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民主课堂就是在教师的引导下，学生以极大的热情参与课堂教学。在课堂上，他们能够无拘无束地发表自己的见解，表达自己的情感，在与学生的讨论中，在与老师的交流中能时时迸发出智慧的火花。这样的课堂，学生的思想是放飞的，精神是放松的，心情是愉悦的；这样的课堂才能较好的启迪学生的思维，较好的开发学生的智力，较大的提高学生的能力。那么，在实际教学中如何体现民主，笔者认为可从以下几个方面着手。
一、让学生多观察。
高中数学是一门以观察、分析、解决问题为基础的学科。可见，培养学生观察能力是学好高中数学的一种重要手段。通过观察可以启迪学生的思维，让学生多留心自己的生活，了解事物发展的特征及其发生的条件，还可以用获取的信息来解决相关的数学问题。如在一些基本图形的教学中，我们可以拿出具体的模型，让学生从不同角度进行观察后并画出图形。这样一来既可以帮助学生更好地理解三视图，还能让其在实践的过程自发的体会和领悟到图形的正确画法。既充能分地发挥学生的主观能动性，又能让课堂变得生动活泼。
首先，再一次明确实线和虚线的运用原则。直观图中的实线和虚线分别反映空间形体的可见的线和不可见的线。之后出示一个三菱锥模型，让学生观察并画出它的三视图，很快就能得到下列图形。
在学生完成绘图后，再出示右下图。这个时候学生会发现
图中的错误，线段 用的是实线，而线段 和线段 却是虚线。无论从哪一个角度去观察三菱锥，也不会有这种情况，不符合实线和虚线的使用原则。这样学生通过本位观察、换位观察、体验观察三个层次的活动感悟到了观察要注意全面性，长期以往，学生能养成好观察、善观察的习惯。从而发展学生的空间观念，培养学生思维的全面性。
二、让学生多思考
孔子说：“学而不思则罔”。思是思维能力提高的保证，而思维能力则是人的智力的核心，因此，课堂教学中应多让学生思考：数学概念的提出与抽象，公式的提出与概括，题目解答的思路与方法的寻找，问题的辩析，知识的联系与结构等等。教师应多置疑设问，以启迪学生的思维，培养学生的思维能力。通过让学生多思考，学生的数学思维定能迸发出一个个耀眼的火花，有时还会出现预想不到的令人可喜的结果。如 “某人早8：00从山下的旅店出发，沿着某一条路径上山，下午5：00到达山顶看日落，之后留宿于山顶。次日看完日出后，于早上8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅店。试证明该人必在两天当中的同一时刻经过路径中的同一地点”一题，是从我们实际生活当中提炼出来的，与一般套用“路程=速度×时间”的题目不一样，但又有着千丝万缕的联系。在本题当中，我们不知道游客步行的路程，只能知道游客步行的时间。并且在游客上山、下山的过程当中肯定不是匀速的，这与事实不合，那么我们就无法用“平均速度”来解答。由于上述原因，很多同学便感觉无从下手，要解出该题更是天方夜谭。
此时，我启发学生静静地思考，独立地思考：生1：要证明：旅客必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点。首先，要搞清楚不论是上山还是下山，旅客步行的路程都是相同的。其次，上山和下山所用的时间是相等的。
生2：我们可以把旅客在两天的步行看成是在同一天中两名旅客的步行。把题目变换成：有两名旅客，甲在山脚准备上山，乙在山顶准备下山，上山和下山都只有一条路。甲乙两人同时在早上8：00出发，下午5：00到达目的地。这时，问题显而易见，两人肯定会在同一时刻同一地点相遇。因为两人相向而行，必定会相遇……，学生能突破思维定势 ，无疑得益于平时的多思考。
三、让学生多发言
