一边和一锐角（BC=15 cm，∠BAC=30°），故可以解出Rt△ABC，求出公共边AC=15 cm，从而Rt△ADC已知一边和一锐角（AC=
15 cm，∠DAC=45°），进而求出AD=
15 cm.
说明：当一个直角三角形满足——除直角外，已知一边和一锐角或已知两边，就可以解出这个直角三角形.
变式1：已知：如图2，AC是△ABD的高，AB=10 cm，BC=5 cm，∠D=45°，求AD.
【解析】本题中的两个直角三角形Rt△ABC和Rt△ADC具有一条公共的直角边，且Rt△ABC已知两边（AB=10 cm，BC=5 cm），故可以解出Rt△ABC，求出公共边AC=5 cm，从而Rt△ADC已知一边和一锐角（AC=5 cm，∠D=45°），进而求出AD=5 cm.
说明：由原题和变式1可知，当两个直角三角形有一条公共边时，这条公共边就成了联系两个直角三角形的桥梁，沟通着“已知”与“未知”.
变式2：已知：如图3，AC是△ABD的高，BD=（3+） cm，∠BAC=30°， ∠DAC=45°，求AC.
【解析】本题中的两个直角三角形Rt△ABC和Rt△ADC具有一条公共的直角边，但两个直角三角形Rt△ABC和Rt△ADC均只已知一个锐角，故不能直接解出其中任何一个三角形. 考虑到BD=（3+） cm，即BC+CD=（3+） cm，从而可以此为相等关系构造方程解决这一问题. 设AC=x cm，由∠BAC=30°， ∠DAC=45°可得BC= cm，CD=x cm，所以+x=3+，解得x=3，即AC=3 cm.
变式3：已知：如图4，△ABD中，BD=10 cm，∠B=60°，∠D=45°，求△ABD的面积.
【解析】本题中的△ABD显然不是直角三角形，考虑到∠B，∠D均为特殊角，可以通过作高AC构造直角三角形，将它们分别放在Rt△ABC和Rt△ADC中. 同变式2，设AC=x cm，由∠B=60°，∠D=45°可得BC= cm，CD=x cm，所以+x=10，解得x=15-5，即AC=
15-5 cm. 所以△ABD的面积=×BD×AC=×10×
15-5=
75-25（cm2）.
说明：由变式2、变式3可知，当两个直角三角形有一条公共边，且两个直角三角形均不能直接解出时，通常设公共边这座桥梁为x，通过构造方程解决问题.
变式4：已知：AC是△ABD的高，AC=2 cm，AB=4 cm，∠D=45°，求△ABD的面积.
【解析】如图5，当高AC在△ABD内部时，在Rt△ABC中，AC=2 cm，AB=
4 cm，所以BC=2 cm. 在Rt△ADC中，AC=
2 cm，∠D=45°，所以CD=2 cm. 所以BD=BC+CD=（2+2） cm. 所以△ABD的面积=×BD×AC=×（2+2）×2=（6+2）（cm2）.
如图6，当高AC在△ABD外部时，由上同理可得BC=2 cm，CD=2 cm. 所以BD=CD-BC=（2-2） cm. 所以△ABD的面积=×BD×AC=×（2-2）×2=（6-2） cm2.
变式5：如图7，某市在棚户区改造工程中需要修建一段东西方向全长2 000米的道路（记作线段AB）. 已知C点周围700米范围内有一电力设施区域. 在A处测得C在A的北偏东60°方向上，在B处测得C在B的北偏西45°方向上. 道路AB是否穿过电力设施区域？为什么？（参考数据：≈1.732，≈1.414）
【解析】本题是一个实际应用问题，需要将题中的已知信息与图形相结合，将实际问题转化成数学问题. 过点C作CD⊥AB，垂足为D，由题意得：∠CAB=30°，∠CBA=45°，∠CDA=∠CDB=90°. 所以在Rt△ADC中，AD=CD，在Rt△BDC中，BD=CD.
因为BD+AD=AB=2 000，即CD+CD=2 000，所以（+1）CD=2 000.
解得CD=1 000（-1）≈732>700. 所以AB不会穿过电力设施区域.
课本习题是教学的重要资源，同学们应多加重视，通过变式训练等途径掌握基础题型及基本图形，提升学习效率，避免低水平的重复和题海疲劳战术.
（作者单位：苏州市草桥中学校）
原题：（苏科版教材九下第48页习题3）已知：如图1，AC是△ABD的高，BC=15 cm，∠BAC=30°，∠DAC=45°，求AD.
