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摘 要：研究了非立即变质品的库存策略问题，考虑需求依赖于变质时间、允许缺货且短缺量全部延迟回补，建立以单位时间成本最小化为目标的补货库存模型。提出并理论证明了模型存在唯一最优解的条件，算例计算验证了模型的可行性，灵敏度分析的结果表明：随着产品需求对变质时间敏感程度、保鲜期、市场总潜在需求、固定订购成本以及单位缺货成本的增加，库存系统单位时间成本都随之增加，其中产品的市场总潜在需求对库存系统单位时间成本影响最大;另外，除固定订购成本的增加会使系统服务水平降低以外，其他参数的增加均会导致系统服务水平提高，其中服务水平对单位缺货成本的变化最为敏感。
关键词：非立即变质品;需求依赖于变质时间;延迟回补
中图分类号：F253 文献标识码：A
Abstract： This paper studies the inventory strategy problem of non-instantaneous deteriorating products. Considering that demand depends on the deterioration time， the system allows out-of-stock and all the shortages are delayed， aiming to minimize the average total cost in the replenishment inventory model. Through theoretical analysis， the condition that the model has the only optimal solution is proved. The calculation of the example verifies the feasibility of the model. Sensitivity analysis was carried out on the main parameters. The results show that with the increase of the demand sensitivity to deterioration time， non-deterioration period of items， the potential market demand， fixed order cost and unit shortage cost， the average total cost of the inventory system will increase. The potential market demand has greatest impact on the average total cost of the inventory system; in addition， the increase of fixed order cost will reduce the system service level and the increase of other parameters will lead to an increase in system service level. The service level is most sensitive to the change of unit shortage cost.
Key words： non-instantaneous deteriorating items; deterioration-time-dependent demand; backlogging
1 研究背景
在现实生活中易变质品大量存在，比如水果、蔬菜、肉类以及牛奶等。美国食品市场研究所2012年的报告指出，2010年超市总销售收入为4 440亿美元，其中来自易变质产品的收入占50.62%[1]。大多数易变质品由于储存技术以及运输方式的改善，产品经过一定的保鲜期之后才开始发生变质，这种现象被称为“非立即变质”。假设消费者能够观察到非立即变质品的变质情况比如蔬菜水果的腐烂以及新鲜程度，随着变质的开始会有一部分消费者放弃购买，并且变质时间越长放弃购买的消费者数量就越多，产品在不同阶段对消费者的吸引力不同[2]，研究需求依赖于变质时间的非立即变质品的库存策略问题对于提高零售商利润以及节约社会资源具有重要的意义。
Goyal和Giri[3]综述了从20世纪90年代早期到2000年期间易变质品的库存管理模型的文献，Bakker，Riezebos和Teunter[4]又在前者的基础上综述了2001年到2011年相关研究的文献。近年来，学者对变质品的库存更是进行了大量研究，比如张冲和袁兰兰[5]综合近些年基于信用支付的供应链库存模型文献，主要从考虑可变需求、变质品、库存有限、订购量阈值以及两层信用支付等多个角度对相关文献进行总结和述评。计国君和韩尚清[6]分别研究了需求受价格影响和需求同时受价格和库存量影响两种情况，销售商允许缺货并且缺货量部分延迟订购，在有多个供应商和多个销售商时，供应商将库存外包于第三方的变质品库存联合决策模型。徐菱、江文辉、丁小东[7]构建了一个销售周期内易变质品变质数量可折价回购以及需求依赖于库存水平的库存模型，该模型以平均利润最大化为决策目标，并通过算例完成了不同销售价格、折价回购比例和库存影响因子條件下的最优订货新策略的确定及灵敏度分析。