民主课堂的一个重要标志，就是让学生多发言。因为语言是思维的外化，是思维的物质形式，知识的内化与相应的智力活动都必须在伴随着语言表述的过程中而内化，因此，在应用题教学中，应多让学生用数学语言说清题意，表述数量关系、解题思路，按运算意义口述列式根据、解题程序和解题方法。这样可以直接了解学生审题和理解题意的能力，便于教师根据学生的反馈信息调节自己的教学，从而有的放矢地帮助学生掌握解答应用题的方法；在操作题教学中，要注意多让学生用数学语言有条理地叙述操作过程，表述获取知识的思维过程，把动手操作、动脑理解、动口表达有机地结合起来，促进感知有效地转化为内部的智力活动，达到深化理解知识的目的。当然，学生的发言主要是单个学生说，而不是一哄而起，更不是漫无边际地乱说。 总之，在教学中，应多让学生用准确、精炼、清晰、完整的语言表述观察过程、操作过程、算理和解题思路以及获取知识的思维过程，久而久之，学生既会想又会说，既可以培养学生数学语言的表达能力，又可以促进学生思维能力的发展。
四、让学生多练习
数学教学的目的之一是培养学生的基本技能，而技能形成的重要手段是练习。因此，在课堂教学中应让学生多练习，但这多练习也并非是一个 “多”字，而是要讲究方法，巧妙安排，这样才能提高练习的效果，更好的培养学生的基本技能。
1.尽可能让学生练。因为教材上不是对每一新知识都配有相应的练习题，这就要求教师要适时给出适当的题目让学生练，这就体现一个“多”字。
2.有针对性的练。这点最重要，因为教材上的练习配备并没有说明这个练习配哪个知识点，哪道例题。讲完一个知识点、一道例题，及时配上哪些题目作为练习，这就要求教师巧妙安排，而不能前段时间教师讲，后段时间学生练，这样练的针对性不强效果自然受影响。
3.注意练习的方式。或学生集体练，或小组竞赛练，或学生扮演练，或好生练，或学困生练，这都要根据题目的数量、题目的难易和时间的松紧来安排。
五、让学生多讨论
课堂讨论是一种促进学生合作交流、主动探索、自主学习的重要方法。自学课本可讨论，置疑设问可讨论，解决问题可讨论……。由于学生彼此思维较能相通，心与心较为坦诚。因此，在讨论的过程中，学生必然需要交换思想，切磋意见，争议有效方法，有时还要与同伴的方法作比较，甚至可能要论证同伴的方法是否有错，这就大大促进学生的自主活动，有助于形成自我教育的要求与能力。通过讨论，使学生的思路发散，知道如何从不同的角度考虑同一个问题，如何得到解决问题的最佳策略和方法，这一切都有利于知识的灵活运用，有助于分析问题、解决问题能力的培养和提高。总而言之，精心设计课堂讨论动作中的每一个环节，认真研究和把握课堂讨论的艺术，让学生多参加讨论，有助于创造一个生动活泼、主动探索的数学学习环境，对挖掘学生个人内在潜能，增强互助、团结协作、创新的意识都大有益处。
六、让学生多反思
反思是一项重要的思维活动，是学生学习的动力。我们在数学教学中要注重学生反思能力的培养。例如：“二次方程ax2 bx c=0 两实根的平方和为 m，两根和为 n，试求am bn 2c 的值”一题，很多学生在练习时，没有清晰的思路，有些学生考虑了根与函数的关系，虽然能解出此题，但过程较为繁琐。于是在点评时，鼓励大家反思题目已知及所求目标的特征，比较所求目标am bn 2c 与方程ax2 bx c=0 ，就会发现它们中a 、b 、c 出现的顺序完全一致，只是目标中 c的系数为2 ，方程中 c的系数为 1，而从1 到2 的最简单的方法就是加法。经过如此反思、探索，基础较好的学生马上顿悟过来，为什么不利用方程根的定义来解决这一问题呢？于是得到如下简捷的求法。
解：设方程的两根分别为x1 x2则有 ax12 bx1 c=0 ①，ax22 bx2 c=0 ②，式① 式②得：a（x12 x22） b（x1 x2） 2c=0 ，而由已知得 x12 x22=m，x1 x2=n am bn 2c=0。所以我们要通过多种途径培养学生的反思习惯，比如，反思初步的想法是否合理，使思维更加严谨；反思有没有不同的方法，使思维更加开阔；反思哪些方法是最简洁有效的，使思维更加优化……这样可以使学生真正抓住数学的本质，发展数学思维能力。哲人笛卡儿说过“我思故我在”，我们说：“在学习过程中，让学生多反思吧！”
