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摘 要：在学习平面向量知识中，笔者接触一类典型问题，学生面对该题，思路多样、分散却又不够精练，本文对该题型进行了研究，以便更好地指导学生的学习.
关键词：平面向量；试题研究；高中数学
新课改中，苏教版普通高中课程标准实验教科书必修4中的第二章《平面向量》，引进了平面向量知识，向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具. 通过本章的学习，学生不仅可以掌握一种全新的数学工具，而且可以帮助学生体会数学的内部联系，数学与实际生活的联系，以及数学在解决实际问题中的作用，培养学生的理性思维的能力、运算能力和解决实际问题的能力.
原题：O是△ABC内一点，满足+2+4=0，求△AOB、△BOC、△AOC的面积之比.
【分析】 此问题可以分为两类：解答题和填空题，分别采取不同的解题策略.
题型为解答题时，我们要有严密的论证，写出详细的解答过程
1. 运用向量加减法的平行四边形法则解题
【分析】 充分运用平行四边形法则，构造满足题意的三角形，寻找面积关系.
【方法1】 因为+2+4=0，所以=2+4，在平面内任取一点O，构造向量，，作向量=2，=4，根据向量加法的平行四边形法则，=+，如图（1）：所以有=. 顺次连接点A，B，C，构成△ABC，如图2，所以S△AOB=S△BOF=S△DOF，S△BOC=S△DOE=S△DOF，S△AOC=S△COF=S△EOF=S△DOF. 所以S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=∶∶=4∶1∶2.
运用三角形重心的向量性质解题
【分析】 题中所给条件“+2+4=0”，与三角形的重心有着紧密的联系，这就提示我们尝试构造合适的三角形以及它的重心，结合三角形重心的向量性质来解决问题.
【方法2】 如图3，作任意△AB′C′，取三角形三边中线的交点即△AB′C′的重心O，在OB′，OC′上分别取B点、C点，使得向量=，=. 因为O点为△AB′C′的重心，所以有++=0. 又因为=2，=4，所以+2+4=0，在△AB′C′中，S△AOB′=S△AB′E=·S△AB′C′=S△AB′C′，同理S△AOC′=S△B′OC′=S△AOB′=S△AB′C′. 又S△AOB=S△AOB′=S△AB′C′=S△AB′C′，S△BOC=S△B′OC′=S△AB′C′=S△AB′C′，S△AOC=S△AOC′=S△AB′C′=S△AB′C′，S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=∶∶=4∶1∶2.
题型为填空题时，我们只需要准确快速地求出答案
1. 建立直角坐标系，将，作为基底，特殊化处理.
【分析】 当题中所涉及向量额外满足一些特殊关系时，结论依然成立，将问题特殊化，快速求解，这是我们解决填空题、选择题这些客观题时常用的方法.
【方法3】 如图5构造向量⊥，并且==1，以向量，为基底建立如图所示的直角坐标系xOy，所以B，C坐标分别为（1，0），（0，1）. 因为+2+4=0，所以=2+4，作向量=2，=4，根据向量加法的平行四边形法则，=+，所以=，确定A点坐标为（-2，-4），顺次连接点A，B，C，得到△ABC，如图6. 所以，S△AOB=×1×4=2，S△BOC=×1×1=，S△AOC=×1×2=1，S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=2∶∶1=4∶1∶2.
2. 猜想：题干中三向量之比为1∶2∶4，面积之比为4∶2∶1，引发猜想：“题干中三向量的比例关系，是否决定了△AOB、△AOC、△BOC面积的比例关系？”
继续研究
【方法3】 如图6，S△AOB=××=×1×=×1×4=×1×4，此处的4即为题干中向量前的系数，同理可得，S△BOC=×1×1，此处的1即为题干中向量前的系数，S△AOC=×1×2，此处的2即为题干中向量前的系数. 是否有一般结论“O是△ABC内一点，满足a+b+c=0（a>0，b>0，c>0），则有S△AOB∶S△AOC∶SBAOC=c∶b∶a”？（注：条件“a>0，b>0，c>0”是为了保证条件“O是△ABC内一点”，这里不再展开讨论.）
以下进行进一步的研究：
3. 证明：O是△ABC内一点，满足a+b+c=0（a>0，b>0，c>0），则有S△AOB∶S△AOC∶S△BOC=c∶b∶a.
解：因为a+b+c=0，
所以a=b+c=b（+）+c（+），所以（a+b+c）=b+c，
所以=+.
在三角形的边AB，AC上取点D，E，
如图7，所以有：=，=， 则四边形ADOE是平行四边形.
图7
所以：S△AOB=S△AEB=S△ABC，S△AOC=S△ADC=S△ABC，S△BOC=S△ABC-S△AOB-S△AOC=1--S△ABC=S△ABC，S△AOB∶S△AOC∶S△BOC=∶∶=c∶b∶a，此题得证.
4. 利用结论“O是△ABC内一点，满足a+b+c=0（a>0，b>0，c>0），则有S△AOB∶S△AOC∶S△BOC=c∶b∶a”直接求出答案.
【分析】 注意上述结论中的规律，建立选择正确的比例系数.
【方法4】 因为+2+4=0，所以S△AOB∶S△AOC∶S△BOC=4∶2∶1.
