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摘要：本文通过两个原理、两个概念、两种方法、两个“特殊”、两种“分法”的分析，阐述了解排列组合应用题的基本思路和一般方法，解决学生解题时不知如何下手的问题。
关键词：加法原理，乘法原理，排列，组合，元素，位置。
排列与组合是中学数学中一个独立的篇章，虽然与旧知识联系不多，但内容比较抽象，解题方法也比较灵活。学生在初学时感到不适应，往往是听懂容易，着手解题时不知如何入手。针对这种情况，笔者在教学时作出如下尝试：
一、分清两个原理
加法原理和乘法原理的本质区别是“分类”与“分步”。 “分类”中的“类”在加法原理中是并列关系，每类方式中的每一种方法均可独立完成这件事；而“分步”中的“步”在乘法原理中是相互依存的关系，只有依次完成每个步骤后，这件事才能完成。其次这两个原理又是相互渗透的，在有些分类计数中，某些类别要分步完成，加法原理中含有乘法原理；在有些分步计数中，某些步要分类处理，乘法原理中含有加法原理。同时注意分类不重复不遗漏，分步骤要连续完整。
例1 把4封不同的信投入A、B、C三个邮箱，A中至少投1封，B中至少投2封，有几种投法？
解：由于A、B的限制，我们分三类来处理：
第一类：A中1封，B中2封，C中1封，共有12（种）。
第二类：A中1封，B中3封，C中0封，共有4（种）。
第三类：A中2封，B中2封，C中0封，共有6（种）
由加法原理：符合条件的投法共有：N=12+4+6=22（种）
这是加法原理和乘法原理相互区别又相互渗透的例子。
二、分清两个概念
排列与组合的区别在于：排列与顺序有关，组合则与顺序无关。没有附加条件的排列组合问题，常常从元素的位置有无次序上进行区分。有附加条件的排列常表现为“邻与不邻”的问题和“在与不在”的问题；有附加条件的组合常表现为“含与不含”的问题。
例2 （1）从全班42人中选出5人分别担任政治、语文、数学、物理、化学五门课的代表，其中政治课代表必须要班长或副班长担任，问有多少种不同的选法？
（2）从全班42人中选了5个代表参加会议，其中班长或副班长必须有1人在内，问有多少种不同的选法？
解：这两个题都是从全班42人中要选出5人当代表，要求有多少种不同的选法的问题。但（1）中5人担任的是不同的工作，以人为元素，以分工为位置，则每分工一次就相当于将5个不同的元素在5个不同的位置上排列一次，故属排列问题。附加条件是某元素必须“在”某位置上，因此（1） 种选法。
（2）中5人担任的是相同的工作，没有不同的分工，也就是说5个元素无次序之分，属组合问题。附加条件是某元素必须“含”在某组内，因此（2）有 种选法。
三、采用两种方法：直接法和间接法
直接法就是从题设条件出发，直接求出符合条件的答案的方法；而间接法是先求一个总体数目，再除去不合适的种数。
例3 平面上有9个红点，5个黄点，其中有2个红点和2个黄点在一条直线上，此外无任何三点共线，以这些点为顶点作三角形，其中三个顶点的颜色不完全相同的三角形有多少个？
解：采用直接法求解，可分两类：一类含2个红点，1个黄点：另一类含1个红点，2个黄点。每类中都要考虑共线的四点与其它点的区别。结果为：N=266（个）
此法稍有不慎就会重复或遗漏。
采用间接法求解：先让颜色满足条件，再除去三点共线的情况。
比较两种解法，就会发现后者具有明显的优越性。对于一个题目，究竟采用哪种方法，取决于哪种方法最省力。尤其是在解决含有“至少”、“至多”这些条件时，应考虑间接法较好。
四、选择好“特殊元素”或“特殊位置”
排列问题中涉及的事物，无非是元素和位置两种，这就决定了解排列问题的两种基本思路：从元素出发分析各种可能出现的情况；或从位置出发分析元素安排的可能情况。考虑到解题过程的简单合理，一般是先从特殊元素或特殊位置出发。
例4 从宣传队的7人中，要选出5人站成一排做表演。其中正、副队长既不站排头又不站排尾的站法有多少种？
解法一 若从正、副队长这两个特殊元素出发，则分三类：
（1）不含正、副队长的排法；（2）正、副队长必须站在中间三个位置上的排法；（3） 正、副队长只有一人排在内的排法。则共有：N=1200（种）
解法二 若从排头和排尾这两个特殊位置出发，这两个位置安排正、副队长以外的5人中任意两人，再从剩下的5人中任选取3人排在中间三个位置上。根据乘法原理，共有
N=1200（种）
解法一是先从满足特殊元素出发，而解法二是从先满足特殊位置出发的。要从先满足特殊要求出发，谁最特殊，谁的条件最强就应先满足谁，有利于把问题简化。
总之，解决排列组合应用题，应掌握一些典型的分析方法，上述方法是基本的，但不是固定的，针对题设条件，可采用各种灵活的方法。
参考文献：1、《高中代数》
2、《中学数学教与学》
