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【人物速写】
从教29年，魏光明老师一路走来，没有轰轰烈烈的先进事迹，也没有催人泪下的动人故事，朴朴实实但步步脚印。对于自己得到的那些令人艳羡的众多荣誉，他总是淡淡一笑，说自己就是一个数学老师。他的低调在圈内是出了名的。
魏光明常常说：“教师一旦离开课堂，对课堂就没有感觉了，无论干什么，我不会离开课堂。”的确，从工作初期一名普通的教师到大队辅导员，再到副校长，直到现在做校长，始终未曾离开他挚爱的课堂。
平时不喜欢多言多语的他，走进课堂便是另一番状态：思维缜密，环环相扣，行云流水，举重若轻，逐步形成了“简约而不显简单、严谨而不失幽默”的教学风格。走过的每一所学校，他的课堂都是开放的，老师们可以随时走进他的课堂听课。他大气的整体架构、精致的细节刻画、简洁的教学语言、精当的课堂点拨，给听课的教师留下深刻的印象。
他从不迷信任何权威，敢于直面教学中那些司空见惯的问题，并进行寻根问底的质疑。针对学生负担普遍偏重的不争事实，他一直潜心探寻减轻学生过重学业负担的路径，在全国范围内率先提出并进行了“核心知识教学”的研究。更难能可贵的是，在当下这样一个较为浮躁的年代，他十年如一日，始终聚焦这一话题，在一些权威性的杂志中经常会看到他关于“核心知识教学”的真知灼见，给有些迷茫的小学数学教学注入了一股清泉。近几年，他的研究也引起越来越多的省内外同行的关注，他的“核心知识教学”的理念也越传越远。
“一个人可以走得很快，但一群人才会走得更远。”这也是魏光明老师常挂在嘴边的话。作为一名资深的数学教师，工作中，他不但热心培养本校教师，还利用特级教师工作室这一平台，助力着更大范围的青年教师的成长。
听老师的课是他最乐意的事。只要有时间，他都会夹着听课笔记走进老师们的课堂。学校辦公室、图书馆、走廊、操场、食堂……到处留下他和老师们交流课堂教学的身影。许多年轻教师开设公开课前喜欢请他去听课指导，他不厌其烦，常常是同一节课听好多次，一遍遍地打磨，大到一节课的整体设计，小到教师的每句问话、每个手势，他都细致地加以指导。有时还亲自上阵，就某个教学环节进行手把手的示范。上完课，来不及休息，又和听课教师一起交流反思。年轻教师在这样的打磨中逐渐成长起来，成为学校教育教学的中坚力量。
教而不思则罔。他一直倡导教师不能死教书，要学会思考。不少教师在他的影响下渐渐地拿起了笔，随时记录下自己教育教学生活中的点滴感悟。对于老师们较为粗糙的论文、案例，他利用休息时间帮助斟酌谋篇布局，推敲遣词造句，文章经他几轮修改后，往往焕然一新。读着他修改后的文章，老师们佩服得五体投地。如今，在各级教育主管部门组织的征文竞赛获奖教师名单中，他所在学校的老师总会有相当部分榜上有名。他还主动将老师们优秀的作品推荐至各级报刊，大家慢慢体验到成功的喜悦，一股浓浓的教科研之风便在不知不觉中蔚然形成。
魏光明老师就是这样，没有华丽的言辞，更多地以无声的行动有力地诠释着自己对教育的深刻理解。一切为了学生，过一种朴素的教育生活，成为他永恒的希冀与不懈的追求。
【人物档案】
魏光明，南京市莫愁湖小学校长，江苏省小学数学特级教师，江苏省中青年学术技术带头人，南京市“基础教育专家”培养对象，南京晓庄学院客座教授。长期致力于小学数学“核心知识”的教学研究，不断丰富“核心知识”教学的理论观点和操作策略，相关成果已经成为国内该领域教学研究的重要文献。先后主持了“小学数学核心知识教学的理论与实践研究”等4个相关的省级研究课题。有60多篇论文在《人民教育》《江苏教育》《教学与管理》《小学数学教师》等省级以上教育报刊发表，其中多篇被人大复印资料《小学数学教与学》全文转载。先后数十次在浙江、山东、安徽、河北、广西、江西、陕西等省级以上的专题研讨活动中上研究课、作专题讲座。2016年7月参加第13届国际数学教育大会，并展示、演讲其学术论文。
摘要：一个人的核心竞争力在于拥有独立学习、批判性思考和解决问题等关键能力，以及适应未来社会发展和个人发展的必备品格。未来学校学科教育的转型，必然关注“减量提质”，实现从注重知识数量的累积走向关注人的内在素养的提升。精选数学核心知识，拉长其创生、体验和完善过程，可以将学生核心素养的培育目标落到实处。
关键词：核心知识； 过程； 数学化； 小学数学
中图分类号：G622 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2017）04B-0008-06
当下，一个人的核心竞争力不再是简单占有海量知识，而是拥有独立学习、批判性思考和解决问题等关键能力，以及适应未来社会发展和个人发展的必备品格。精选数学核心知识，引导学生通过数学学习学会思维，形成关键能力和必备品格融为一体的核心素养，是未来数学教育转型的必由之路。从人的认知加工规律看，拉长核心知识的创生、体验和完善过程，促进深度理解，有利于将培育学生的数学核心素养的目标落到实处。
