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[摘 要] 文章以“隐性圆”的微专题教学为例，通过深度转化、 深度探究、深度延伸，引导学生归纳出各种“隐性圆”的类型，培养学生转化与化归、数形结合、特殊到一般等思想，旨在以教师的深度教学促进学生的深度学习.
[关键词] 深度教学;隐性圆;转化;探究;延伸
“微专题教学”是指以某一具体的知识点或数学思想和方法为主题，围绕与该知识点或方法关联紧密的一些具体问题设计教学. 微专题学习目标单一、实用有效，因选题精、针对性强等特点，成为高三教学，尤其是二轮复习较常采用的教学方式.本人认为微专题教学在系统归纳知识方法的同时，还要在“深度”上下功夫，旨在引导学生自主建构知识体系，更深刻地理解和把握数学知识.
本文以课本的例习题、高考题等为载体，通过挖掘、拓展等方式，归纳“隐性圆”的几种常见类型，使学生经历数形转化、从特殊到一般、课外探究等过程，增强学生自主学习、深度学习的意识，达到活化学生数学思维和发展学科核心素养的目的.
[?] 在细致审题中深度转化
数学问题中的条件往往由文字语言、符号语言、图形语言等进行综合表征，大都是直接呈现，但也蕴含一些隐含条件，教学时要引导学生细致审题. 审题，是对具体问题进行分析，提取贮存在大脑中的知识，寻求解题思路和方法. 审题要对信息经历“发现→记录→转译→整合”的过程，其中“转译”就是要求能对条件进行合理地转化，甚至是对某些不是直接呈现的条件或需要挖掘才能发现的潜在信息进行深度转化. 转化是极其重要的数学思想.通过不断地转化，把不熟悉、复杂的问题转化为熟悉、简单，甚至模式化的问题，它不但使问题化难为易，而且能提高学生的思维品质，提高学生分析问题与解决问题的能力.
例1：（2020届福建省漳州市三月质量检查理科15题）已知圆O：x2+y2=1，圆N：（x-a+2）2+（y-a）2=1. 若圆N上存在点Q，过点Q作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠AQB=60°，则实数a的取值范围是_______.
分析：如图1，如何应用条件“∠AQB=60°”是学生思维的障碍点.
由AQ，BQ与圆O相切，可知△OAQ≌△OBQ. 连接OQ，由∠OAQ=90°，∠AQO=30°，OA=1，得OQ=2，即点Q的轨迹方程为圆T：x2+y2=4. 要使圆N上存在符合条件的点Q，则圆N和圆T有公共点，需满足1≤≤3，解得a的取值范围是
1-，
1+.
本题挖掘题目隐含的几何信息，对条件做两次转化：第一次，利用三角形全等，将∠AQB=60°转化为Rt△OAQ中∠AQO=30°. 由直角三角形的性质，得到OQ=2，点Q的轨迹为圆;第二次，将“存在性”问题转化为学生熟悉的两圆有公共点问题，顺利地找到实数a应满足的不等式条件.
由该例题，归纳“隐性圆”的第一种类型.
类型一：圆的定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.
例2：（2018年高考上海卷12题）已知实数x，x，y，y满足：x+y=1，x+y=1，xx+yy=，则+的最大值为__________.
分析：由代数式x+y=1，联想到圆的方程. 因此，设点A（x，y），点B（x，y），则点A，B在单位圆上.“+”表示点A，B到直线l：x+y-1=0的距离之和，是线段AB的中点D到直线l的距离的2倍，如图2. 因AB是动弦，需解决动点D的轨迹问题. 回到题目条件“xx+yy=”，该代数式是否也有几何意义？若有，表示什么？联想到向量数量积公式，有·=xx+yy，即
·
cos∠AOB=，得∠AOB=. 由此，在等边三角形AOB中，OD=. 所以，点D的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆. 如圖3，当OD与直线l垂直时，点D到直线l的距离最大，为.所以，+的最大值是+.