【解析】本题中的两个直角三角形Rt△ABC和Rt△ADC具有一条公共的直角边AC，且Rt△ABC已知一边和一锐角（BC=15 cm，∠BAC=30°），故可以解出Rt△ABC，求出公共边AC=15 cm，从而Rt△ADC已知一边和一锐角（AC=
15 cm，∠DAC=45°），进而求出AD=
15 cm.
说明：当一个直角三角形满足——除直角外，已知一边和一锐角或已知两边，就可以解出这个直角三角形.
变式1：已知：如图2，AC是△ABD的高，AB=10 cm，BC=5 cm，∠D=45°，求AD.
【解析】本题中的两个直角三角形Rt△ABC和Rt△ADC具有一条公共的直角边，且Rt△ABC已知两边（AB=10 cm，BC=5 cm），故可以解出Rt△ABC，求出公共边AC=5 cm，从而Rt△ADC已知一边和一锐角（AC=5 cm，∠D=45°），进而求出AD=5 cm.
说明：由原题和变式1可知，当两个直角三角形有一条公共边时，这条公共边就成了联系两个直角三角形的桥梁，沟通着“已知”与“未知”.
变式2：已知：如图3，AC是△ABD的高，BD=（3+） cm，∠BAC=30°， ∠DAC=45°，求AC.
【解析】本题中的两个直角三角形Rt△ABC和Rt△ADC具有一条公共的直角边，但两个直角三角形Rt△ABC和Rt△ADC均只已知一个锐角，故不能直接解出其中任何一个三角形. 考虑到BD=（3+） cm，即BC+CD=（3+） cm，从而可以此为相等关系构造方程解决这一问题. 设AC=x cm，由∠BAC=30°， ∠DAC=45°可得BC= cm，CD=x cm，所以+x=3+，解得x=3，即AC=3 cm.
变式3：已知：如图4，△ABD中，BD=10 cm，∠B=60°，∠D=45°，求△ABD的面积.
【解析】本题中的△ABD显然不是直角三角形，考虑到∠B，∠D均为特殊角，可以通过作高AC构造直角三角形，将它们分别放在Rt△ABC和Rt△ADC中. 同变式2，设AC=x cm，由∠B=60°，∠D=45°可得BC= cm，CD=x cm，所以+x=10，解得x=15-5，即AC=
15-5 cm. 所以△ABD的面积=×BD×AC=×10×
15-5=
75-25（cm2）.
说明：由变式2、变式3可知，当两个直角三角形有一条公共边，且两个直角三角形均不能直接解出时，通常设公共边这座桥梁为x，通过构造方程解决问题.
变式4：已知：AC是△ABD的高，AC=2 cm，AB=4 cm，∠D=45°，求△ABD的面积.
【解析】如图5，当高AC在△ABD内部时，在Rt△ABC中，AC=2 cm，AB=
4 cm，所以BC=2 cm. 在Rt△ADC中，AC=
2 cm，∠D=45°，所以CD=2 cm. 所以BD=BC+CD=（2+2） cm. 所以△ABD的面积=×BD×AC=×（2+2）×2=（6+2）（cm2）.
如图6，当高AC在△ABD外部时，由上同理可得BC=2 cm，CD=2 cm. 所以BD=CD-BC=（2-2） cm. 所以△ABD的面积=×BD×AC=×（2-2）×2=（6-2） cm2.
变式5：如图7，某市在棚户区改造工程中需要修建一段东西方向全长2 000米的道路（记作线段AB）. 已知C点周围700米范围内有一电力设施区域. 在A处测得C在A的北偏东60°方向上，在B处测得C在B的北偏西45°方向上. 道路AB是否穿过电力设施区域？为什么？（参考数据：≈1.732，≈1.414）
【解析】本题是一个实际应用问题，需要将题中的已知信息与图形相结合，将实际问题转化成数学问题. 过点C作CD⊥AB，垂足为D，由题意得：∠CAB=30°，∠CBA=45°，∠CDA=∠CDB=90°. 所以在Rt△ADC中，AD=CD，在Rt△BDC中，BD=CD.
因为BD+AD=AB=2 000，即CD+CD=2 000，所以（+1）CD=2 000.
解得CD=1 000（-1）≈732>700. 所以AB不会穿过电力设施区域.
课本习题是教学的重要资源，同学们应多加重视，通过变式训练等途径掌握基础题型及基本图形，提升学习效率，避免低水平的重复和题海疲劳战术.
（作者单位：苏州市草桥中学校）