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作为中学数学一线教师，几年的教学生涯中，感触最深刻的是：促进自身专业发展与自我成长的核心要素就是写教学反思。教师在教学中任何尝试和长期以来的积累都是独一无二的，弥足珍贵，不要轻易放弃。对于教学反思的内涵及指向，有学者从三个维度加以解说：一是在实践中反思；二是对实践反思；三是为实践反思。这种观点似是而非，我认为反思是教学实践的一个环节，它应发生在教学实践之后。因此，可以从以下几个方面进行尝试记录。
一、课例式反思记录
课例式反思就是记录对一节课的反思，主要包括对教学设计的反思、对教学实施过程反思、对教学问题分析与对策。这要求教师对教学情境和教学事件等直观对象的观察感知与比较，及对情境的体验，并进行整合与升华。比如本人在上圆周角这一节新课引入时，原来是先复习圆心角，利用教具把顶点拉到圆周上（图1），引出圆周角定义。虽然分析透彻，也强调了定义的注意点，但对定理证明分类思路引入总觉得不太自然。后来我采用另一种设计（图2），首先让学生画多个圆，其次在圆上任意画角，然后要求学生画出顶点位置不同的角，学生兴趣盎然，作出多种图形，教师有意识搜集不同类型的图。
探讨这些图形角的顶点位置、边与圆的关系，从而概括出圆周角定义，同时还可得到（圆心角、圆外角、圆内角等）概念。不但区别各类角，而且为圆周角定理三种分类提供思路，可谓一举两得，效果很好。
又如一次听一节公开课，一位教师在教代数式这节时采取以下引入方式，教师发布指令：
①每人心中想一个数；②把想好的数乘2加4；③把所得数除以2；④将所得商加上想的数的3倍。
然后学生报出一个数，教师立即说出结果，让学生佩服不已。同时学习兴趣大大调动起来，学生迫切想知道老师的奥秘。这时，教师自然而然引出用字母表示数的必要性与优越性，水到渠成，非常精彩。其实，许多课在你备课前哪怕你深思熟虑，总有遗漏的地方，上了后，才发现有的例题这样分析好，有些定理教学那样设计好，及时记载下来，无疑为今后教学积累一笔丰富的教学“财产”。
二、对偶发事件记录
课堂教学瞬息万变，不可预料情况不断发生，不仅有教师自身突发的“灵感”，而且更多的是学生在课堂中不断展现出闪光点。这需要教师随时做出“反应”或“应对”。一次在教完相似三角形这节后，我出了这么一道题：
如图3，已知△ABC中，BC=8，高AD=6，P为BC上一点，PE∥AC交AB于E，PF∥AB交AC于F，设PB=x，S△PEF=y，求y与x的关系式。
解：由PE∥AC，得△BEP～△BAC，
从而 =( )2
得S△BEP= x2
同理S△PFC= (8-x)2
∴S△PEF= (S△ABC-S△BEP-S△PFC)=- x2+3x
我突然想到，能否把条件PE∥AC改为PE∥AD？
试一试。发现只要作出一条辅助线，PE1∥AC，就可用原题方法拿来求。咦！既然PF∥AB，则点E无论在AB上怎么移动，则S△PEF面积永远不变。这样得到一个条件削弱于原题一道好题！如图4，即△ABC中，AD为△ABC边BC上的高，BC=8，AD=6，P为BC上一点，若PF∥AB，E为AB上任意一点（不同于A、B）则S△PEF的面积为定值。
又如图5：菱形ABCD中，AC、BD交于O，OE⊥AB，OF⊥AD，OE⊥CD，OH⊥BC，求证：OE=OF=OG=OA（图5）。
一般思路用角平分线性质，或证明三角形全等。有一个学生站起来激动地说：我有一个好方法，因为AC、BD分成4个三角形全等，又因为四边相等，利用面积不就可以马上得出OE=OF=OH=OG吗？妙！类似例子，举不胜举。这些突如其来的证明思路，使我们的教学充满活力与生机的源泉！
三、批改作业反思记录