变质品的变质率是影响其库存模型的重要因素，Ghare和Schrader[8]最早将常数变质率引入库存模型，Covert，Philpi[9]和Philpi[10]将常数变质率的假设拓展到时变变质率，并且先后研究了两参数和三参数Weibull分布变质率。Jalan， Giri和Chaudhuri[11]在Covert和Philpi[9]研究的基础上建立了线性需求以及允许缺货的两参数Weibull分布的库存控制模型。Chakrabarty， Girl和Chaudhuri[12]又在Philpi[10]研究的基础上，构建了一个允许缺货并且需求时变、变质率为具有很强普适性的三参数Weibull函数的库存模型。目前关于易变质品的文献研究中，大多数都假设当产品一抵达仓库时立即开始变质，近年来的文献可参考Ahmed等[13]和Begum等[14]，然而随着储藏技术的提高以及运输方式的改变，大多数物品都会有一个保持其原始状态不变的时间段，此时间段被称为保鲜期，经过保鲜期之后物品才逐渐发生变质，Wu， Ouyang和Yang[15]将这种现象称为“非立即变质品”，并且研究了以平均成本最小化为决策目标，需求依赖于即时库存水平，允许缺货且缺货量部分延迟订购的库存补货问题。经过Chang，Teng和Goyalde[16]的进一步研究，当需求依赖于库存水平时，以平均成本为决策目标所获得的策略不是最优，以平均利润为目标函数对Wu， Ouyang和Yang[15]的模型进行了修正，除此之外考虑到现实生活中大多数零售商只有有限的货架空间，因此设定了最大库存水平，并且放松了当不允许缺货时期末库存水平为零的限制。此后，很多研究者都展开了对“非立即变质品”的研究。闵杰和周永务[17]构建了以系统平均利润最大化为目标的非立即变质品的库存模型，该库存模型需求依赖于库存水平并且需求在保鲜期和变质期内受库存水平影响的系数不同，其变质率为常数，系统允许缺货并且顾客愿意等待的比例是关于其等待时间的下降函数。Geetha和Uthayakumar[18]，李明芳和王道平[19]，Musa和Sani[20]均研究了非立即变质品的延期付款情况。李贵萍、段永瑞、霍佳震[21]考虑非立即变质品的订购、定价和保鲜技术投资的联合决策问题，该模型以平均利润最大化为目标，假设产品需求依赖于销售价格，变质率时变且不允许缺货，可以通过保鲜技术的投资来改变产品的保鲜期和时变变质率。 考虑非立即变质品的需求特点，闵杰和周永务[17]以平均利润最大化为决策目标，构建了一个需求依赖于库存水平的非立即变质品库存模型，该模型允许缺货且部分延迟订购率是与顾客等待时间相关的负指数函数，并且提出在現实生活中消费者更倾向于购买新鲜的产品，因此产品在保鲜期和变质期内需求受库存水平影响的系数是不同的。Maihami和Kamalabadi[22]假设需求同时依赖于价格和时间，构建了非立即变质品的联合定价与库存控制模型，该模型以平均利润最大化为目标，允许缺货并且缺货量部分延迟订购。Shah， Soni和Patel[23]构建了一个需求同时依赖于销售价格和产品广告频次的非立即变质品的联合库存控制和市场决策模型，该模型变质率时变且不允许缺货。
过去的文献表明，关于非立即变质品库存控制的研究主要集中在需求依赖于库存水平，而关于需求在变质期间随变质时间时变的研究较少。本文以单位时间成本最小化为目标，建立了需求依赖于变质时间的非立即变质品库存模型，需求在变质期间随变质时间呈指数下降，系统允许缺货且缺货量全部延迟订购。通过理论分析确定最优的补货时机和补货数量，通过算例计算以及对主要参数进行灵敏度分析，进一步验证本文模型的有效性。
2 数学模型
考虑一个以单位时间成本最小化为决策目标的非立即变质品的库存系统，该系统需求依赖于变质时间，允许缺货且缺货量全部延迟订购，研究订货周期及其订货量的库存决策问题。
参考文献：
[1] CHEN X， PANG Z， PAN L. Coordinating inventory control and pricing strategies for perishable products[J]. Operations Research， 2014，62（2）：284-300.
[2] 张云丰，王勇，龚本刚，等. 需求依赖销售价格与变质时间的三级时滞易变质品供应链协调[EB/OL]. （2018-10-26）[2019-02
-15]. http：www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-JSJJ2018102600Ghtm.
[3] GOYAL S K， GIRI B C. Recent trends in modeling of deteriorating inventory[J]. European Journal of Operational Research， 2001，134（1）：1-16.
[4] BAAKKER M， RIEZEBOS J， TEUNTER R H. Review of inventory systems with deterioration since 2001[J]. European Journal of Operational Research， 2012，221（2）：275-284.
[5] 张冲，袁兰兰. 基于信用支付的供应链库存模型综述与展望[J]. 物流科技，2016（12）：129-132.
[6] 计国君，韩尚清. 基于第三方的易变质产品库存决策[J]. 控制与决策，2015，30（4）：663-669.
[7] 徐菱，江文辉，丁小东. 考虑变质量可折价回购与库存水平影响需求的易变质品库存模型[J]. 数学的实践与认识，2016，46（24）：79-87.
[8] GHARE P M， SCHRADER G F. A model for an exponentially decaying inventory[J]. Journal of Industrial Engineering， 1963（14）：238-243.
[9] COVERT R P， PHILIP G C. An EOQ model for items with Weibull distribution deterioration[J]. AllE Transactions， 1973，5（4）：323-326.
