“解三角形”是高中数学的重要内容，也是高考经常会考查的知识点。很多同学感觉这部分内容学习时并不困难，但得分率并不高，解题时非常容易出错。已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形，一般是已知三个元素求另外的三个元素，可分为以下几个类型。当已知三个角时，因三角形形状不固定，因此无法解三角形；当已知三角形的三边解三角形时，在满足两边之和大于第三边这个条件的情况下，利用余弦定理可求三个角且解是唯一确定的；当已知两角及其一边时，利用三角形内角和定理求第三个角，再利用正弦定理求其余两个边，解也是唯一确定的；当已知两边及其夹角时，利用余弦定理求第三边，再利用正弦定理或余弦定理求其一角，利用三角形内角和定理求最后一个角，解也是唯一的。但已知三角形的两边和其中一边的对角时，情况却比较复杂，以下从三个方面谈谈此时三角形解的个数问题。
　　一、 利用三角函数的值域来判断有一解，两解或是无解
　　以已知 ， ，A，解三角形的问题为例来讨论。在这种情形下我们可以先用正弦定理，计算出另一边的对角的正弦值
　　并由此求出B；再用三角形内角和计算出第三个角
　　然后，应用正弦定理计算第三边
　　1. 如果已知的A是钝角或直角，那么必须 才有解，这时从 计算B时，只能取锐角的值，因此有一个解。
　　2. 如果已知的A是锐角，并且 或者 ，这时 计算B时，也只能取锐角的值，因此有一个解。
　　3. 如果已知的A是锐角，并且 ，我们可以分下面三种情形来讨论：
　　（1）如果 ，这时从 计算得 ，B可以取一个锐角的值和一个钝角的值，因此可以有两个解。
　　（2）如果 ，这时从 计算得 ，B只能是直角，因此只有一个解。
　　（3）如果 ，这时从 计算得 ，但是一个角的正弦值不能大于1，因此没有解。
　　二、利用数形结合的方法总结出如何判断有一解，两解或是无解
　　已知 ， ，和 ，当 为锐角时：
　　当A为直角或钝角时：
　　三、通过用余弦定理的变形通过讨论方程的根来判断三角形的解的个数
　　在△ABC中，已知a、b和A，由余弦定理 可变形得：
　　（﹡） 这是一个关于c的一元二次方程。
　　1. 若方程（﹡）有两个不相等的实数根 、 ，且：
　　（1） ， ，则此三角形有两解；
　　（2） ， ，则此三角形有一解；
　　（3） ， 则此三角形无解。
　　2. 若方程（*）有两个相等的实数根 ，且：
　　（1） ，则此三角形有一解；
　　（2） ，则此三角形无解。
　　3. 若方程（*）无实数根，则此三角形无解。
　　综合分析以上各种情况，可以发现：方程（*）有几个正实数根，三角形就有几个解；因此，遇到该类问题，就可以转化为方程（*）正实数根的个数了，比用正弦定理讨论起来更简捷，更实用，且具有公式化。
　　例1：根据下列条件，判断△ABC解的个数。
　　（1） ， ， ；（2） ， ， ；
　　（3） ， ， 。
　　解：由变式（*）得如下方程：
　　（1）
　　即 ，所以 ， 故此三角形无解。
　　（2）
　　即
　　所以 ，故此三角形只有一解；
　　（3）
　　即
　　所以 ， 故此三角形有两解。
　　例2：△ABC中，已知 ， ， ，求角A，角C和边
　　〖考查提示〗 由题目可获取以下主要信息：
　　（1） 已知两边和其中一边的对角；（2）求另外的两角和另一边。
　　解答本题可先由正弦定理求出角C，然后再求其他的边和角。也可以由余弦定理列出关于边长 的方程，首先求出边长 ，再由正弦定理求角A、角C。
　　〖标准解析〗 方法一：由余弦定理 ，得：
　　∴ 得 或6。
　　当 时， ，∴
　　当 时，由正弦定理
　　∴ ，∴
　　方法二：由 ， ， 知本题有两解。
　　由正弦定理
　　∴ 或
　　当 时， ，由勾股定理
　　当 时， ，△ABC为等腰三角形，∴