批改作业，不仅是数学教学的重要环节，也是教学效果反馈的重要途径，它在督促指导学生学习、调整教师教学方案中起着非常重要的作用。写批改作业记录可以记下学生在哪些题中出错，一般思维盲点出在哪里，哪些题有一题多解。比如在浙教版作业本上有一道题：如图6，AB为⊙O直径，C、D为圆上的点，且OD∥AC，求证CD=DB。我统计一下，作业本证明方法一共出现5种（图6）：
方法一：连OC，证明圆心角∠COD=∠DOB。
方法二：连AD，证明圆周角∠CAD=∠DAB。
方法三：延长DO交⊙O于E，夹在平行弦中的弧相等 = =
方法四：利用圆周角∠CAB=圆心角∠DOB，得出 = 。
方法五：连BC，利用垂径定理证明。
另外作业本上出现的求近似数时中间过程的取值比结果要多1位，文字证明题学生经常没有写出已知与求证，画图题没保留画图痕迹，没下出结论。有些题目证明方法复杂，思路混乱等等。针对以上问题，我反思自己在课堂教学中有哪些遗漏点，如何更好地克服，从而优化课堂教学。
四、例题教学反思记录
1．解题方法规律反思
数学例题是知识由产生到应用的关键一步，即所谓“抛砖引玉”，然而很多时候“做过例题千万道，解后抛九霄云外”，难以达到提高解题能力、发展思维的目的。善于记录解题后反思方法归类、规律小结与技巧揣摩，无疑对能力提高与思维发展大有裨益。
例如：在学习垂径定理后，我发现几乎所有关于圆中，关于半径、弦、弦心距的题目基本上可以在一个基本Rt△BOD中解决（如图7）。因此，我设计几道题目让学生体会基本图形在解题中的作用。
（1）⊙O中，∠BAC=30°，半径r=2，求BC的长。
（2）⊙O中，弦CD与直径AB成30°，与AB交于E，且OE=2，直径为10，求弦CD的长。
（3）矩形ABCD中，AD=5，以AB上一点O为圆心，画圆交AB于E、F两点，交CD于MN，且AE=3，DM=4，求MN的长。
（4）圆管内原有积水水面宽CD=4cm，水深GF=1cm，求水面上升1cm（即EF=1cm）时水面AB的宽。（图8）
2．在学生易错处反思
学生知识背景、思维方式、情感体会往往与成人不同，表达方式可能不准确，因此难免出错，例题教学若能从此切入，进行解后反思，找到“病根”，从而对症下药，达到事半功倍之效。
我发现平面几何中常见“失根”问题，有以下几类也是中考常见的陷阱题。
（1）从不在⊙O上一点A引⊙O割线交⊙O于B、C，且AB•AC=64，OA=10，求⊙O的半径；
（2）⊙O半径为5，两条平行弦长分别为6和8，求平行弦间的距离；
（3）⊙O1与⊙O2交于A、B，⊙O1半径为15，⊙O2半径为20，AB=24，求圆心矩；
（4）等腰三角形一腰上高等于这腰一半，求顶角；
（5）△ABC中，∠A=60°，高BE、CF交于O，则∠BOC=______；
（6）已知AB为⊙O直径，点C在⊙O上，上过点C引直径AB的垂线，垂足为D，点D分这条直径为2∶3两部分，若r=5，求BC；
（7）若直角三角形两边长分别为3和4，求另一边；
（8）已知A、B、C为⊙O上三点，⊙O半径为2，弦AB=2 ，BC=2 ，求∠ABC所对弧AC的长度；
（9）△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2，如果要在AB上找一点E，使△ADE～△ABC，则AE=_____；
（10）两圆半径分别为6、4，两条公切线互相垂直，则圆心角_______。
总之，解后的反思方法规律得到了及时小结归纳，能使我们拨开迷雾，看清“庐山真面目”，提高教学效率。
当然，我们也可以记录一些自己在教学中的随想与感受，它可能并没有完整结构，只是把自己一些想法随时记录下来，但是它为教师为某些关键问题的深思提供了素材。以上几类反思记录也不是截然分开的，它们之间相互融合，并无本质上差异。尤其近几年推行了新课标，对很多教师来说都是全新的，这就更需要教师不断探索、尝试、实践、总结规律，教学反思变得尤其重要。让我们多动动笔、动动脑，在反思中学会思考，学会交流，学会合作！