[10] PHILIP G C. A generalized EOQ model for items with Weibull distribution deterioration[J]. AllE Transactions， 1974，6（2）：159 -162.
[11] JALAN A K， GIRI R R， CHAUDHURI K S. EOQ model for items with Weibull distribution deterioration， （下转第41页）
关键词：非立即变质品;需求依赖于变质时间;延迟回补
中图分类号：F253 文献标识码：A
Abstract： This paper studies the inventory strategy problem of non-instantaneous deteriorating products. Considering that demand depends on the deterioration time， the system allows out-of-stock and all the shortages are delayed， aiming to minimize the average total cost in the replenishment inventory model. Through theoretical analysis， the condition that the model has the only optimal solution is proved. The calculation of the example verifies the feasibility of the model. Sensitivity analysis was carried out on the main parameters. The results show that with the increase of the demand sensitivity to deterioration time， non-deterioration period of items， the potential market demand， fixed order cost and unit shortage cost， the average total cost of the inventory system will increase. The potential market demand has greatest impact on the average total cost of the inventory system; in addition， the increase of fixed order cost will reduce the system service level and the increase of other parameters will lead to an increase in system service level. The service level is most sensitive to the change of unit shortage cost.
Key words： non-instantaneous deteriorating items; deterioration-time-dependent demand; backlogging
1 研究背景
在现实生活中易变质品大量存在，比如水果、蔬菜、肉类以及牛奶等。美国食品市场研究所2012年的报告指出，2010年超市总销售收入为4 440亿美元，其中来自易变质产品的收入占50.62%[1]。大多数易变质品由于储存技术以及运输方式的改善，产品经过一定的保鲜期之后才开始发生变质，这种现象被称为“非立即变质”。假设消费者能够观察到非立即变质品的变质情况比如蔬菜水果的腐烂以及新鲜程度，随着变质的开始会有一部分消费者放弃购买，并且变质时间越长放弃购买的消费者数量就越多，产品在不同阶段对消费者的吸引力不同[2]，研究需求依赖于变质时间的非立即变质品的库存策略问题对于提高零售商利润以及节约社会资源具有重要的意义。
Goyal和Giri[3]综述了从20世纪90年代早期到2000年期间易变质品的库存管理模型的文献，Bakker，Riezebos和Teunter[4]又在前者的基础上综述了2001年到2011年相关研究的文献。近年来，学者对变质品的库存更是进行了大量研究，比如张冲和袁兰兰[5]综合近些年基于信用支付的供应链库存模型文献，主要从考虑可变需求、变质品、库存有限、订购量阈值以及两层信用支付等多个角度对相关文献进行总结和述评。计国君和韩尚清[6]分别研究了需求受价格影响和需求同时受价格和库存量影响两种情况，销售商允许缺货并且缺货量部分延迟订购，在有多个供应商和多个销售商时，供应商将库存外包于第三方的变质品库存联合决策模型。徐菱、江文辉、丁小东[7]构建了一个销售周期内易变质品变质数量可折价回购以及需求依赖于库存水平的库存模型，该模型以平均利润最大化为决策目标，并通过算例完成了不同销售价格、折价回购比例和库存影响因子條件下的最优订货新策略的确定及灵敏度分析。