一、产出导向，拉长知识创生的过程
小学数学课程呈现的知识，对于整个人类而言，是一些已经证实了的基础的数学知识，是解释生活现象、解决实际问题、揭示客观规律的经常使用的思维工具，但对于学生而言，初次触摸这些知识的本质依然需要经历一个较长的过程。从这个意义上说，教学处于内容领域、知识序列起点位置的核心知识，应该拉长知识创生的过程，让学生充满好奇、由外而内地走进数学，满足创造的欲望，体验创造的快乐，增强学习的获得感。
这里以四年级下册“用数对确定位置”一课建构“数对”概念、初步理解“数对”含义的环节为例。
创设学生熟悉的生活情境，引导学生通过观察，用一个合适的序数描述小军站立的位置：
师：课间活动时，几个同学站成一排打太极（见图1）。小军在什么位置？
生1：小军在第5个。 生2：从左往右数，小军在第5个。（点评：也可以说成“小军在左起第5个。”）
生3：小军在倒数第2个。
生4：小军在右起第2个。
师：看来，我们可以用表示次序的数准确描述小军所在的位置。
接着，呈现例题场景图（见图2），引导学生观察、思考、表达：
师：上课了，小军坐在什么位置？
生1：小军坐在第4组第3个。
生2：小军坐在第4竖排倒数第3个。
生3：小军坐在右起第3组第3个。
生4：小军坐在第3横排第4个。
……
师：如果没有图，这样描述小军的位置有什么缺点？你有什么好的建议？
在学生强烈感受到统一表达的需要时，教师结合学生已有的经验，简要介绍“列”和“行”的含义，以及确定第几列、第几行的规则，再让学生指出场景图中某一列或某一行。
师：现在，请你介绍一下小军坐在哪里。
生1：小军坐在第4列第3行。
生2：小军坐在第3行第4列。
在学生再次感受到需要统一表达时，教师介绍数学规定，并要求学生规范表达。同时，让学生在图上指出具体的“第几列第几行”所在的位置。
在此基础上，教师启发学生对座位的场景加以抽象，将场景图变为平面图，让学生体会到符号表征的简洁，进而再启发学生用更简洁的方法来表示小军在二维空间的位置。
师：能不能用更简洁的方法来表示小军的位置呢？（留时间让学生想一想）比如，能不能用有次序的数来表示？如果能，这样的数有什么特点？ 先想一想，再在作业纸上写一写。
在呈现、讨论、比较多种形式的表示方法之后，学生已经充分认识到精准描述二维平面空間中物体的位置，需要用两个表示次序的数分别对应“列”和“行”两个要素，此时距离用有序数对“（4，3）”表示小军的位置就仅剩一步之遥了。
我们尊重并利用学生头脑中已有的关于表示物体位置，尤其是物体次序的背景知识和生活经验，让他们经历多次认知冲突，逐步认识到根据各自经验和习惯来描述物体的位置容易引起歧义，进而产生统一、规范表达的需求，体验由多元表达走向统一表达的必要性，并为后续感悟数对中两个数的顺序埋下伏笔。随着“用更简洁的方法来表示小军的位置”这一要求的提出，基于先前经验的迁移和丰富材料的比较，一个新的数学知识“数对”以及用数对表示二维平面空间物体位置的方法的出现便水到渠成。
在知识爆炸的“互联网 ”时代，创新和创造是造成人与人之间巨大差异的关键因子，且每一个人都可能成为知识的创生者和贡献者。站在人的发展的高度来看，数学教育理应重视培养学生的创新意识、创新习惯和创新能力，并逐渐使之成为一种自觉的行动。具体教学中，我们不能简单讲授、依赖大量练习巩固、凭借记忆套用关于“是什么”的静态知识，而应该创设一个在解决实际问题、解释生活现象、交流各自观点时容易产生认识分歧和认知冲突的真实情境，拉长学生经历类似科学探究的“再发现”“再创造”的过程，让学生在弄清“为什么”的基础上发现“客观性知识”，发明“主观性知识”。我们应该追本溯源，借鉴数学发展的历史，遵循人类认识世界的一般规律，解构课程、教材中静态呈现的知识，将其设计成具有情境性、问题性、探索性、体验性的学习活动，重建课堂教学流程，让学生充分参与和深度卷入学习过程，进而基于各自的生活经验、背景知识、思考习惯、认知方式，“创造”出能够表征个体独特心理意义的知识，再通过合情推理、猜想验证、查阅资料、比较优化、交流互动，建构客观、精准的数学知识。长期通过“创造”知识进行数学学习，学生在遭遇困难时就不会无所适从，而是会凭借思维惯性创生新的知识、新的工具、新的方法去探索和尝试解决问题。
二、精细加工，拉长知识体验的过程
不可否认，练习是将知识转化为技能的桥梁，加大练习量可在短期内提高学生的学业成绩。也许是受这种思维的影响，相当一部分教师常常在快速揭示新知之后，便开始组织大容量、高密度、多层次的练习，以巩固新知，记忆新知，提高熟练程度。事实上，像这样缺少对知识进行精细加工的做法，会弱化所学知识与真实情境、与现实生活、与已有经验、与其他知识之间的联系，导致学生产生迷思和错误，这是造成知识的长时记忆、深度理解、灵活应用出现困难与障碍的根源所在。教学中，应该重视对新知进行精细加工，赋予其丰富的心理意义。
