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摘要：为了解决光伏接入的电力系统模型复杂和分析困难的问题，提出了一种简单实用的光伏发电系统模型降阶方法。综合考虑主电路及控制策略建立了光伏发电系统小信号模型，分解模型中的多时间尺度特性以确定快速状态和慢速状态，并用相对速度估计法验证了快慢状态分解的正确性，避免了由摄动参数选取不当引起的降阶前后系统稳定性不一致的问题。通过忽略快动态变量对原模型进行降阶，添加校正项得到了零阶近似模型和一阶近似模型。最后在MATLAB中分别对比了降阶模型、校正模型与详细模型的动态响应和计算误差。研究结果表明，降阶模型和校正模型均能够正确反映详细模型在小扰动下的动态响应，且在提高计算速度、简化分析过程方面有明显优势。
关键词：电力系统及其自动化;奇异摄动理论;多时间尺度分解;相对速度估计;零阶近似;一阶近似
中图分类号：TM711文献标志码：A
Abstract： In order to solve the model complexity and analysis difficulty of electric system joined up by photovoltaic power system， a simple and practical model reduction method of photovoltaic power system is proposed. Considering the main circuit and control strategy， a small signal model of photovoltaic power generation system is established. On this basis， the multi-time scale characteristics of the system model are decomposed to determine the fast and slow states. The correctness of the fast and slow states decomposition is verified by the relative velocity estimation method， which avoids the inconsistency of the stability of the system before and after the reduction caused by the improper selection of perturbation parameters. By ignoring the fast dynamic factors， the order of the model is reduced， and the zero-order approximation model and the first-order approximation model are obtained by adding correction terms. Finally， the dynamic responses and calculation errors of the reduced order model， the corrected model and the original model are compared in MATLAB. The results show that the reduced model and the correction model can correctly reflect the dynamic response of the detailed model under small perturbations， and have obvious advantages in improving the calculation speed and simplifying the analysis process.
Keywords：power system and automation; singular perturbation theory; multi-time scale order reduction; relative velocity estimation; zeroth approximation; first approximation
近年來，光伏发电以其清洁、可再生、资源充足等优势，在世界范围内获得了高度关注。光伏发电系统渗透率日益增高为电力系统带来了新的挑战。由于光伏系统含有不同时间常数的变量，有些变量具有快变特征，而有些变量则具有慢变特征，其本质上是一个集多个时间尺度为一体的系统，若基于系统完整的数学模型对其进行计算和分析，容易引起“维数灾”问题[1]。因此，对光伏系统模型进行化简具有十分重要的意义。