数学问题的条件有时是代数表达式，有时是几何条件，往往需要借助数形结合实现二者的相互转化. 在本题中，首先，抓住数量关系中隐藏的“图形”，由代数式联想到几何意义，将条件转化为“单位圆上两点A，B满足∠AOB=”;其次，将求解目标转化为“点A，B到直线l的距离之和”，并利用梯形的性质，将两条线段的长度之和转化为“梯形中位线的2倍”. 通过转化将抽象的问题直观化，借助图形的几何性质探索代数式的最值问题，使问题明朗化.在转化过程中，动点D到直线的距离又是一个难点. 由等边三角形得到点D到原点的距离为定值，满足圆的定义，得到点D的轨迹是圆，最终将问题转化为“圆上的动点到定直线的距离的最值”问题. 通过以上层层深度转化，使原问题轻松获解.
[?] 在特殊到一般的推广中深度探究
我们知道：在圆中，直径所对的角为直角;反之，当定点A，B所对的∠APB为直角时，点P的轨迹是圆.
探究1：将“∠APB为直角”用向量表示，得到第二种类型.
类型二：两定点A，B，动点P满足·=0，则动点P的轨迹是圆.
设
AB
=2a（a>0），以AB所在直线为x轴，AB中点为原点，建立直角坐标系.设P（x，y），由·=0，化简得x2-a2+y2=0①，即x2+y2=a2. 在这个过程中，教师可引导学生进一步探究：①式的右边“0”改成其他常数，也可能是圆.即若·=λ，同理可得x2+y2=a2+λ，只需a2+λ>0，点P的轨迹也是圆.
推广1：两定点A，B，动点P满足·=λ（λ为常数），且λ+AB2>0，则动点P的轨迹是圆.
例3：已知△ABC中，
=10，·=-16，D为边BC的中点，则
等于
（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
分析：根据推广1，由·=-16，猜想点A的轨迹是圆. 如图4，以BC所在直线为x轴，D为原点，建立直角坐标系.设A（x，y），由·=-16，化简得x2+y2=9，即点A的轨迹是以D为圆心、半径为3的圆. 所以选D.
注：在推广1中，“λ+AB2”即是该圆半径的平方. 在本例中，可直接由此求得圆的半径为3.
探究2：将“∠APB为直角”用数量关系表示为“PA2+PB2=AB2”，即由学生熟悉的勾股定理，得到第三种类型.
类型三：两定点A，B，动点P满足PA2+PB2=AB2，则动点P的轨迹是以AB为直径的圆.
设
AB
=2a（a>0），以AB所在直线为x轴，AB中点为原点，建立直角坐标系.设P（x，y），由PA2+PB2=AB2，得（x+a）2+y2+（x-a）2+y2=（2a）2 ②. 化简得x2+y2=a2. 同样地，②式的右边（2a）2改为其他常数，也可能是圆. 即若PA2+PB2=λ，可得（x+a）2+y2+（x-a）2+y2=λ，化简得x2+y2=-a2.
推广2：两定点A，B，动点P满足PA2+PB2=λ（λ为常数），且2λ>AB2，则动点P的轨迹是圆.
从初中圆的一条几何性质出发，通过改变条件的表现形式，改装成高中的符号语言，在用“坐标法”研究轨迹方程的过程中，把握圆方程的本质，深度探究，将结论从特殊到一般进行推广.教师在简单的基础知识复习中，追本溯源，展现知识生成过程，通过改编、推广或加强命题，基于学生的学段和学情，螺旋式上升地设计教学，使教学具有深度.
[?] 在课外拓展中深度延伸
例4：（2004年人教A版必修2，第124页B组练习题3）已知点M与两定点O（0，0），A（3，0）的距离比为，求点M的轨迹方程.
分析：设点M（x，y），由=，得（x+1）2+y2=4.
通过该题，将特殊问题一般化，得到第四种类型.
拓展1（类型四）：两定点A，B，动点P满足=λ（λ>0，且λ≠1），则动点P的轨迹是圆，称为阿波罗尼斯圆.