这里以四年级下册“用数对确定位置”一课中用“数对”表示二维平面空间中物体位置的环节为例。
在经历由多元表达走向统一表达，由文字表达到数学表达，建立起“数对”的概念之后，教师引导学生进一步理解数对的含义，初步学会用数对表示物体的位置。
师：小军的位置用（4，3）表示，这个数对表示什么意思？
生：（4，3）表示第4列第3行。
师：想一想，第3列第4行的位置怎样用数对表示？
生：用（3，4）表示。
师：（指着两个数对）都是用4和3两个数表示，为什么（4，3）和（3，4）表示的位置不一样？有什么需要提醒同学的？
在学生认识到数对的两个数分别对应着“列”和“行”两个要素，建立数对与物体位置的一一对应关系之后，进一步走向纵深——
师：如果今天来了几位老师听课，坐在第1列的左边，可以第几列表示？怎样用数对表示几位听课老师的位置？（见图3）先想一想，再在组内交流。
在经历了短暂的沉寂、争辩之后，学生给出了结论——
生1：听课的老师可以用第0列表示。
生2：我有补充。在直尺上，1的前面一个数是0，所以听课老师的位置在第0列。
生3：（从前往后指着说）第一位听课老师的位置用数对表示是（0，1）…… 师：学了知识会用，了不起。想一想，我（上课老师）所在的位置是第几行？怎样用数对表示我的位置？
生：你的位置在第0行，可以用（3，0）表示。
师：这时又来了一位听课老师，就坐在刚才第一位听课老师的前面（在平面图上同步呈现），他的位置怎样用数对表示？
在学生会用（0，0）表示最后一位听课老师的位置之后，引导学生进一步讨论不确定数对——
师：小芳的位置用（ 3 ， □ ）表示，她坐在哪一个位置？小明的位置用（ □ ， 3 ）表示，他坐在哪一个位置？先看图想一想，再在组内交流。
生1：小芳可能坐在第3列的每一个位置，小明可能坐在第3行的每一个位置，不能确定坐在哪一个位置上。
生2：我有不同意见。小明不能坐在第4列第3行的位置，那是小军的位置。
师：观察真仔细！这样看来，用一个数能确定一个人所在平面中的位置吗？
……
从上面可以看出，教学没有止于学生了解（4，3）的含义，初步学会用有序数对表示物体的位置，而是对直观平面图的价值进行深度挖掘，引导学生一步一步走向纵深。教学中，通过比较，让学生认识到数对中的两个数具有特定的含义，前后顺序不能颠倒，感悟到表示同一行或同一列的特殊数对的特征；通过联系生活现实，让学生理解第0列、第0行的合理性，巧妙渗透原点的含义，初步感悟直角坐标系的原型；通过想象，让学生能够根据“数对”判断对应位置的物体，进一步认识不确定的数对，从而帮助学生体会唯一性，建立数对与物体位置之间的一一对应关系，获得精确认知和深度理解。
众所周知，学习最重要的任务之一，就是把握知识的本质，建立知识之间的关联，形成良好的认知结构。这就为知识的精细加工指明了方向。我们知道，碎片呈现、浅层感知、机械记忆获得的知识，很容易受到干扰和挤压而更快遗忘。在“提质减量”、培育素养的背景下，我们可以从这样几个方面对核心知识进行精细加工：一是从深度和广度两个层面挖掘核心知识涉及的背景材料、数学思想和日常应用等方面的信息，根据学生的经验世界解构与重构教学内容，引导学生熟悉承载知识的生活情境，感知包裹知识的具体事实，把握丰富多变的材料细节，从而建立准确的心理表征，获得对其内涵和本质的实质性理解，感悟知识背后所蕴含的数学思想方法；二是借助同化和顺应，依据知识本质、逻辑关系、数学思想和思维方法的一致性，引导学生学会纵向拓展和横向延伸，建立所学知识与其他知识之间多维度、多层次的联结，优化知识体系和认知结构，增强认知结构的生长活力和吸附能力，让学生的学习知其然也知其所以然，知道知识的来龙去脉和纵横联系。这样教学，学生获得的知识饱满而清晰，活跃度高，迁移性强，同时获得的还有透过现象概括本质、通过局部推断整体、借助已知探索未知的思维方式，提升观察和比较、抽象和概括、分析和推理、想象和质疑等能力，增强关联性和系统化思考的意识。
三、长程呼应，拉长知识完善的过程
数学核心知识的学习，学生通常需要在不同时间，从不同视角切入和探索，经历一个逐步完善、长线建构的过程。教学时，我们不能急于求成，追求一步到位，应该针对教材内容分散编排、由易到难、螺旋上升的特点和儿童在特定发展阶段的认知水平，依据知识内在逻辑和数学思想方法的前后一致，立足整体，进行长程设计，力求瞻前顾后，前后呼应，引导学生在知识生长过程中逐步达成阶段目标，直至全面理解和正确掌握。
这里继续以四年级下册“用数对确定位置”的教学为例。
在这一单元内容教学将结束时，我们可以结合“练习十五”第10题，对先前所学知识进行一次回望和统整。
