[摘要]许多数学问题都是由一个几何问题演变而来的，学习中，只要善于挖掘数式的信息特征，联想“形”的几何意义，就可使“式”的问题迎刃而解。
　　[关键词]数式 信息特征 形
　　
　　数学中许多数式问题都暗含着形的信息，如：x2±xy+y2可看作是以x、t为边，夹角为120°或60°的三角形的余弦定理结构；（x2-x1）2+（y2-y1）2表示两点间的距离；x2+y2=a2表示圆或直角三角形结构；b-ya-x表示直线的斜率，
　　（AP=(a,b)表示直线AP的斜率为ba）；ax+by=k表示平行直线束…，解题时，只要抓住“式”的信息特征，联想“形”的几何意义，就可使“式”的问题得到直观、现象的解决。
　　【例1】设a、b、c∈R+，求证：a2-ab+b2+b2+c2＞c2+ac+a2
　　分析：此时直接证明比较困难，观察被开方式，类比余弦定理的表现特征，可变形如下：可平面上无法构造三条线段共点且两两之间的夹角分别为 60°、90°、120°的模型，故考虑向空间发展。
　　
　　
　　证明：作一个四面体 S-ABC如图：使得SA=a,SB=b,SC=c,且
　　
　　
　　
　　评析：由三角形三边关系知：本题中任意两个根式的和都大于第三个根式。
　　【例2】设a是任意实数，求证：
　　
　　分析：被开方式是二次三项式，易想到配方，将配方的结果与两点间距离公式相对照，利用三角形两边之差小于第三边，易证：
　　
　　证明：令，
　　
　　则
　　
　　那么k可看作是x轴上的动点A(a,0)到两点的距离之差，
　　
　　如图即：k=｜AB｜-｜AC｜
　　
　　∵三角形两边之差小于第三边
　　
　　∴｜｜AB｜-｜AC｜｜＜｜BC｜，而｜BC｜=1
　　
　　∴｜k｜＜1
　　
　　即：｜a2+a+1-a2-a+1｜＜1。
　　
　　评析：1.VABC中 ｜AB｜+｜AC｜＞｜BC｜即：｜a2+a+1+a2-a+1｜＞1
　　
　　2.若有数式得到的定点B,C所在的直线和x轴不平行，则｜｜AB｜-｜AC｜｜≤｜BC｜，如｜a2+4-a2-2a+2｜≤2
　　
　　
　　【例3】已知x≥0,y≥0且x+12y=2求μ=x2+y2得最值。
　　分析：x≥0,y≥0,∴x+12y=1表示一条直线0≤x≤1上的线段，则μ=x2+y2表示原点0,(0,0)到这条线段上的点的距离。
　　解：Qx≥0,y≥0,x+12y=1,
　　
　　μ表示原点到线段AB:x+12y=1(0≤x≤1)上点的距离（如图），Q原点到直线2x-y-2=0的距离为｜-2｜5，且垂足在线段AB上，又AB在x,y轴上的截距分别为1和2。∴25≤μ≤2∴45≤μ≤4即μmax=4,μmin=45。
　　
　　评析：本题亦可用代数方法和三角方法来解，但解法都不及原解法直观、简明。
　　又如：美国第三届IMO试题：试确定方程组：的所有实数解。
　　分析：由x+y+z=3,x2+y2+z2得，
　　
　　该方程组有实数解的几何意义是：直线x+y=3-z和圆x2+y2=3-z2又公共点，
　　即圆心(0,0)到直线x+y=3-z的距离不大于半径，于是：得 z=1，此时x=y=z=1。
　　
　　所以方程组有实数解此解也满足x5+y5+z5=3，
　　故原方程组有唯一的一组实数解。
　　【例4】求函数的值域。
　　
　　分析：联想两点间的斜率公式，转而求点(-2,-1)与单位圆上点的连线的斜率范围，不难求得：。
　　从上述实例可以看出，许多数学问题都是有一个几何问题演变而来的，只是抹去了几何的面目而成为抽象的代数或三角问题，学习中，只要善于挖掘数式的信息特征，恢复或构造出相应的几何图形，问题就会迎刃而解。
　　
　　（作者单位：河南叶县高中）