以上“六多”构成了民主课堂特色，观察是前提，思考是核心，发言、练习是中心，讨论、反思是提高。总之，课堂教学应立足于学生的全面发展，充分利用“六多”创设民主气氛，从而较好地实现以教师为主导、学生为主体的教学原则，更好地培养学生的能力，提高课堂教学效率。
一、让学生多观察。
高中数学是一门以观察、分析、解决问题为基础的学科。可见，培养学生观察能力是学好高中数学的一种重要手段。通过观察可以启迪学生的思维，让学生多留心自己的生活，了解事物发展的特征及其发生的条件，还可以用获取的信息来解决相关的数学问题。如在一些基本图形的教学中，我们可以拿出具体的模型，让学生从不同角度进行观察后并画出图形。这样一来既可以帮助学生更好地理解三视图，还能让其在实践的过程自发的体会和领悟到图形的正确画法。既充能分地发挥学生的主观能动性，又能让课堂变得生动活泼。
首先，再一次明确实线和虚线的运用原则。直观图中的实线和虚线分别反映空间形体的可见的线和不可见的线。之后出示一个三菱锥模型，让学生观察并画出它的三视图，很快就能得到下列图形。
在学生完成绘图后，再出示右下图。这个时候学生会发现
图中的错误，线段 用的是实线，而线段 和线段 却是虚线。无论从哪一个角度去观察三菱锥，也不会有这种情况，不符合实线和虚线的使用原则。这样学生通过本位观察、换位观察、体验观察三个层次的活动感悟到了观察要注意全面性，长期以往，学生能养成好观察、善观察的习惯。从而发展学生的空间观念，培养学生思维的全面性。
二、让学生多思考
孔子说：“学而不思则罔”。思是思维能力提高的保证，而思维能力则是人的智力的核心，因此，课堂教学中应多让学生思考：数学概念的提出与抽象，公式的提出与概括，题目解答的思路与方法的寻找，问题的辩析，知识的联系与结构等等。教师应多置疑设问，以启迪学生的思维，培养学生的思维能力。通过让学生多思考，学生的数学思维定能迸发出一个个耀眼的火花，有时还会出现预想不到的令人可喜的结果。如 “某人早8：00从山下的旅店出发，沿着某一条路径上山，下午5：00到达山顶看日落，之后留宿于山顶。次日看完日出后，于早上8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅店。试证明该人必在两天当中的同一时刻经过路径中的同一地点”一题，是从我们实际生活当中提炼出来的，与一般套用“路程=速度×时间”的题目不一样，但又有着千丝万缕的联系。在本题当中，我们不知道游客步行的路程，只能知道游客步行的时间。并且在游客上山、下山的过程当中肯定不是匀速的，这与事实不合，那么我们就无法用“平均速度”来解答。由于上述原因，很多同学便感觉无从下手，要解出该题更是天方夜谭。
此时，我启发学生静静地思考，独立地思考：生1：要证明：旅客必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点。首先，要搞清楚不论是上山还是下山，旅客步行的路程都是相同的。其次，上山和下山所用的时间是相等的。
生2：我们可以把旅客在两天的步行看成是在同一天中两名旅客的步行。把题目变换成：有两名旅客，甲在山脚准备上山，乙在山顶准备下山，上山和下山都只有一条路。甲乙两人同时在早上8：00出发，下午5：00到达目的地。这时，问题显而易见，两人肯定会在同一时刻同一地点相遇。因为两人相向而行，必定会相遇……，学生能突破思维定势 ，无疑得益于平时的多思考。
三、让学生多发言
民主课堂的一个重要标志，就是让学生多发言。因为语言是思维的外化，是思维的物质形式，知识的内化与相应的智力活动都必须在伴随着语言表述的过程中而内化，因此，在应用题教学中，应多让学生用数学语言说清题意，表述数量关系、解题思路，按运算意义口述列式根据、解题程序和解题方法。这样可以直接了解学生审题和理解题意的能力，便于教师根据学生的反馈信息调节自己的教学，从而有的放矢地帮助学生掌握解答应用题的方法；在操作题教学中，要注意多让学生用数学语言有条理地叙述操作过程，表述获取知识的思维过程，把动手操作、动脑理解、动口表达有机地结合起来，促进感知有效地转化为内部的智力活动，达到深化理解知识的目的。当然，学生的发言主要是单个学生说，而不是一哄而起，更不是漫无边际地乱说。 总之，在教学中，应多让学生用准确、精炼、清晰、完整的语言表述观察过程、操作过程、算理和解题思路以及获取知识的思维过程，久而久之，学生既会想又会说，既可以培养学生数学语言的表达能力，又可以促进学生思维能力的发展。