师：同学们，用数对确定位置在生活中有着比较广泛的应用。这是一张国际象棋棋盘的示意图（见图4）。白王“ ”所在的位置用国际象棋专用的方法可以记录为“g2”。你知道是怎样记录白王位置的吗？先结合今天所学的知识想一想，再和同桌之间互相说一说。
生1：记录方法和用数对表示位置的方法差不多。白王在第g列第2行，记为g2 。
生2：白王在第g列第2行，就相当于在第7列第2行。
生3：记录方法也有一点不一样，没有用逗号隔开（列数和行数），也没有在它们的外侧添加括号。
师：都看懂了吗？棋盘上其他棋子各在什么位置？先说一说，再记录下来。
生1：黑王“ ”在第d列第7行，记录为“d7”。
生2：黑车“ ”在第c列第6行，记录为“c6”。
生3：白兵“ ”在第g列第4行，记录为“g4”。
师：比较一下这种记录方法和前两节课学习的用数对确定位置的方法，它们有什么联系和区别？
生1：棋盘上的列是用字母表示的，前面所学的列是用数表示的。
生2：字母和数之间没有逗号，数对的两个数用逗号隔开了。
生3：记录棋子位置的方法，左右两边没有添加括号；用数对表示位置的方法，左右两边需要添加括号。
生4：这是它们不同的地方。两种方法也有相同的地方，都是先说列，后说行。
师：哦！两种方法都要表示出列和行。（指着图5）棋子的位置在列可以用字母表示，也可以用数字表示（见图6），还可以将列和行全部用字母来表示。表示平面上物体位置的原理其实是一样的——都要用两个数、两个字母或者两种符号有序表示。
师：我们以前学过用一个数表示排成一条线的物体位置，最近学了用两个数来表示平面上物体的位置。回忆一下，生活中有没有见过三个数或三种符号来记录位置的例子呢？
生1：我去影院看电影，我的位置在3廳2排8座。
生2：我去听音乐会，我的位置在2楼3排5座。
生3：我上次在图书馆借书，那本书在第3个书架第4层，左起第1本。
生4：我家住在月安花园1幢5楼03室。 ……
师：看来，我们应该根据实际需要，确定选择几个数或者字母来表示位置。事实上，数学已经规定了用一个数、两个数或三个数来确定物体准确位置的具体情况，以减少分歧，方便交流与沟通。后面我们还将继续学习。
在现实生活中，通过数、字母、符号与物体之间建立一一对应关系来确定其位置的做法較为常见，并有诸多不同的表示形式。在学生理解和掌握用有序数对表示二维平面空间中物体位置的方法之后，我们引导学生将目光重新转向现实生活，去寻找能体现“用数对确定位置”这一数学模型的典型的、丰富的具体情境和生活素材，解释日常生活中与之相关的各种现象，学会制定相关规则，解决简单的实际问题，让学生在对丰富变式的了解与应用中，把握它们内在的统一性和结构性，以更好地完善关于“确定位置”的知识。从一点拓展开去，学生更容易理解与之相关的其他数学知识，学会从不同角度观察和思考。
新一轮课程改革以来，我们一直提倡“用教材教，而不是教教材”。从这个角度说，我们应该跳出教材看教材，跳出课堂看课堂，着眼更大的范围、更广的空间、更长的时间进行长程设计，着力解决“强调探索、强调过程与教学时间限制”之间的矛盾。具体教学中，我们应该将所学知识置于知识链条乃至整个知识体系之中来考虑，处理好局部知识与整体知识、环节目标与课时目标、阶段目标与总体目标、当前活动与后续活动的关系，科学地划分内容板块，重组教学内容，设定对应目标，设计适切活动。对于初学知识，我们不能无视学生的基础，超越大多数学生的认知水平，用单元、学段乃至小学阶段结束时才应该达到的目标来要求和评价学生。我们应该遵循学生认知发展规律，基于“课程标准”和具体学情，按照知识逻辑生长的线索和节奏，把握好当前知识的教学尺度，紧扣知识的数学实质和通性通法，有效地达成每一个阶段目标。同时，立足整体，既关注逆向回顾先前知识，寻找与当前知识的联系，重视预留生长线索，以便后续学习相关知识时相机激活，实现迁移，从而不断扩展知识的长度、广度和深度，增强知识弹性和张力，形成层次清晰、纵横联结、空间开放、具有生长力和吸附力的认知结构。这样的前后呼应，有利于学生在知识生长过程中弄清当前所学知识的来龙去脉以及常用的思维策略，用一条清晰的显性知识或者隐性数学思想线索串起不同阶段、不同领域的数学知识，实现知识的结构化存储、生长和应用，充分感悟和体验知识背后蕴藏的数学思想和数学方法，积累丰富的数学活动经验，促进知识增长、思维生长与生命成长过程同步。
数学教学应该从生活中来，引导学生从生活世界走进充满神奇与美感的数学世界，也应该重新回到生活中去，引导学生用数学眼光去观察和审视生活世界，从数学视角去分析和解释生活现象，借数学工具去探索和解决实际问题。拉长知识的建构过程，就是为了在数学知识和学生经验的解构与重构中进行更精细、更完整的认知加工，不断提高学生对于生活世界和数学世界的双向转换能力，同时对认知过程和思维结果保持更自觉、更细微的省察与评估，最终通过数学学会思维，学会创造，学会共处，学会改变，促进学生实现真正的发展。