例5：（2020年龙岩市高中毕业班质量检查理科16题）现有△ABC，AC=4，sinC=2sinA，则当△ABC的面积最大时，AC边上的高为__________.
分析：由正弦定理，sinC=2sinA?BA=2BC. A，C为定点，因此，点B的轨迹是阿波罗尼斯圆. 如图5，建立直角坐标系.A（-2， 0），C（2， 0），B（x，y） ，由BA=2BC，可求得点B的轨迹为圆E，方程为
x-2+y2=. 當BE⊥x轴时，△ABC的面积最大，AC边上的高为该圆的半径.
教师还可以要求优秀学生课外阅读、了解阿波罗尼斯圆的性质.
拓展2：如图6，设M，N分别为线段AB按定比λ分割的内分点和外分点（即==λ），则MN为阿波罗尼斯圆的直径，且MN=AB.
在例5中，由BA=2BC，得定比λ=2. 由拓展2，可知该阿波罗尼斯圆的直径是.△ABC的面积最大时，AC边上的高为圆的半径.
以教材为背景，对教材展开充分的思考和研究，将一些与课内学习的知识相关联的但无法在课堂上解决的问题“抛”出，在课外拓展中深度延伸，力争获得教材背后所蕴含的知识外延. 课外拓展能促进知识的深化和迁移，为优生数学思维和能力的提升提供空间.
微专题更注重知识间的内在联系，通过更深层的逻辑关系建立更深刻、更系统的知识体系. “微专题教学”在追求精准教学的同时，应关注深度教学.教师利用微专题，确定准确的教学目标，深化教学设计，对知识、结论进一步发掘和拓展;重视教学过程中不断地驱动学生的思考，促使学生主动探究，以此强化学生对已掌握的知识进行更深层次的应用.在微专题中开展深度教学，能有效促进学生从凭经验的浅层学习到有思考的深度学习，实现“因微而深”的教学效果，更能培养学生的高阶思维;反之，基于学生深度学习基础上的深度教学更能提高学生的探究能力，将核心素养落实到实处. 二者的融合使得教学相长，相得益彰.
[关键词] 深度教学;隐性圆;转化;探究;延伸
“微专题教学”是指以某一具体的知识点或数学思想和方法为主题，围绕与该知识点或方法关联紧密的一些具体问题设计教学. 微专题学习目标单一、实用有效，因选题精、针对性强等特点，成为高三教学，尤其是二轮复习较常采用的教学方式.本人认为微专题教学在系统归纳知识方法的同时，还要在“深度”上下功夫，旨在引导学生自主建构知识体系，更深刻地理解和把握数学知识.
本文以课本的例习题、高考题等为载体，通过挖掘、拓展等方式，归纳“隐性圆”的几种常见类型，使学生经历数形转化、从特殊到一般、课外探究等过程，增强学生自主学习、深度学习的意识，达到活化学生数学思维和发展学科核心素养的目的.
[?] 在细致审题中深度转化
数学问题中的条件往往由文字语言、符号语言、图形语言等进行综合表征，大都是直接呈现，但也蕴含一些隐含条件，教学时要引导学生细致审题. 审题，是对具体问题进行分析，提取贮存在大脑中的知识，寻求解题思路和方法. 审题要对信息经历“发现→记录→转译→整合”的过程，其中“转译”就是要求能对条件进行合理地转化，甚至是对某些不是直接呈现的条件或需要挖掘才能发现的潜在信息进行深度转化. 转化是极其重要的数学思想.通过不断地转化，把不熟悉、复杂的问题转化为熟悉、简单，甚至模式化的问题，它不但使问题化难为易，而且能提高学生的思维品质，提高学生分析问题与解决问题的能力.
例1：（2020届福建省漳州市三月质量检查理科15题）已知圆O：x2+y2=1，圆N：（x-a+2）2+（y-a）2=1. 若圆N上存在点Q，过点Q作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠AQB=60°，则实数a的取值范围是_______.