以上是我们在《平面向量》这一章教学中针对一类典型问题的粗浅研究，不当之处，请多指正.
关键词：平面向量；试题研究；高中数学
新课改中，苏教版普通高中课程标准实验教科书必修4中的第二章《平面向量》，引进了平面向量知识，向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具. 通过本章的学习，学生不仅可以掌握一种全新的数学工具，而且可以帮助学生体会数学的内部联系，数学与实际生活的联系，以及数学在解决实际问题中的作用，培养学生的理性思维的能力、运算能力和解决实际问题的能力.
原题：O是△ABC内一点，满足+2+4=0，求△AOB、△BOC、△AOC的面积之比.
【分析】 此问题可以分为两类：解答题和填空题，分别采取不同的解题策略.
题型为解答题时，我们要有严密的论证，写出详细的解答过程
1. 运用向量加减法的平行四边形法则解题
【分析】 充分运用平行四边形法则，构造满足题意的三角形，寻找面积关系.
【方法1】 因为+2+4=0，所以=2+4，在平面内任取一点O，构造向量，，作向量=2，=4，根据向量加法的平行四边形法则，=+，如图（1）：所以有=. 顺次连接点A，B，C，构成△ABC，如图2，所以S△AOB=S△BOF=S△DOF，S△BOC=S△DOE=S△DOF，S△AOC=S△COF=S△EOF=S△DOF. 所以S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=∶∶=4∶1∶2.
运用三角形重心的向量性质解题
【分析】 题中所给条件“+2+4=0”，与三角形的重心有着紧密的联系，这就提示我们尝试构造合适的三角形以及它的重心，结合三角形重心的向量性质来解决问题.
【方法2】 如图3，作任意△AB′C′，取三角形三边中线的交点即△AB′C′的重心O，在OB′，OC′上分别取B点、C点，使得向量=，=. 因为O点为△AB′C′的重心，所以有++=0. 又因为=2，=4，所以+2+4=0，在△AB′C′中，S△AOB′=S△AB′E=·S△AB′C′=S△AB′C′，同理S△AOC′=S△B′OC′=S△AOB′=S△AB′C′. 又S△AOB=S△AOB′=S△AB′C′=S△AB′C′，S△BOC=S△B′OC′=S△AB′C′=S△AB′C′，S△AOC=S△AOC′=S△AB′C′=S△AB′C′，S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=∶∶=4∶1∶2.
题型为填空题时，我们只需要准确快速地求出答案
1. 建立直角坐标系，将，作为基底，特殊化处理.
【分析】 当题中所涉及向量额外满足一些特殊关系时，结论依然成立，将问题特殊化，快速求解，这是我们解决填空题、选择题这些客观题时常用的方法.
【方法3】 如图5构造向量⊥，并且==1，以向量，为基底建立如图所示的直角坐标系xOy，所以B，C坐标分别为（1，0），（0，1）. 因为+2+4=0，所以=2+4，作向量=2，=4，根据向量加法的平行四边形法则，=+，所以=，确定A点坐标为（-2，-4），顺次连接点A，B，C，得到△ABC，如图6. 所以，S△AOB=×1×4=2，S△BOC=×1×1=，S△AOC=×1×2=1，S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=2∶∶1=4∶1∶2.
2. 猜想：题干中三向量之比为1∶2∶4，面积之比为4∶2∶1，引发猜想：“题干中三向量的比例关系，是否决定了△AOB、△AOC、△BOC面积的比例关系？”
继续研究
【方法3】 如图6，S△AOB=××=×1×=×1×4=×1×4，此处的4即为题干中向量前的系数，同理可得，S△BOC=×1×1，此处的1即为题干中向量前的系数，S△AOC=×1×2，此处的2即为题干中向量前的系数. 是否有一般结论“O是△ABC内一点，满足a+b+c=0（a>0，b>0，c>0），则有S△AOB∶S△AOC∶SBAOC=c∶b∶a”？（注：条件“a>0，b>0，c>0”是为了保证条件“O是△ABC内一点”，这里不再展开讨论.）
以下进行进一步的研究：
3. 证明：O是△ABC内一点，满足a+b+c=0（a>0，b>0，c>0），则有S△AOB∶S△AOC∶S△BOC=c∶b∶a.
解：因为a+b+c=0，
所以a=b+c=b（+）+c（+），所以（a+b+c）=b+c，
所以=+.
在三角形的边AB，AC上取点D，E，
如图7，所以有：=，=， 则四边形ADOE是平行四边形.
图7
所以：S△AOB=S△AEB=S△ABC，S△AOC=S△ADC=S△ABC，S△BOC=S△ABC-S△AOB-S△AOC=1--S△ABC=S△ABC，S△AOB∶S△AOC∶S△BOC=∶∶=c∶b∶a，此题得证.
4. 利用结论“O是△ABC内一点，满足a+b+c=0（a>0，b>0，c>0），则有S△AOB∶S△AOC∶S△BOC=c∶b∶a”直接求出答案.
【分析】 注意上述结论中的规律，建立选择正确的比例系数.
【方法4】 因为+2+4=0，所以S△AOB∶S△AOC∶S△BOC=4∶2∶1.
以上是我们在《平面向量》这一章教学中针对一类典型问题的粗浅研究，不当之处，请多指正.