摘要：函数的值域是函数的重要性质之一，也是学习中的难点之一。求函数的值域在知识上，除涉及函数的所有知识外，还需要不等式等其他重要知识点；在解题方法上，具有较强的综合性，学生在学习数学过程中，函数是重要的内容，既是重点也是难点。
　　关键词：函数值域；解题方法；重要内容；重点难点
　　中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）02-0107
　　求函数的值域是学生感到棘手的问题，它所涉及的知识面广，方法灵活多样，在考试中经常出现，若方法运用得当，就能起到化繁为简、事半功倍的作用。本文就函数值域的常用求法归纳如下，供参考。
　　其一，配方法：主要是针对二次函数或可化成二次函数型的最值及值域问题，可用此法。
　　例：1. 求函数y=-x2 2x 3的值域
　　解析：y=-（x-1）2 4，当x=1时，y最大=4，所以，值域是（-∞，4]。
　　2. 求函数y=32x 2·3x-1在[0，1]上的最大值。
　　解析：令3x=t，则y=t2 2t-1=（t 1）2-2
　　x∈[0，1]，t∈[1，3]，当t=3时，y最大=14
　　其二，换元法：若函数表达式中含有根式、分式、指数式、对数式等，可考虑用此方法：
　　例：1. 求函数f（x）=x 2的最大值。
　　解析：方法一：设=t t≥0，x=1-t2
　　y=-（t-1）2 2，当t=1即x=0时，y最大=2
　　方法二：利用导数法，定义域是{x/x≤1}
　　f ′（x）=1-由f ′（x）=0，得x=0
　　當x<0时，f′（x）>0，f（x）为增函数
　　当0　　当x=0时，f（x）最大=f（0）=2
　　2. 求函数y=x y=x 的值域
　　解析：换元法 由4-x2≥0，知-2≤x≤2
　　设x=2cos，θ∈[0，π]，则y=2cosθ =2cosθ 2sinθ=22（θ ）
　　∵θ ∈[，]，∴sin（θ ）∈[，1]
　　∴y∈[-2，2]
　　其三，导数法（利用函数单调性）
　　函数y=ax （a>0，b>0）被称为对勾函数，以此为背景的考题，曾是考试热点。
　　例：谈论函数f（x）=ax （a>0，b>0）的单调性
　　解析：f ′（x）=a-令f ′（x）=0 ax2-b=0 x=±
　　当f ′（x）>0 x> 或x<-
　　当f ′（x）<0 - 　　f（x）在（-∞，-]，[， ∞）上是增函数
　　f（x）在[-，0），（0，]上是减函数
　　2. 求函数f（x）=x 在[3， ∞]的最小值
　　解析：此函数是对勾函数，由其性质，知f（x）在[3， ∞]上是增函数，所以，其最小值是。
　　其四，分离常数法
　　例：1. 求函数y=的值域
　　解析：y=2 其值域是{y/y≠2}
　　2. 求y=的值域
　　解析：法一：分離常数法，y=由2x-1>-1
　　知<2或>0，∴y>1或y<1
　　法二：反函数法2x=，x=log2
　　由>0，得y>1或y<-1。
　　3. 求函数y=（x>1）的最小值。
　　解析：∵x>-1，∴x 1>0
　　原式==x 1 5≥2 5=9
　　当且仅当x 1=，x=1时，等号“=”成立
　　∴当x=1时，原函数的最小值为9。（先分离常数，再用不等式法求最小值）
　　其五，不等式法
　　例：已知：x>0，y>0 ，且 =1，求x y的最小值。
　　方法一：把求二元函数f（x，y）=x y，转化为一元函数。由 =1得y==9 ，由x>0y=>0得x>1
　　∵x y=x 9 =x-1 10≥2 10=16当且仅当x-1=即：x=4时，上式取“=”号
　　∴x y的最小值是16。
　　方法二：对二元函数也可转化为 型函数，然后再用均值不等式。
　　（上接第107页）
　　∵ =1∴x y=（x y）（ ）=10 ≥16当且仅当=，即：x=4，y=12时，上式取“=”号
　　∴x y的最小值为16。
　　其六，线性规划问题，求目标函数的最值问题
　　例：已知x，y满足约束条件x≥1x-3y≤-43x 5y≤30
　　①求目标函数，y=2x y的最值
　　②求y=的取值范围
　　③求y=x2 y2的取值范围
　　其七，数形结合法，函数表达式具有明显的某种几何定义，如两点距离、直线斜率等，用此方法会更加简单、一目了然。
　　例：1. 求函数y= 的值域
　　解析：y=x-2 x 8可看成数轴上点x与点2与点-8的距离之和，∴y∈[10， ∞）
　　2. 求函数y==的值域
　　解析：上式可变形为：
　　y=-
　　==
　　上式可看成在坐标平面内动点P（x，0）到定点A（3，2）与B（-2，1），距离之差。
　　即：y=AP-BP
　　由AP-BP≤AB=
　　∴-≤y≤
　　y∈[-，]
　　（作者单位：山西省忻州职业技术学院 034000）