变质品的变质率是影响其库存模型的重要因素，Ghare和Schrader[8]最早将常数变质率引入库存模型，Covert，Philpi[9]和Philpi[10]将常数变质率的假设拓展到时变变质率，并且先后研究了两参数和三参数Weibull分布变质率。Jalan， Giri和Chaudhuri[11]在Covert和Philpi[9]研究的基础上建立了线性需求以及允许缺货的两参数Weibull分布的库存控制模型。Chakrabarty， Girl和Chaudhuri[12]又在Philpi[10]研究的基础上，构建了一个允许缺货并且需求时变、变质率为具有很强普适性的三参数Weibull函数的库存模型。目前关于易变质品的文献研究中，大多数都假设当产品一抵达仓库时立即开始变质，近年来的文献可参考Ahmed等[13]和Begum等[14]，然而随着储藏技术的提高以及运输方式的改变，大多数物品都会有一个保持其原始状态不变的时间段，此时间段被称为保鲜期，经过保鲜期之后物品才逐渐发生变质，Wu， Ouyang和Yang[15]将这种现象称为“非立即变质品”，并且研究了以平均成本最小化为决策目标，需求依赖于即时库存水平，允许缺货且缺货量部分延迟订购的库存补货问题。经过Chang，Teng和Goyalde[16]的进一步研究，当需求依赖于库存水平时，以平均成本为决策目标所获得的策略不是最优，以平均利润为目标函数对Wu， Ouyang和Yang[15]的模型进行了修正，除此之外考虑到现实生活中大多数零售商只有有限的货架空间，因此设定了最大库存水平，并且放松了当不允许缺货时期末库存水平为零的限制。此后，很多研究者都展开了对“非立即变质品”的研究。闵杰和周永务[17]构建了以系统平均利润最大化为目标的非立即变质品的库存模型，该库存模型需求依赖于库存水平并且需求在保鲜期和变质期内受库存水平影响的系数不同，其变质率为常数，系统允许缺货并且顾客愿意等待的比例是关于其等待时间的下降函数。Geetha和Uthayakumar[18]，李明芳和王道平[19]，Musa和Sani[20]均研究了非立即变质品的延期付款情况。李贵萍、段永瑞、霍佳震[21]考虑非立即变质品的订购、定价和保鲜技术投资的联合决策问题，该模型以平均利润最大化为目标，假设产品需求依赖于销售价格，变质率时变且不允许缺货，可以通过保鲜技术的投资来改变产品的保鲜期和时变变质率。 考虑非立即变质品的需求特点，闵杰和周永务[17]以平均利润最大化为决策目标，构建了一个需求依赖于库存水平的非立即变质品库存模型，该模型允许缺货且部分延迟订购率是与顾客等待时间相关的负指数函数，并且提出在現实生活中消费者更倾向于购买新鲜的产品，因此产品在保鲜期和变质期内需求受库存水平影响的系数是不同的。Maihami和Kamalabadi[22]假设需求同时依赖于价格和时间，构建了非立即变质品的联合定价与库存控制模型，该模型以平均利润最大化为目标，允许缺货并且缺货量部分延迟订购。Shah， Soni和Patel[23]构建了一个需求同时依赖于销售价格和产品广告频次的非立即变质品的联合库存控制和市场决策模型，该模型变质率时变且不允许缺货。
过去的文献表明，关于非立即变质品库存控制的研究主要集中在需求依赖于库存水平，而关于需求在变质期间随变质时间时变的研究较少。本文以单位时间成本最小化为目标，建立了需求依赖于变质时间的非立即变质品库存模型，需求在变质期间随变质时间呈指数下降，系统允许缺货且缺货量全部延迟订购。通过理论分析确定最优的补货时机和补货数量，通过算例计算以及对主要参数进行灵敏度分析，进一步验证本文模型的有效性。
2 数学模型
考虑一个以单位时间成本最小化为决策目标的非立即变质品的库存系统，该系统需求依赖于变质时间，允许缺货且缺货量全部延迟订购，研究订货周期及其订货量的库存决策问题。
参考文献：
[1] CHEN X， PANG Z， PAN L. Coordinating inventory control and pricing strategies for perishable products[J]. Operations Research， 2014，62（2）：284-300.
[2] 张云丰，王勇，龚本刚，等. 需求依赖销售价格与变质时间的三级时滞易变质品供应链协调[EB/OL]. （2018-10-26）[2019-02
-15]. http：www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-JSJJ2018102600Ghtm.
[3] GOYAL S K， GIRI B C. Recent trends in modeling of deteriorating inventory[J]. European Journal of Operational Research， 2001，134（1）：1-16.
[4] BAAKKER M， RIEZEBOS J， TEUNTER R H. Review of inventory systems with deterioration since 2001[J]. European Journal of Operational Research， 2012，221（2）：275-284.
[5] 张冲，袁兰兰. 基于信用支付的供应链库存模型综述与展望[J]. 物流科技，2016（12）：129-132.
[6] 计国君，韩尚清. 基于第三方的易变质产品库存决策[J]. 控制与决策，2015，30（4）：663-669.
[7] 徐菱，江文辉，丁小东. 考虑变质量可折价回购与库存水平影响需求的易变质品库存模型[J]. 数学的实践与认识，2016，46（24）：79-87.
[8] GHARE P M， SCHRADER G F. A model for an exponentially decaying inventory[J]. Journal of Industrial Engineering， 1963（14）：238-243.
[9] COVERT R P， PHILIP G C. An EOQ model for items with Weibull distribution deterioration[J]. AllE Transactions， 1973，5（4）：323-326.
[10] PHILIP G C. A generalized EOQ model for items with Weibull distribution deterioration[J]. AllE Transactions， 1974，6（2）：159 -162.
[11] JALAN A K， GIRI R R， CHAUDHURI K S. EOQ model for items with Weibull distribution deterioration， （下转第41页）