当前光伏系统模型的化简方法主要有2类：从功能等效的角度进行等效简化或采用外特性行为的理想受控源或电流源模型，如文献[2]将光伏系统的直流部分和交流部分分别等效简化为最大出力计算模型和受控电压源及控制模块;文献[3]提出了前馈解耦控制下考虑电池U-I外特性和逆变控制系统动特性的光伏发电系统降阶模型;文献[4]提出可控充电阶段电压外环采用比例控制器可实现等效模型降阶。虽然上述简化模型能够降低系统建模时的工作量与仿真过程中的计算量，但是存在外特性行为模型无法描述系统内部因果关系[5]以及模型过于简化而降低仿真精度的问题。而数学模型降阶通过保留影响系统动态特性的主要因素、忽略次要因素，以低阶数学模型来代替原高阶数学模型进行系统分析，从而简化分析过程、提高计算效率[6]，既能够保留系统的动态特性，又可以根据计算需求适当提高模型精度。
奇异摄动降阶是数学模型降阶的有效方法之一，在电气工程的多个领域中均有应用，这为光伏系统模型简化提供了参考。刘永强等[7-8]首次建立了三时间尺度的电力系统奇异摄动模型，给出了忽略快动态和固定慢动态的降阶条件，并对纯交流系统进行了降阶研究，但未应用到交直流系统中，这一不足在文献[1]和[9]中得到了补充;文献[10]利用平衡理论对电力系统中单机无穷大系统进行了模型降阶研究;文献[11]利用奇异摄动理论对包含电压源型逆变器的微网模型进行了降阶模型的研究;文献[12]根据奇异摄动理论提出了微网中基于下垂控制的IIDG模型简化方法，并利用系统稳定域边界二次近似方法证明了IIDG模型降阶前后的暂态稳定一致性。 近年来，国内外学者逐渐将奇异摄动理论应用到了快速发展的电力电子技术和大规模接入的可再生能源发电系统，其中新能源发电系统方面的研究对象多为风电系统，而针对光伏系统的研究较少。文献[13-14]对不同风力发电系统的降阶模型进行了研究;文献[15]将奇异摄动动态降阶与特征值分析相结合， 直观、有效地分析了风电机组接入对同步机主系统低频振荡的影响;文献[16]基于奇异摄动理论分析了电力电子接口电源内部的精细时间尺度结构，建立了降阶模型并分析了其暂态稳定性;文献[17]采用奇异摄动方法简化了新能源系统控制策略的设计，提出了一种改进型频率调节模型，解决了现有频率调节方法无法实现对频率有效调节的问题。然而上述研究均未计算使降阶条件成立的奇异摄动参数范围，因为在实际系统中，摄动参数不总是满足充分小的条件，其取值会对降阶前后系统的稳定性产生影响，因此产生了一个重要研究问题——摄动参数范围问题。文献[1]给出了一种奇异摄动参数范圍的计算方法，能够解决奇异摄动参数穿越的问题，但此方法需要计算系统矩阵的Kronecker和，增加了矩阵维度，降低了计算效率，故而实用性不强。
为解决这一问题，本文提出了一种基于奇异摄动理论的光伏系统模型降阶方法。首先，将光伏系统非线性的原始模型线性化，转化为奇异摄动形式;然后，通过分解系统的多时间尺度特性和忽略快动态因子来获得降阶系统，并用相对速度估计法验证了快慢子系统分解的正确性，无需计算奇异摄动参数的范围，不仅能避免降阶前后系统稳定性不一致的问题，而且能够提高计算速度;最后在降阶系统中加入摄动参数相应的修正项，得到降阶模型的零阶近似和一阶近似，提高了降阶系统的精度。
1奇异摄动理论及相对速度估计
1.1奇异摄动理论
1.2相对速度估计
系统模型降阶的基本要求是降阶前后系统的稳定性保持一致，根据控制理论，通过分析系数矩阵的特征值，可以得到该系统在静态工作点附近的稳定性、振荡频率等大量信息[19]。若系数矩阵所有特征值均具有负实部，表示系统在该运行点是小干扰稳定的;反之，系统是不稳定的。特征值的实部还表征了系统模式的发散速度，据此可以判断快慢状态分解的正确性，具体步骤如下：
1） 根据上述奇异摄动降阶理论分解出快慢子系统，得到系数矩阵AR和A22/ε;
2） 计算矩阵AR和A22/ε的特征值，判断降阶前后系统的稳定性是否一致，若一致，进行第3步;若不一致，则表明快慢状态量的分解不正确;
3） 令σj=Re（Ωj），αi=Re（λ1），其中，Ωj是A22/ε的特征值，λ1是AR的特征值，若有min.|σj|max.|αi|，则说明快变子系统的变化速度远大于慢变子系统，即分解是正确的。
此方法不需要计算摄动参数的范围，便能判断快慢状态分解的正确性，节省了计算时间，避免了摄动参数取值不当造成的降阶前后系统稳定性不一致的问题。
2光伏系统小信号模型
3降阶结果
3.1多时间尺度分解
如表2所示，在光伏系统详细模型的微分方程中，存在不同的时间尺度，从数量级上比较，Boost升压电路方程里的小参数CPV=0.05和逆变器电路方程里的电感L=0.1 p.u.远小于LB=100 p.u.和CDC=100 p.u.，由此确定需要降阶的快状态变量为uPV和id，iq。
4仿真及分析
在用微分方程描述的一个变化过程中，若包含着多个相互作用但变化速度相差十分悬殊的子过程，这样一类过程就认为具有“刚性”，在分析计算中很难兼顾不同时间尺度的子过程，因此仿真分析时
4.2计算速度分析
本节采用表7的仿真用时来反映计算速度，用时越短表明计算速度越快。不难看出，降阶模型在减少仿真用时方面有着明显的优势，其仿真用时约为原模型的18.4%和21.3%。;校正模型的计算速度虽然较慢于降阶模型，但仍远优于原模型，其仿真用时约为原模型的22.9%和59.2%。
5结论
1）建立了两级三相式光伏发电系统的详细模型，根据奇异摄动理论提取该模型多时间尺度的奇异摄动参数，通过忽略快动态因子得到降阶模型，并利用相对速度估计法验证了快慢子系统分解的正确性，无需计算摄动参数的范围，缩短了计算时间，避免了因摄动参数选取不当而引起的降阶前后系统稳定性不一致的问题。