责任编辑：宣丽华
从教29年，魏光明老师一路走来，没有轰轰烈烈的先进事迹，也没有催人泪下的动人故事，朴朴实实但步步脚印。对于自己得到的那些令人艳羡的众多荣誉，他总是淡淡一笑，说自己就是一个数学老师。他的低调在圈内是出了名的。
魏光明常常说：“教师一旦离开课堂，对课堂就没有感觉了，无论干什么，我不会离开课堂。”的确，从工作初期一名普通的教师到大队辅导员，再到副校长，直到现在做校长，始终未曾离开他挚爱的课堂。
平时不喜欢多言多语的他，走进课堂便是另一番状态：思维缜密，环环相扣，行云流水，举重若轻，逐步形成了“简约而不显简单、严谨而不失幽默”的教学风格。走过的每一所学校，他的课堂都是开放的，老师们可以随时走进他的课堂听课。他大气的整体架构、精致的细节刻画、简洁的教学语言、精当的课堂点拨，给听课的教师留下深刻的印象。
他从不迷信任何权威，敢于直面教学中那些司空见惯的问题，并进行寻根问底的质疑。针对学生负担普遍偏重的不争事实，他一直潜心探寻减轻学生过重学业负担的路径，在全国范围内率先提出并进行了“核心知识教学”的研究。更难能可贵的是，在当下这样一个较为浮躁的年代，他十年如一日，始终聚焦这一话题，在一些权威性的杂志中经常会看到他关于“核心知识教学”的真知灼见，给有些迷茫的小学数学教学注入了一股清泉。近几年，他的研究也引起越来越多的省内外同行的关注，他的“核心知识教学”的理念也越传越远。
“一个人可以走得很快，但一群人才会走得更远。”这也是魏光明老师常挂在嘴边的话。作为一名资深的数学教师，工作中，他不但热心培养本校教师，还利用特级教师工作室这一平台，助力着更大范围的青年教师的成长。
听老师的课是他最乐意的事。只要有时间，他都会夹着听课笔记走进老师们的课堂。学校辦公室、图书馆、走廊、操场、食堂……到处留下他和老师们交流课堂教学的身影。许多年轻教师开设公开课前喜欢请他去听课指导，他不厌其烦，常常是同一节课听好多次，一遍遍地打磨，大到一节课的整体设计，小到教师的每句问话、每个手势，他都细致地加以指导。有时还亲自上阵，就某个教学环节进行手把手的示范。上完课，来不及休息，又和听课教师一起交流反思。年轻教师在这样的打磨中逐渐成长起来，成为学校教育教学的中坚力量。
教而不思则罔。他一直倡导教师不能死教书，要学会思考。不少教师在他的影响下渐渐地拿起了笔，随时记录下自己教育教学生活中的点滴感悟。对于老师们较为粗糙的论文、案例，他利用休息时间帮助斟酌谋篇布局，推敲遣词造句，文章经他几轮修改后，往往焕然一新。读着他修改后的文章，老师们佩服得五体投地。如今，在各级教育主管部门组织的征文竞赛获奖教师名单中，他所在学校的老师总会有相当部分榜上有名。他还主动将老师们优秀的作品推荐至各级报刊，大家慢慢体验到成功的喜悦，一股浓浓的教科研之风便在不知不觉中蔚然形成。
魏光明老师就是这样，没有华丽的言辞，更多地以无声的行动有力地诠释着自己对教育的深刻理解。一切为了学生，过一种朴素的教育生活，成为他永恒的希冀与不懈的追求。
【人物档案】
魏光明，南京市莫愁湖小学校长，江苏省小学数学特级教师，江苏省中青年学术技术带头人，南京市“基础教育专家”培养对象，南京晓庄学院客座教授。长期致力于小学数学“核心知识”的教学研究，不断丰富“核心知识”教学的理论观点和操作策略，相关成果已经成为国内该领域教学研究的重要文献。先后主持了“小学数学核心知识教学的理论与实践研究”等4个相关的省级研究课题。有60多篇论文在《人民教育》《江苏教育》《教学与管理》《小学数学教师》等省级以上教育报刊发表，其中多篇被人大复印资料《小学数学教与学》全文转载。先后数十次在浙江、山东、安徽、河北、广西、江西、陕西等省级以上的专题研讨活动中上研究课、作专题讲座。2016年7月参加第13届国际数学教育大会，并展示、演讲其学术论文。
摘要：一个人的核心竞争力在于拥有独立学习、批判性思考和解决问题等关键能力，以及适应未来社会发展和个人发展的必备品格。未来学校学科教育的转型，必然关注“减量提质”，实现从注重知识数量的累积走向关注人的内在素养的提升。精选数学核心知识，拉长其创生、体验和完善过程，可以将学生核心素养的培育目标落到实处。
关键词：核心知识； 过程； 数学化； 小学数学
中图分类号：G622 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2017）04B-0008-06
当下，一个人的核心竞争力不再是简单占有海量知识，而是拥有独立学习、批判性思考和解决问题等关键能力，以及适应未来社会发展和个人发展的必备品格。精选数学核心知识，引导学生通过数学学习学会思维，形成关键能力和必备品格融为一体的核心素养，是未来数学教育转型的必由之路。从人的认知加工规律看，拉长核心知识的创生、体验和完善过程，促进深度理解，有利于将培育学生的数学核心素养的目标落到实处。