分析：如图1，如何应用条件“∠AQB=60°”是学生思维的障碍点.
由AQ，BQ与圆O相切，可知△OAQ≌△OBQ. 连接OQ，由∠OAQ=90°，∠AQO=30°，OA=1，得OQ=2，即点Q的轨迹方程为圆T：x2+y2=4. 要使圆N上存在符合条件的点Q，则圆N和圆T有公共点，需满足1≤≤3，解得a的取值范围是
1-，
1+.
本题挖掘题目隐含的几何信息，对条件做两次转化：第一次，利用三角形全等，将∠AQB=60°转化为Rt△OAQ中∠AQO=30°. 由直角三角形的性质，得到OQ=2，点Q的轨迹为圆;第二次，将“存在性”问题转化为学生熟悉的两圆有公共点问题，顺利地找到实数a应满足的不等式条件.
由该例题，归纳“隐性圆”的第一种类型.
类型一：圆的定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.
例2：（2018年高考上海卷12题）已知实数x，x，y，y满足：x+y=1，x+y=1，xx+yy=，则+的最大值为__________.
分析：由代数式x+y=1，联想到圆的方程. 因此，设点A（x，y），点B（x，y），则点A，B在单位圆上.“+”表示点A，B到直线l：x+y-1=0的距离之和，是线段AB的中点D到直线l的距离的2倍，如图2. 因AB是动弦，需解决动点D的轨迹问题. 回到题目条件“xx+yy=”，该代数式是否也有几何意义？若有，表示什么？联想到向量数量积公式，有·=xx+yy，即
·
cos∠AOB=，得∠AOB=. 由此，在等边三角形AOB中，OD=. 所以，点D的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆. 如圖3，当OD与直线l垂直时，点D到直线l的距离最大，为.所以，+的最大值是+.
数学问题的条件有时是代数表达式，有时是几何条件，往往需要借助数形结合实现二者的相互转化. 在本题中，首先，抓住数量关系中隐藏的“图形”，由代数式联想到几何意义，将条件转化为“单位圆上两点A，B满足∠AOB=”;其次，将求解目标转化为“点A，B到直线l的距离之和”，并利用梯形的性质，将两条线段的长度之和转化为“梯形中位线的2倍”. 通过转化将抽象的问题直观化，借助图形的几何性质探索代数式的最值问题，使问题明朗化.在转化过程中，动点D到直线的距离又是一个难点. 由等边三角形得到点D到原点的距离为定值，满足圆的定义，得到点D的轨迹是圆，最终将问题转化为“圆上的动点到定直线的距离的最值”问题. 通过以上层层深度转化，使原问题轻松获解.
[?] 在特殊到一般的推广中深度探究
我们知道：在圆中，直径所对的角为直角;反之，当定点A，B所对的∠APB为直角时，点P的轨迹是圆.
探究1：将“∠APB为直角”用向量表示，得到第二种类型.
类型二：两定点A，B，动点P满足·=0，则动点P的轨迹是圆.
设
AB
=2a（a>0），以AB所在直线为x轴，AB中点为原点，建立直角坐标系.设P（x，y），由·=0，化简得x2-a2+y2=0①，即x2+y2=a2. 在这个过程中，教师可引导学生进一步探究：①式的右边“0”改成其他常数，也可能是圆.即若·=λ，同理可得x2+y2=a2+λ，只需a2+λ>0，点P的轨迹也是圆.
推广1：两定点A，B，动点P满足·=λ（λ为常数），且λ+AB2>0，则动点P的轨迹是圆.
例3：已知△ABC中，
=10，·=-16，D为边BC的中点，则
等于
（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
分析：根据推广1，由·=-16，猜想点A的轨迹是圆. 如图4，以BC所在直线为x轴，D为原点，建立直角坐标系.设A（x，y），由·=-16，化简得x2+y2=9，即点A的轨迹是以D为圆心、半径为3的圆. 所以选D.