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
一、课例式反思记录
课例式反思就是记录对一节课的反思，主要包括对教学设计的反思、对教学实施过程反思、对教学问题分析与对策。这要求教师对教学情境和教学事件等直观对象的观察感知与比较，及对情境的体验，并进行整合与升华。比如本人在上圆周角这一节新课引入时，原来是先复习圆心角，利用教具把顶点拉到圆周上（图1），引出圆周角定义。虽然分析透彻，也强调了定义的注意点，但对定理证明分类思路引入总觉得不太自然。后来我采用另一种设计（图2），首先让学生画多个圆，其次在圆上任意画角，然后要求学生画出顶点位置不同的角，学生兴趣盎然，作出多种图形，教师有意识搜集不同类型的图。
探讨这些图形角的顶点位置、边与圆的关系，从而概括出圆周角定义，同时还可得到（圆心角、圆外角、圆内角等）概念。不但区别各类角，而且为圆周角定理三种分类提供思路，可谓一举两得，效果很好。
又如一次听一节公开课，一位教师在教代数式这节时采取以下引入方式，教师发布指令：
①每人心中想一个数；②把想好的数乘2加4；③把所得数除以2；④将所得商加上想的数的3倍。
然后学生报出一个数，教师立即说出结果，让学生佩服不已。同时学习兴趣大大调动起来，学生迫切想知道老师的奥秘。这时，教师自然而然引出用字母表示数的必要性与优越性，水到渠成，非常精彩。其实，许多课在你备课前哪怕你深思熟虑，总有遗漏的地方，上了后，才发现有的例题这样分析好，有些定理教学那样设计好，及时记载下来，无疑为今后教学积累一笔丰富的教学“财产”。
二、对偶发事件记录
课堂教学瞬息万变，不可预料情况不断发生，不仅有教师自身突发的“灵感”，而且更多的是学生在课堂中不断展现出闪光点。这需要教师随时做出“反应”或“应对”。一次在教完相似三角形这节后，我出了这么一道题：
如图3，已知△ABC中，BC=8，高AD=6，P为BC上一点，PE∥AC交AB于E，PF∥AB交AC于F，设PB=x，S△PEF=y，求y与x的关系式。
解：由PE∥AC，得△BEP～△BAC，
从而 =( )2
得S△BEP= x2
同理S△PFC= (8-x)2
∴S△PEF= (S△ABC-S△BEP-S△PFC)=- x2+3x
我突然想到，能否把条件PE∥AC改为PE∥AD？
试一试。发现只要作出一条辅助线，PE1∥AC，就可用原题方法拿来求。咦！既然PF∥AB，则点E无论在AB上怎么移动，则S△PEF面积永远不变。这样得到一个条件削弱于原题一道好题！如图4，即△ABC中，AD为△ABC边BC上的高，BC=8，AD=6，P为BC上一点，若PF∥AB，E为AB上任意一点（不同于A、B）则S△PEF的面积为定值。
又如图5：菱形ABCD中，AC、BD交于O，OE⊥AB，OF⊥AD，OE⊥CD，OH⊥BC，求证：OE=OF=OG=OA（图5）。
一般思路用角平分线性质，或证明三角形全等。有一个学生站起来激动地说：我有一个好方法，因为AC、BD分成4个三角形全等，又因为四边相等，利用面积不就可以马上得出OE=OF=OH=OG吗？妙！类似例子，举不胜举。这些突如其来的证明思路，使我们的教学充满活力与生机的源泉！
三、批改作业反思记录
批改作业，不仅是数学教学的重要环节，也是教学效果反馈的重要途径，它在督促指导学生学习、调整教师教学方案中起着非常重要的作用。写批改作业记录可以记下学生在哪些题中出错，一般思维盲点出在哪里，哪些题有一题多解。比如在浙教版作业本上有一道题：如图6，AB为⊙O直径，C、D为圆上的点，且OD∥AC，求证CD=DB。我统计一下，作业本证明方法一共出现5种（图6）：