2）对降阶模型进行了修正，得到零阶近似模型和一阶近似模型。仿真结果表明，降阶模型和校正模型的响应与原模型基本一致，且能够提高计算效率。在精度和计算速度方面，降阶模型和校正模型有着各自的优势，前者计算速度更快，后者则更加精确。在实际应用中，可以综合精度和计算速度的要求来选取不同的模型。
参考文献/References：
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关键词：电力系统及其自动化;奇异摄动理论;多时间尺度分解;相对速度估计;零阶近似;一阶近似
中图分类号：TM711文献标志码：A
Abstract： In order to solve the model complexity and analysis difficulty of electric system joined up by photovoltaic power system， a simple and practical model reduction method of photovoltaic power system is proposed. Considering the main circuit and control strategy， a small signal model of photovoltaic power generation system is established. On this basis， the multi-time scale characteristics of the system model are decomposed to determine the fast and slow states. The correctness of the fast and slow states decomposition is verified by the relative velocity estimation method， which avoids the inconsistency of the stability of the system before and after the reduction caused by the improper selection of perturbation parameters. By ignoring the fast dynamic factors， the order of the model is reduced， and the zero-order approximation model and the first-order approximation model are obtained by adding correction terms. Finally， the dynamic responses and calculation errors of the reduced order model， the corrected model and the original model are compared in MATLAB. The results show that the reduced model and the correction model can correctly reflect the dynamic response of the detailed model under small perturbations， and have obvious advantages in improving the calculation speed and simplifying the analysis process.
Keywords：power system and automation; singular perturbation theory; multi-time scale order reduction; relative velocity estimation; zeroth approximation; first approximation
近年來，光伏发电以其清洁、可再生、资源充足等优势，在世界范围内获得了高度关注。光伏发电系统渗透率日益增高为电力系统带来了新的挑战。由于光伏系统含有不同时间常数的变量，有些变量具有快变特征，而有些变量则具有慢变特征，其本质上是一个集多个时间尺度为一体的系统，若基于系统完整的数学模型对其进行计算和分析，容易引起“维数灾”问题[1]。因此，对光伏系统模型进行化简具有十分重要的意义。
当前光伏系统模型的化简方法主要有2类：从功能等效的角度进行等效简化或采用外特性行为的理想受控源或电流源模型，如文献[2]将光伏系统的直流部分和交流部分分别等效简化为最大出力计算模型和受控电压源及控制模块;文献[3]提出了前馈解耦控制下考虑电池U-I外特性和逆变控制系统动特性的光伏发电系统降阶模型;文献[4]提出可控充电阶段电压外环采用比例控制器可实现等效模型降阶。虽然上述简化模型能够降低系统建模时的工作量与仿真过程中的计算量，但是存在外特性行为模型无法描述系统内部因果关系[5]以及模型过于简化而降低仿真精度的问题。而数学模型降阶通过保留影响系统动态特性的主要因素、忽略次要因素，以低阶数学模型来代替原高阶数学模型进行系统分析，从而简化分析过程、提高计算效率[6]，既能够保留系统的动态特性，又可以根据计算需求适当提高模型精度。