一、产出导向，拉长知识创生的过程
小学数学课程呈现的知识，对于整个人类而言，是一些已经证实了的基础的数学知识，是解释生活现象、解决实际问题、揭示客观规律的经常使用的思维工具，但对于学生而言，初次触摸这些知识的本质依然需要经历一个较长的过程。从这个意义上说，教学处于内容领域、知识序列起点位置的核心知识，应该拉长知识创生的过程，让学生充满好奇、由外而内地走进数学，满足创造的欲望，体验创造的快乐，增强学习的获得感。
这里以四年级下册“用数对确定位置”一课建构“数对”概念、初步理解“数对”含义的环节为例。
创设学生熟悉的生活情境，引导学生通过观察，用一个合适的序数描述小军站立的位置：
师：课间活动时，几个同学站成一排打太极（见图1）。小军在什么位置？
生1：小军在第5个。 生2：从左往右数，小军在第5个。（点评：也可以说成“小军在左起第5个。”）
生3：小军在倒数第2个。
生4：小军在右起第2个。
师：看来，我们可以用表示次序的数准确描述小军所在的位置。
接着，呈现例题场景图（见图2），引导学生观察、思考、表达：
师：上课了，小军坐在什么位置？
生1：小军坐在第4组第3个。
生2：小军坐在第4竖排倒数第3个。
生3：小军坐在右起第3组第3个。
生4：小军坐在第3横排第4个。
……
师：如果没有图，这样描述小军的位置有什么缺点？你有什么好的建议？
在学生强烈感受到统一表达的需要时，教师结合学生已有的经验，简要介绍“列”和“行”的含义，以及确定第几列、第几行的规则，再让学生指出场景图中某一列或某一行。
师：现在，请你介绍一下小军坐在哪里。
生1：小军坐在第4列第3行。
生2：小军坐在第3行第4列。
在学生再次感受到需要统一表达时，教师介绍数学规定，并要求学生规范表达。同时，让学生在图上指出具体的“第几列第几行”所在的位置。
在此基础上，教师启发学生对座位的场景加以抽象，将场景图变为平面图，让学生体会到符号表征的简洁，进而再启发学生用更简洁的方法来表示小军在二维空间的位置。
师：能不能用更简洁的方法来表示小军的位置呢？（留时间让学生想一想）比如，能不能用有次序的数来表示？如果能，这样的数有什么特点？ 先想一想，再在作业纸上写一写。
在呈现、讨论、比较多种形式的表示方法之后，学生已经充分认识到精准描述二维平面空間中物体的位置，需要用两个表示次序的数分别对应“列”和“行”两个要素，此时距离用有序数对“（4，3）”表示小军的位置就仅剩一步之遥了。
我们尊重并利用学生头脑中已有的关于表示物体位置，尤其是物体次序的背景知识和生活经验，让他们经历多次认知冲突，逐步认识到根据各自经验和习惯来描述物体的位置容易引起歧义，进而产生统一、规范表达的需求，体验由多元表达走向统一表达的必要性，并为后续感悟数对中两个数的顺序埋下伏笔。随着“用更简洁的方法来表示小军的位置”这一要求的提出，基于先前经验的迁移和丰富材料的比较，一个新的数学知识“数对”以及用数对表示二维平面空间物体位置的方法的出现便水到渠成。
在知识爆炸的“互联网 ”时代，创新和创造是造成人与人之间巨大差异的关键因子，且每一个人都可能成为知识的创生者和贡献者。站在人的发展的高度来看，数学教育理应重视培养学生的创新意识、创新习惯和创新能力，并逐渐使之成为一种自觉的行动。具体教学中，我们不能简单讲授、依赖大量练习巩固、凭借记忆套用关于“是什么”的静态知识，而应该创设一个在解决实际问题、解释生活现象、交流各自观点时容易产生认识分歧和认知冲突的真实情境，拉长学生经历类似科学探究的“再发现”“再创造”的过程，让学生在弄清“为什么”的基础上发现“客观性知识”，发明“主观性知识”。我们应该追本溯源，借鉴数学发展的历史，遵循人类认识世界的一般规律，解构课程、教材中静态呈现的知识，将其设计成具有情境性、问题性、探索性、体验性的学习活动，重建课堂教学流程，让学生充分参与和深度卷入学习过程，进而基于各自的生活经验、背景知识、思考习惯、认知方式，“创造”出能够表征个体独特心理意义的知识，再通过合情推理、猜想验证、查阅资料、比较优化、交流互动，建构客观、精准的数学知识。长期通过“创造”知识进行数学学习，学生在遭遇困难时就不会无所适从，而是会凭借思维惯性创生新的知识、新的工具、新的方法去探索和尝试解决问题。
二、精细加工，拉长知识体验的过程
不可否认，练习是将知识转化为技能的桥梁，加大练习量可在短期内提高学生的学业成绩。也许是受这种思维的影响，相当一部分教师常常在快速揭示新知之后，便开始组织大容量、高密度、多层次的练习，以巩固新知，记忆新知，提高熟练程度。事实上，像这样缺少对知识进行精细加工的做法，会弱化所学知识与真实情境、与现实生活、与已有经验、与其他知识之间的联系，导致学生产生迷思和错误，这是造成知识的长时记忆、深度理解、灵活应用出现困难与障碍的根源所在。教学中，应该重视对新知进行精细加工，赋予其丰富的心理意义。