作者简介：李元玉，女，（1963.10.20），重庆市合川区人，大学本科，重庆水利电力职业技术学院副教授。主要从事高等数学的教学与研究。
关键词：加法原理，乘法原理，排列，组合，元素，位置。
排列与组合是中学数学中一个独立的篇章，虽然与旧知识联系不多，但内容比较抽象，解题方法也比较灵活。学生在初学时感到不适应，往往是听懂容易，着手解题时不知如何入手。针对这种情况，笔者在教学时作出如下尝试：
一、分清两个原理
加法原理和乘法原理的本质区别是“分类”与“分步”。 “分类”中的“类”在加法原理中是并列关系，每类方式中的每一种方法均可独立完成这件事；而“分步”中的“步”在乘法原理中是相互依存的关系，只有依次完成每个步骤后，这件事才能完成。其次这两个原理又是相互渗透的，在有些分类计数中，某些类别要分步完成，加法原理中含有乘法原理；在有些分步计数中，某些步要分类处理，乘法原理中含有加法原理。同时注意分类不重复不遗漏，分步骤要连续完整。
例1 把4封不同的信投入A、B、C三个邮箱，A中至少投1封，B中至少投2封，有几种投法？
解：由于A、B的限制，我们分三类来处理：
第一类：A中1封，B中2封，C中1封，共有12（种）。
第二类：A中1封，B中3封，C中0封，共有4（种）。
第三类：A中2封，B中2封，C中0封，共有6（种）
由加法原理：符合条件的投法共有：N=12+4+6=22（种）
这是加法原理和乘法原理相互区别又相互渗透的例子。
二、分清两个概念
排列与组合的区别在于：排列与顺序有关，组合则与顺序无关。没有附加条件的排列组合问题，常常从元素的位置有无次序上进行区分。有附加条件的排列常表现为“邻与不邻”的问题和“在与不在”的问题；有附加条件的组合常表现为“含与不含”的问题。
例2 （1）从全班42人中选出5人分别担任政治、语文、数学、物理、化学五门课的代表，其中政治课代表必须要班长或副班长担任，问有多少种不同的选法？
（2）从全班42人中选了5个代表参加会议，其中班长或副班长必须有1人在内，问有多少种不同的选法？
解：这两个题都是从全班42人中要选出5人当代表，要求有多少种不同的选法的问题。但（1）中5人担任的是不同的工作，以人为元素，以分工为位置，则每分工一次就相当于将5个不同的元素在5个不同的位置上排列一次，故属排列问题。附加条件是某元素必须“在”某位置上，因此（1） 种选法。
（2）中5人担任的是相同的工作，没有不同的分工，也就是说5个元素无次序之分，属组合问题。附加条件是某元素必须“含”在某组内，因此（2）有 种选法。
三、采用两种方法：直接法和间接法
直接法就是从题设条件出发，直接求出符合条件的答案的方法；而间接法是先求一个总体数目，再除去不合适的种数。
例3 平面上有9个红点，5个黄点，其中有2个红点和2个黄点在一条直线上，此外无任何三点共线，以这些点为顶点作三角形，其中三个顶点的颜色不完全相同的三角形有多少个？
解：采用直接法求解，可分两类：一类含2个红点，1个黄点：另一类含1个红点，2个黄点。每类中都要考虑共线的四点与其它点的区别。结果为：N=266（个）
此法稍有不慎就会重复或遗漏。
采用间接法求解：先让颜色满足条件，再除去三点共线的情况。
比较两种解法，就会发现后者具有明显的优越性。对于一个题目，究竟采用哪种方法，取决于哪种方法最省力。尤其是在解决含有“至少”、“至多”这些条件时，应考虑间接法较好。
四、选择好“特殊元素”或“特殊位置”
排列问题中涉及的事物，无非是元素和位置两种，这就决定了解排列问题的两种基本思路：从元素出发分析各种可能出现的情况；或从位置出发分析元素安排的可能情况。考虑到解题过程的简单合理，一般是先从特殊元素或特殊位置出发。
例4 从宣传队的7人中，要选出5人站成一排做表演。其中正、副队长既不站排头又不站排尾的站法有多少种？
解法一 若从正、副队长这两个特殊元素出发，则分三类：
（1）不含正、副队长的排法；（2）正、副队长必须站在中间三个位置上的排法；（3） 正、副队长只有一人排在内的排法。则共有：N=1200（种）
解法二 若从排头和排尾这两个特殊位置出发，这两个位置安排正、副队长以外的5人中任意两人，再从剩下的5人中任选取3人排在中间三个位置上。根据乘法原理，共有
N=1200（种）
解法一是先从满足特殊元素出发，而解法二是从先满足特殊位置出发的。要从先满足特殊要求出发，谁最特殊，谁的条件最强就应先满足谁，有利于把问题简化。
总之，解决排列组合应用题，应掌握一些典型的分析方法，上述方法是基本的，但不是固定的，针对题设条件，可采用各种灵活的方法。
参考文献：1、《高中代数》
2、《中学数学教与学》
作者简介：李元玉，女，（1963.10.20），重庆市合川区人，大学本科，重庆水利电力职业技术学院副教授。主要从事高等数学的教学与研究。