奇异摄动降阶是数学模型降阶的有效方法之一，在电气工程的多个领域中均有应用，这为光伏系统模型简化提供了参考。刘永强等[7-8]首次建立了三时间尺度的电力系统奇异摄动模型，给出了忽略快动态和固定慢动态的降阶条件，并对纯交流系统进行了降阶研究，但未应用到交直流系统中，这一不足在文献[1]和[9]中得到了补充;文献[10]利用平衡理论对电力系统中单机无穷大系统进行了模型降阶研究;文献[11]利用奇异摄动理论对包含电压源型逆变器的微网模型进行了降阶模型的研究;文献[12]根据奇异摄动理论提出了微网中基于下垂控制的IIDG模型简化方法，并利用系统稳定域边界二次近似方法证明了IIDG模型降阶前后的暂态稳定一致性。 近年来，国内外学者逐渐将奇异摄动理论应用到了快速发展的电力电子技术和大规模接入的可再生能源发电系统，其中新能源发电系统方面的研究对象多为风电系统，而针对光伏系统的研究较少。文献[13-14]对不同风力发电系统的降阶模型进行了研究;文献[15]将奇异摄动动态降阶与特征值分析相结合， 直观、有效地分析了风电机组接入对同步机主系统低频振荡的影响;文献[16]基于奇异摄动理论分析了电力电子接口电源内部的精细时间尺度结构，建立了降阶模型并分析了其暂态稳定性;文献[17]采用奇异摄动方法简化了新能源系统控制策略的设计，提出了一种改进型频率调节模型，解决了现有频率调节方法无法实现对频率有效调节的问题。然而上述研究均未计算使降阶条件成立的奇异摄动参数范围，因为在实际系统中，摄动参数不总是满足充分小的条件，其取值会对降阶前后系统的稳定性产生影响，因此产生了一个重要研究问题——摄动参数范围问题。文献[1]给出了一种奇异摄动参数范圍的计算方法，能够解决奇异摄动参数穿越的问题，但此方法需要计算系统矩阵的Kronecker和，增加了矩阵维度，降低了计算效率，故而实用性不强。
为解决这一问题，本文提出了一种基于奇异摄动理论的光伏系统模型降阶方法。首先，将光伏系统非线性的原始模型线性化，转化为奇异摄动形式;然后，通过分解系统的多时间尺度特性和忽略快动态因子来获得降阶系统，并用相对速度估计法验证了快慢子系统分解的正确性，无需计算奇异摄动参数的范围，不仅能避免降阶前后系统稳定性不一致的问题，而且能够提高计算速度;最后在降阶系统中加入摄动参数相应的修正项，得到降阶模型的零阶近似和一阶近似，提高了降阶系统的精度。
1奇异摄动理论及相对速度估计
1.1奇异摄动理论
1.2相对速度估计
系统模型降阶的基本要求是降阶前后系统的稳定性保持一致，根据控制理论，通过分析系数矩阵的特征值，可以得到该系统在静态工作点附近的稳定性、振荡频率等大量信息[19]。若系数矩阵所有特征值均具有负实部，表示系统在该运行点是小干扰稳定的;反之，系统是不稳定的。特征值的实部还表征了系统模式的发散速度，据此可以判断快慢状态分解的正确性，具体步骤如下：
1） 根据上述奇异摄动降阶理论分解出快慢子系统，得到系数矩阵AR和A22/ε;
2） 计算矩阵AR和A22/ε的特征值，判断降阶前后系统的稳定性是否一致，若一致，进行第3步;若不一致，则表明快慢状态量的分解不正确;
3） 令σj=Re（Ωj），αi=Re（λ1），其中，Ωj是A22/ε的特征值，λ1是AR的特征值，若有min.|σj|max.|αi|，则说明快变子系统的变化速度远大于慢变子系统，即分解是正确的。
此方法不需要计算摄动参数的范围，便能判断快慢状态分解的正确性，节省了计算时间，避免了摄动参数取值不当造成的降阶前后系统稳定性不一致的问题。
2光伏系统小信号模型
3降阶结果
3.1多时间尺度分解
如表2所示，在光伏系统详细模型的微分方程中，存在不同的时间尺度，从数量级上比较，Boost升压电路方程里的小参数CPV=0.05和逆变器电路方程里的电感L=0.1 p.u.远小于LB=100 p.u.和CDC=100 p.u.，由此确定需要降阶的快状态变量为uPV和id，iq。
4仿真及分析
在用微分方程描述的一个变化过程中，若包含着多个相互作用但变化速度相差十分悬殊的子过程，这样一类过程就认为具有“刚性”，在分析计算中很难兼顾不同时间尺度的子过程，因此仿真分析时
4.2计算速度分析
本节采用表7的仿真用时来反映计算速度，用时越短表明计算速度越快。不难看出，降阶模型在减少仿真用时方面有着明显的优势，其仿真用时约为原模型的18.4%和21.3%。;校正模型的计算速度虽然较慢于降阶模型，但仍远优于原模型，其仿真用时约为原模型的22.9%和59.2%。
5结论
1）建立了两级三相式光伏发电系统的详细模型，根据奇异摄动理论提取该模型多时间尺度的奇异摄动参数，通过忽略快动态因子得到降阶模型，并利用相对速度估计法验证了快慢子系统分解的正确性，无需计算摄动参数的范围，缩短了计算时间，避免了因摄动参数选取不当而引起的降阶前后系统稳定性不一致的问题。
2）对降阶模型进行了修正，得到零阶近似模型和一阶近似模型。仿真结果表明，降阶模型和校正模型的响应与原模型基本一致，且能够提高计算效率。在精度和计算速度方面，降阶模型和校正模型有着各自的优势，前者计算速度更快，后者则更加精确。在实际应用中，可以综合精度和计算速度的要求来选取不同的模型。
参考文献/References：
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