这里以四年级下册“用数对确定位置”一课中用“数对”表示二维平面空间中物体位置的环节为例。
在经历由多元表达走向统一表达，由文字表达到数学表达，建立起“数对”的概念之后，教师引导学生进一步理解数对的含义，初步学会用数对表示物体的位置。
师：小军的位置用（4，3）表示，这个数对表示什么意思？
生：（4，3）表示第4列第3行。
师：想一想，第3列第4行的位置怎样用数对表示？
生：用（3，4）表示。
师：（指着两个数对）都是用4和3两个数表示，为什么（4，3）和（3，4）表示的位置不一样？有什么需要提醒同学的？
在学生认识到数对的两个数分别对应着“列”和“行”两个要素，建立数对与物体位置的一一对应关系之后，进一步走向纵深——
师：如果今天来了几位老师听课，坐在第1列的左边，可以第几列表示？怎样用数对表示几位听课老师的位置？（见图3）先想一想，再在组内交流。
在经历了短暂的沉寂、争辩之后，学生给出了结论——
生1：听课的老师可以用第0列表示。
生2：我有补充。在直尺上，1的前面一个数是0，所以听课老师的位置在第0列。
生3：（从前往后指着说）第一位听课老师的位置用数对表示是（0，1）…… 师：学了知识会用，了不起。想一想，我（上课老师）所在的位置是第几行？怎样用数对表示我的位置？
生：你的位置在第0行，可以用（3，0）表示。
师：这时又来了一位听课老师，就坐在刚才第一位听课老师的前面（在平面图上同步呈现），他的位置怎样用数对表示？
在学生会用（0，0）表示最后一位听课老师的位置之后，引导学生进一步讨论不确定数对——
师：小芳的位置用（ 3 ， □ ）表示，她坐在哪一个位置？小明的位置用（ □ ， 3 ）表示，他坐在哪一个位置？先看图想一想，再在组内交流。
生1：小芳可能坐在第3列的每一个位置，小明可能坐在第3行的每一个位置，不能确定坐在哪一个位置上。
生2：我有不同意见。小明不能坐在第4列第3行的位置，那是小军的位置。
师：观察真仔细！这样看来，用一个数能确定一个人所在平面中的位置吗？
……
从上面可以看出，教学没有止于学生了解（4，3）的含义，初步学会用有序数对表示物体的位置，而是对直观平面图的价值进行深度挖掘，引导学生一步一步走向纵深。教学中，通过比较，让学生认识到数对中的两个数具有特定的含义，前后顺序不能颠倒，感悟到表示同一行或同一列的特殊数对的特征；通过联系生活现实，让学生理解第0列、第0行的合理性，巧妙渗透原点的含义，初步感悟直角坐标系的原型；通过想象，让学生能够根据“数对”判断对应位置的物体，进一步认识不确定的数对，从而帮助学生体会唯一性，建立数对与物体位置之间的一一对应关系，获得精确认知和深度理解。
众所周知，学习最重要的任务之一，就是把握知识的本质，建立知识之间的关联，形成良好的认知结构。这就为知识的精细加工指明了方向。我们知道，碎片呈现、浅层感知、机械记忆获得的知识，很容易受到干扰和挤压而更快遗忘。在“提质减量”、培育素养的背景下，我们可以从这样几个方面对核心知识进行精细加工：一是从深度和广度两个层面挖掘核心知识涉及的背景材料、数学思想和日常应用等方面的信息，根据学生的经验世界解构与重构教学内容，引导学生熟悉承载知识的生活情境，感知包裹知识的具体事实，把握丰富多变的材料细节，从而建立准确的心理表征，获得对其内涵和本质的实质性理解，感悟知识背后所蕴含的数学思想方法；二是借助同化和顺应，依据知识本质、逻辑关系、数学思想和思维方法的一致性，引导学生学会纵向拓展和横向延伸，建立所学知识与其他知识之间多维度、多层次的联结，优化知识体系和认知结构，增强认知结构的生长活力和吸附能力，让学生的学习知其然也知其所以然，知道知识的来龙去脉和纵横联系。这样教学，学生获得的知识饱满而清晰，活跃度高，迁移性强，同时获得的还有透过现象概括本质、通过局部推断整体、借助已知探索未知的思维方式，提升观察和比较、抽象和概括、分析和推理、想象和质疑等能力，增强关联性和系统化思考的意识。
三、长程呼应，拉长知识完善的过程
数学核心知识的学习，学生通常需要在不同时间，从不同视角切入和探索，经历一个逐步完善、长线建构的过程。教学时，我们不能急于求成，追求一步到位，应该针对教材内容分散编排、由易到难、螺旋上升的特点和儿童在特定发展阶段的认知水平，依据知识内在逻辑和数学思想方法的前后一致，立足整体，进行长程设计，力求瞻前顾后，前后呼应，引导学生在知识生长过程中逐步达成阶段目标，直至全面理解和正确掌握。
这里继续以四年级下册“用数对确定位置”的教学为例。
在这一单元内容教学将结束时，我们可以结合“练习十五”第10题，对先前所学知识进行一次回望和统整。