注：在推广1中，“λ+AB2”即是该圆半径的平方. 在本例中，可直接由此求得圆的半径为3.
探究2：将“∠APB为直角”用数量关系表示为“PA2+PB2=AB2”，即由学生熟悉的勾股定理，得到第三种类型.
类型三：两定点A，B，动点P满足PA2+PB2=AB2，则动点P的轨迹是以AB为直径的圆.
设
AB
=2a（a>0），以AB所在直线为x轴，AB中点为原点，建立直角坐标系.设P（x，y），由PA2+PB2=AB2，得（x+a）2+y2+（x-a）2+y2=（2a）2 ②. 化简得x2+y2=a2. 同样地，②式的右边（2a）2改为其他常数，也可能是圆. 即若PA2+PB2=λ，可得（x+a）2+y2+（x-a）2+y2=λ，化简得x2+y2=-a2.
推广2：两定点A，B，动点P满足PA2+PB2=λ（λ为常数），且2λ>AB2，则动点P的轨迹是圆.
从初中圆的一条几何性质出发，通过改变条件的表现形式，改装成高中的符号语言，在用“坐标法”研究轨迹方程的过程中，把握圆方程的本质，深度探究，将结论从特殊到一般进行推广.教师在简单的基础知识复习中，追本溯源，展现知识生成过程，通过改编、推广或加强命题，基于学生的学段和学情，螺旋式上升地设计教学，使教学具有深度.
[?] 在课外拓展中深度延伸
例4：（2004年人教A版必修2，第124页B组练习题3）已知点M与两定点O（0，0），A（3，0）的距离比为，求点M的轨迹方程.
分析：设点M（x，y），由=，得（x+1）2+y2=4.
通过该题，将特殊问题一般化，得到第四种类型.
拓展1（类型四）：两定点A，B，动点P满足=λ（λ>0，且λ≠1），则动点P的轨迹是圆，称为阿波罗尼斯圆.
例5：（2020年龙岩市高中毕业班质量检查理科16题）现有△ABC，AC=4，sinC=2sinA，则当△ABC的面积最大时，AC边上的高为__________.
分析：由正弦定理，sinC=2sinA?BA=2BC. A，C为定点，因此，点B的轨迹是阿波罗尼斯圆. 如图5，建立直角坐标系.A（-2， 0），C（2， 0），B（x，y） ，由BA=2BC，可求得点B的轨迹为圆E，方程为
x-2+y2=. 當BE⊥x轴时，△ABC的面积最大，AC边上的高为该圆的半径.
教师还可以要求优秀学生课外阅读、了解阿波罗尼斯圆的性质.
拓展2：如图6，设M，N分别为线段AB按定比λ分割的内分点和外分点（即==λ），则MN为阿波罗尼斯圆的直径，且MN=AB.
在例5中，由BA=2BC，得定比λ=2. 由拓展2，可知该阿波罗尼斯圆的直径是.△ABC的面积最大时，AC边上的高为圆的半径.
以教材为背景，对教材展开充分的思考和研究，将一些与课内学习的知识相关联的但无法在课堂上解决的问题“抛”出，在课外拓展中深度延伸，力争获得教材背后所蕴含的知识外延. 课外拓展能促进知识的深化和迁移，为优生数学思维和能力的提升提供空间.
微专题更注重知识间的内在联系，通过更深层的逻辑关系建立更深刻、更系统的知识体系. “微专题教学”在追求精准教学的同时，应关注深度教学.教师利用微专题，确定准确的教学目标，深化教学设计，对知识、结论进一步发掘和拓展;重视教学过程中不断地驱动学生的思考，促使学生主动探究，以此强化学生对已掌握的知识进行更深层次的应用.在微专题中开展深度教学，能有效促进学生从凭经验的浅层学习到有思考的深度学习，实现“因微而深”的教学效果，更能培养学生的高阶思维;反之，基于学生深度学习基础上的深度教学更能提高学生的探究能力，将核心素养落实到实处. 二者的融合使得教学相长，相得益彰.