因大、小前提或推理形式错误导致出错
　　例1 已知函数[f（x）=b-xax2+1]是定义在（-1，1）上的奇函数，且[f（12）=-25]. 若[f（1-m）+f（1-2m）<0]，求[m]的取值范围.
　　错解 依题意得，列方程组[f（0）=0，f（12）=-25，]
　　解得[a=1，b=0.]
　　所以[f（x）=-xx2+1].
　　因为[f（1-m）+f（1-2m）<0]，即[f（1-m）<-f（1-2m），]
　　又函数[f（x）]是定义在（-1，1）上的奇函数，
　　所以[-f（1-2m）=f（2m-1）].
　　所以[f（1-m）　　又因为[f（x）=-1-x2（x2+1）2=x2-1（x2+1）2]，而[-1　　所以[x2-1<0.]
　　所以函数[f（x）=-xx2+1]在（-1，1）上单调递减.
　　所以[1-m>2m-1]，解得[m<23].
　　所以[m]的取值范围是[（-∞，23）].
　　分析 错解中大前提：函数[f（x）]的定义域是（-1，1），小前提却出现错误，其中的[1-m]和[2m-1]没有受到大前提函数的定义域（-1，1）的限制.
　　正解 依题意得，列方程组[f（0）=0，f（12）=-25，]
　　解得[a=1，b=0.]所以[f（x）=-xx2+1].
　　因为[f（1-m）+f（1-2m）<0]，即[f（1-m）<-f（1-2m），]
　　又函数[f（x）]是定义在（-1，1）上的奇函数，
　　所以[-f（1-2m）=f（2m-1）].
　　所以[f（1-m）　　又因为[f（x）=-1-x2（x2+1）2=x2-1（x2+1）2]，而[-1　　所以[x2-1<0.]
　　所以函数[f（x）=-xx2+1]在（-1，1）上单调递减.
　　所以[1>1-m>2m-1>-1，]解得[0　　所以[m]的取值范围是[（0，23）].
　　点拨 在三段论中，大前提是一般原理或已知条件，小前提是大前提的一个部分，小前提必须服从于大前提；同时推理形式也要正确.
　　例2 设[m，n，p，q]是正有理数，[p，q]是无理数. 求证：[mp+nq]是无理数.
　　错解 因为[p]是无理数，[m]是正有理数，
　　所以[mp]为无理数.
　　同理[nq]也为无理数.
　　而两个正无理数的和是无理数.
　　所以[mp+nq]是无理数.
　　分析 以上证明过程中使用的论据是“两个正无理数的和是无理数”，这实际上就是本题所要证明的问题.犯了“因为他是张三，所以他是张三”的循环论证的错误.
　　分析 用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，必须两个步骤齐全，缺一不可，尤其在第二步中必须要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法.
　　正解 （1）当[n=1]时，左边=1，右边=1，所以当[n=1]时，等式成立.
　　点拨 运用数学归纳法，要严格按照数学归纳法的三个步骤书写，初始值的证明不能少，这是归纳的基础，在第二步中必须使用归纳假设，否则就不是数学归纳法.
　　因归纳推理不全面、不深入导致错误
　　观察发现：左边是[n]个正数的和，其乘积为1，右边的值是[n]，运用重要不等式可得，[m]的值等于[sinα2]的系数的倒数之积. 即[m=2m].
　　分析 在处理时只考虑到了不等式中左边的项数和右边的值的规律，出现变形错误：[sinα+4sin3α=][sinα2+sinα2+sinα2+8sin3α≥4，]（不是恒等变形），没有更深层次地把握住[sinα]这一项的系数之和是1这个关键点，导致归纳的结论错误.
　　正解 由试题给出的规律，再写出几个式子：
　　观察发现：左边是[n]个正数的和，其乘积为1，右边的值是[n]，运用重要不等式可得，[m]的值等于[sinαn]的系数的倒数之积. 所以[m=nn].
　　答案 [nn]
　　点拨 进行归纳时，为避免运算错误和以偏概全出错，应该尽可能地多验证几个式子，同时根据其变化规律和发展趋势作出预判.
　　因反证法中的反设问题不全面导致错误
　　例6 用反证法证明：若函数[f（x）]在[a，b]上是增函数，则方程[f（x）]=0在[a，b]上至多有一个实数根.
　　错解 证明：假设方程[f（x）]=0在[a，b]上有两个实数根[α1，][α2，]并且[α1]<[α2，]则[f（α1）=f（α2）=0].
　　因为函数[f（x）]在[a，b]上是增函数，
　　所以[f（α1）　　这与[f（α1）=f（α2）]相矛盾. 所以假设不成立.
　　即方程[f（x）]=0在[a，b]上至多有一个实数根.
　　分析 “至多有一个”的反面是“至少有两个”，而不是“有两个”. 本题错在假设结论的不准确性.
　　正解 证明：假设方程[f（x）]=0在[a，b]上至少有两个实数根[α1，][α2，]…，[αn][（n≥2，][n∈N*）]，并且不妨设[α1]<[α2<…<αn，]
　　则[f（α1）=f（α2）=…=f（αn）=0].
　　因为函数[f（x）]在[a，b]上是增函数，
　　所以[f（α1）　　这与[f（α1）=f（α2）=…=0]相矛盾.
　　所以假设不成立.
　　即方程[f（x）]=0在[a，b]上至多有一个实数根.
　　点拨 命题中以“至多、至少、惟一”或以否定形式出现时，适合采用反证法. 注意：反证法的推理过程必须完全正确；否定结论时，要分析可能的全部情况，若有两种及以上情况，要应用穷举法，逐一验证，不能有遗漏；不能忽视题设条件，必须推出矛盾.