师：同学们，用数对确定位置在生活中有着比较广泛的应用。这是一张国际象棋棋盘的示意图（见图4）。白王“ ”所在的位置用国际象棋专用的方法可以记录为“g2”。你知道是怎样记录白王位置的吗？先结合今天所学的知识想一想，再和同桌之间互相说一说。
生1：记录方法和用数对表示位置的方法差不多。白王在第g列第2行，记为g2 。
生2：白王在第g列第2行，就相当于在第7列第2行。
生3：记录方法也有一点不一样，没有用逗号隔开（列数和行数），也没有在它们的外侧添加括号。
师：都看懂了吗？棋盘上其他棋子各在什么位置？先说一说，再记录下来。
生1：黑王“ ”在第d列第7行，记录为“d7”。
生2：黑车“ ”在第c列第6行，记录为“c6”。
生3：白兵“ ”在第g列第4行，记录为“g4”。
师：比较一下这种记录方法和前两节课学习的用数对确定位置的方法，它们有什么联系和区别？
生1：棋盘上的列是用字母表示的，前面所学的列是用数表示的。
生2：字母和数之间没有逗号，数对的两个数用逗号隔开了。
生3：记录棋子位置的方法，左右两边没有添加括号；用数对表示位置的方法，左右两边需要添加括号。
生4：这是它们不同的地方。两种方法也有相同的地方，都是先说列，后说行。
师：哦！两种方法都要表示出列和行。（指着图5）棋子的位置在列可以用字母表示，也可以用数字表示（见图6），还可以将列和行全部用字母来表示。表示平面上物体位置的原理其实是一样的——都要用两个数、两个字母或者两种符号有序表示。
师：我们以前学过用一个数表示排成一条线的物体位置，最近学了用两个数来表示平面上物体的位置。回忆一下，生活中有没有见过三个数或三种符号来记录位置的例子呢？
生1：我去影院看电影，我的位置在3廳2排8座。
生2：我去听音乐会，我的位置在2楼3排5座。
生3：我上次在图书馆借书，那本书在第3个书架第4层，左起第1本。
生4：我家住在月安花园1幢5楼03室。 ……
师：看来，我们应该根据实际需要，确定选择几个数或者字母来表示位置。事实上，数学已经规定了用一个数、两个数或三个数来确定物体准确位置的具体情况，以减少分歧，方便交流与沟通。后面我们还将继续学习。
在现实生活中，通过数、字母、符号与物体之间建立一一对应关系来确定其位置的做法較为常见，并有诸多不同的表示形式。在学生理解和掌握用有序数对表示二维平面空间中物体位置的方法之后，我们引导学生将目光重新转向现实生活，去寻找能体现“用数对确定位置”这一数学模型的典型的、丰富的具体情境和生活素材，解释日常生活中与之相关的各种现象，学会制定相关规则，解决简单的实际问题，让学生在对丰富变式的了解与应用中，把握它们内在的统一性和结构性，以更好地完善关于“确定位置”的知识。从一点拓展开去，学生更容易理解与之相关的其他数学知识，学会从不同角度观察和思考。
新一轮课程改革以来，我们一直提倡“用教材教，而不是教教材”。从这个角度说，我们应该跳出教材看教材，跳出课堂看课堂，着眼更大的范围、更广的空间、更长的时间进行长程设计，着力解决“强调探索、强调过程与教学时间限制”之间的矛盾。具体教学中，我们应该将所学知识置于知识链条乃至整个知识体系之中来考虑，处理好局部知识与整体知识、环节目标与课时目标、阶段目标与总体目标、当前活动与后续活动的关系，科学地划分内容板块，重组教学内容，设定对应目标，设计适切活动。对于初学知识，我们不能无视学生的基础，超越大多数学生的认知水平，用单元、学段乃至小学阶段结束时才应该达到的目标来要求和评价学生。我们应该遵循学生认知发展规律，基于“课程标准”和具体学情，按照知识逻辑生长的线索和节奏，把握好当前知识的教学尺度，紧扣知识的数学实质和通性通法，有效地达成每一个阶段目标。同时，立足整体，既关注逆向回顾先前知识，寻找与当前知识的联系，重视预留生长线索，以便后续学习相关知识时相机激活，实现迁移，从而不断扩展知识的长度、广度和深度，增强知识弹性和张力，形成层次清晰、纵横联结、空间开放、具有生长力和吸附力的认知结构。这样的前后呼应，有利于学生在知识生长过程中弄清当前所学知识的来龙去脉以及常用的思维策略，用一条清晰的显性知识或者隐性数学思想线索串起不同阶段、不同领域的数学知识，实现知识的结构化存储、生长和应用，充分感悟和体验知识背后蕴藏的数学思想和数学方法，积累丰富的数学活动经验，促进知识增长、思维生长与生命成长过程同步。
数学教学应该从生活中来，引导学生从生活世界走进充满神奇与美感的数学世界，也应该重新回到生活中去，引导学生用数学眼光去观察和审视生活世界，从数学视角去分析和解释生活现象，借数学工具去探索和解决实际问题。拉长知识的建构过程，就是为了在数学知识和学生经验的解构与重构中进行更精细、更完整的认知加工，不断提高学生对于生活世界和数学世界的双向转换能力，同时对认知过程和思维结果保持更自觉、更细微的省察与评估，最终通过数学学会思维，学会创造，学会共处，学会改变，促进学生实现真正的发展。
责任编辑：宣丽华