方法一：连OC，证明圆心角∠COD=∠DOB。
方法二：连AD，证明圆周角∠CAD=∠DAB。
方法三：延长DO交⊙O于E，夹在平行弦中的弧相等 = =
方法四：利用圆周角∠CAB=圆心角∠DOB，得出 = 。
方法五：连BC，利用垂径定理证明。
另外作业本上出现的求近似数时中间过程的取值比结果要多1位，文字证明题学生经常没有写出已知与求证，画图题没保留画图痕迹，没下出结论。有些题目证明方法复杂，思路混乱等等。针对以上问题，我反思自己在课堂教学中有哪些遗漏点，如何更好地克服，从而优化课堂教学。
四、例题教学反思记录
1．解题方法规律反思
数学例题是知识由产生到应用的关键一步，即所谓“抛砖引玉”，然而很多时候“做过例题千万道，解后抛九霄云外”，难以达到提高解题能力、发展思维的目的。善于记录解题后反思方法归类、规律小结与技巧揣摩，无疑对能力提高与思维发展大有裨益。
例如：在学习垂径定理后，我发现几乎所有关于圆中，关于半径、弦、弦心距的题目基本上可以在一个基本Rt△BOD中解决（如图7）。因此，我设计几道题目让学生体会基本图形在解题中的作用。
（1）⊙O中，∠BAC=30°，半径r=2，求BC的长。
（2）⊙O中，弦CD与直径AB成30°，与AB交于E，且OE=2，直径为10，求弦CD的长。
（3）矩形ABCD中，AD=5，以AB上一点O为圆心，画圆交AB于E、F两点，交CD于MN，且AE=3，DM=4，求MN的长。
（4）圆管内原有积水水面宽CD=4cm，水深GF=1cm，求水面上升1cm（即EF=1cm）时水面AB的宽。（图8）
2．在学生易错处反思
学生知识背景、思维方式、情感体会往往与成人不同，表达方式可能不准确，因此难免出错，例题教学若能从此切入，进行解后反思，找到“病根”，从而对症下药，达到事半功倍之效。
我发现平面几何中常见“失根”问题，有以下几类也是中考常见的陷阱题。
（1）从不在⊙O上一点A引⊙O割线交⊙O于B、C，且AB•AC=64，OA=10，求⊙O的半径；
（2）⊙O半径为5，两条平行弦长分别为6和8，求平行弦间的距离；
（3）⊙O1与⊙O2交于A、B，⊙O1半径为15，⊙O2半径为20，AB=24，求圆心矩；
（4）等腰三角形一腰上高等于这腰一半，求顶角；
（5）△ABC中，∠A=60°，高BE、CF交于O，则∠BOC=______；
（6）已知AB为⊙O直径，点C在⊙O上，上过点C引直径AB的垂线，垂足为D，点D分这条直径为2∶3两部分，若r=5，求BC；
（7）若直角三角形两边长分别为3和4，求另一边；
（8）已知A、B、C为⊙O上三点，⊙O半径为2，弦AB=2 ，BC=2 ，求∠ABC所对弧AC的长度；
（9）△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2，如果要在AB上找一点E，使△ADE～△ABC，则AE=_____；
（10）两圆半径分别为6、4，两条公切线互相垂直，则圆心角_______。
总之，解后的反思方法规律得到了及时小结归纳，能使我们拨开迷雾，看清“庐山真面目”，提高教学效率。
当然，我们也可以记录一些自己在教学中的随想与感受，它可能并没有完整结构，只是把自己一些想法随时记录下来，但是它为教师为某些关键问题的深思提供了素材。以上几类反思记录也不是截然分开的，它们之间相互融合，并无本质上差异。尤其近几年推行了新课标，对很多教师来说都是全新的，这就更需要教师不断探索、尝试、实践、总结规律，教学反思变得尤其重要。让我们多动动笔、动动脑，在反思中学会思考，学会交流，学会合作！
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”