四、让学生多练习
数学教学的目的之一是培养学生的基本技能，而技能形成的重要手段是练习。因此，在课堂教学中应让学生多练习，但这多练习也并非是一个 “多”字，而是要讲究方法，巧妙安排，这样才能提高练习的效果，更好的培养学生的基本技能。
1.尽可能让学生练。因为教材上不是对每一新知识都配有相应的练习题，这就要求教师要适时给出适当的题目让学生练，这就体现一个“多”字。
2.有针对性的练。这点最重要，因为教材上的练习配备并没有说明这个练习配哪个知识点，哪道例题。讲完一个知识点、一道例题，及时配上哪些题目作为练习，这就要求教师巧妙安排，而不能前段时间教师讲，后段时间学生练，这样练的针对性不强效果自然受影响。
3.注意练习的方式。或学生集体练，或小组竞赛练，或学生扮演练，或好生练，或学困生练，这都要根据题目的数量、题目的难易和时间的松紧来安排。
五、让学生多讨论
课堂讨论是一种促进学生合作交流、主动探索、自主学习的重要方法。自学课本可讨论，置疑设问可讨论，解决问题可讨论……。由于学生彼此思维较能相通，心与心较为坦诚。因此，在讨论的过程中，学生必然需要交换思想，切磋意见，争议有效方法，有时还要与同伴的方法作比较，甚至可能要论证同伴的方法是否有错，这就大大促进学生的自主活动，有助于形成自我教育的要求与能力。通过讨论，使学生的思路发散，知道如何从不同的角度考虑同一个问题，如何得到解决问题的最佳策略和方法，这一切都有利于知识的灵活运用，有助于分析问题、解决问题能力的培养和提高。总而言之，精心设计课堂讨论动作中的每一个环节，认真研究和把握课堂讨论的艺术，让学生多参加讨论，有助于创造一个生动活泼、主动探索的数学学习环境，对挖掘学生个人内在潜能，增强互助、团结协作、创新的意识都大有益处。
六、让学生多反思
反思是一项重要的思维活动，是学生学习的动力。我们在数学教学中要注重学生反思能力的培养。例如：“二次方程ax2 bx c=0 两实根的平方和为 m，两根和为 n，试求am bn 2c 的值”一题，很多学生在练习时，没有清晰的思路，有些学生考虑了根与函数的关系，虽然能解出此题，但过程较为繁琐。于是在点评时，鼓励大家反思题目已知及所求目标的特征，比较所求目标am bn 2c 与方程ax2 bx c=0 ，就会发现它们中a 、b 、c 出现的顺序完全一致，只是目标中 c的系数为2 ，方程中 c的系数为 1，而从1 到2 的最简单的方法就是加法。经过如此反思、探索，基础较好的学生马上顿悟过来，为什么不利用方程根的定义来解决这一问题呢？于是得到如下简捷的求法。
解：设方程的两根分别为x1 x2则有 ax12 bx1 c=0 ①，ax22 bx2 c=0 ②，式① 式②得：a（x12 x22） b（x1 x2） 2c=0 ，而由已知得 x12 x22=m，x1 x2=n am bn 2c=0。所以我们要通过多种途径培养学生的反思习惯，比如，反思初步的想法是否合理，使思维更加严谨；反思有没有不同的方法，使思维更加开阔；反思哪些方法是最简洁有效的，使思维更加优化……这样可以使学生真正抓住数学的本质，发展数学思维能力。哲人笛卡儿说过“我思故我在”，我们说：“在学习过程中，让学生多反思吧！”
以上“六多”构成了民主课堂特色，观察是前提，思考是核心，发言、练习是中心，讨论、反思是提高。总之，课堂教学应立足于学生的全面发展，充分利用“六多”创设民主气氛，从而较好地实现以教师为主导、学生为主体的教学原则，更好地培养学生的能力，提高课堂教学效率。