1983年《中等数学》第4期刊登了第一届美国数学邀请赛复赛试题，其中有这样一道试题：“对于和它的每一个非空子集，我们定义交替和如下：把子集中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数（例如1，2，4，6，9的交替和是9-6 4-2 1=6，而5的交替和就是5）。对于n=7，求所有这些交替和的总和。”
　　文中作者王连笑老师给出了这一道试题的相对简单的解答。之后各地陆续出现类似考题（例如文[2]中提及的2005年地方联考题）。文中作者刘国平老师对此题作出了多种不同的解答和分析。笔者深受启发，笔者通过对此道试题解法地比较、研究与探索，寻求了一种更为容易推广的解法，希望能引起读者的兴趣。
　　记Nn=1，2…，n，设其任一非空子集A=a1，a2…，a■k（1≤k≤n， a1>a2>…>a■k），其中ai∈Nn（1≤i≤k），记这样的集合的交替和为σ（A）=■（-1）i-1ai，并且约定σ（？准）=0，并记所有的这样的交替和的总和为φn=■？滓（A）。
　　引理〓当n？埸A时，？滓（A∪n）=n-？滓（A）.（1）
　　证明〓设A=a1，a2…，a■k，（1？燮k？燮n，a1>a2>…>a■k）则A∪n=n，a1，a2…，a■k。故由交替和的定义可知：？滓（A）=■（-1）■i-1ai= a1-a2 a3-a4 … （-1）k-1a■k，而？滓（A∪n）=n-a1 a2-a3 … （-1）ka■k=n-？滓（A）。证毕。
　　若令φn（x）=■x？滓（A），由引理则可得到如下定理：
　　定理1〓当n为非负整数时，φn（x）=■x？滓（A）=（1 x）n. （2）
　　证明〓易见φn（x）=■x？滓（A） ■x？滓（A）=■（x？滓（A） x？滓（A∪{n}））=■（x？滓（A） xn-？滓（A））=■x？滓（A） ■xn-？滓（A）=φn-1（x） xn·φn-1（■）。所以
　　φn（x）=φn-1（x） xn·φn-1（■）（x≠0），①
　　∴φn（■）=φn-1（■） ■·φn-1（x）（x≠0），②
　　∴xn·φn（■）=xn·φn-1（■） φn-1（x）（x≠0），③
　　∴φn（x）=xn·φn（■）（x≠0），④
　　∴φn-1（x）=xn-1·φn-1（■）（x≠0），⑤
　　∴φn（x）=φn-1（x） x·φn-1（x）=（1 x）·φn-1（x）⑥
　　由⑥式可知，当n为正整数时，φn（x）是一个首项为φ1（x），公比为（1 x）的等比数列。因为φ1（x）=■x？滓（A）=x？滓（？准） x？滓（N1）=x0 x1=1 x，所以φn（x）=φ1（x）·（1 x）n-1=（1 x）n。
　　经验证可知上式对n=0也成立。证毕。
　　定理2〓当n为非负整数时，φn=■？滓（A）=n·2n-1.（3）
　　证明〓由定理1，当n为正整数时，在（2）式两边对x求导后再乘x得
　　x·φn（x）=■？滓（A）·x？滓（A）=nx（1 x）n-1⑦
　　在⑦式中再令x=1得
　　φn=■？滓（A）=n·2n-1
　　经验证可知上式对n=0也成立。证毕。
　　在定理2中代入n=7得φn=■？滓（A）=n·2n-1=7×27-1=448，这正是原题的解。定理1中的（2）式和定理2中的⑦式应用广泛，通过赋值可产生有趣的结果。兹举1例。
　　例〓在 （2） 式中令x=1，可得
　　φn（1）=■1=2n（4）
　　这表示Nn的子集个数有2n个。在（2）式中令x=-1，可得
　　φn（-1）=■（-1）？滓（A）=0〓n≥11〓n=0（5）
　　当n≥1时，这表示Nn的所有子集（包括空集）中，交替和为偶数的子集个数与交替和为奇数的子集个数相等；当n=0时，因为N0是空集，而σ（？准）=0，所以φ0（-1）=1。
　　上述定理及举例都是在定义了一个关于集合交替和的集函数情况下进行讨论和研究的结果，延续这一思路，还可定义和构造更多的集函数或者集组函数，详细探讨与研究留给感兴趣的读者。
　　责任编辑〓邹韵文