论文部分内容阅读
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）09-0150-02
感性地讲，上课可以当成是旅游赏景，如何安排赏景次序节奏，对旅游的效果有至关重要的影响，而备课，恰是做一份上课的“游记攻略”，在课堂教学目标确定的前提下，如何合理安排教学内容是课堂能否取得高效的关键。下面，笔者以在主题为“诗化数学，诗意课堂，诗润心灵”的江苏省第八届中学高级论坛活动中开设的一节“圆锥曲线起始课”为例，就有效备课谈一谈自己的看法。
本节课的教学目标是“通过用平面截圆锥面，经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义；通过用平面截圆锥面，感受、了解双曲线的定义”。另外，因为是一节起始课，相应地也承担着介绍本章内容、知识的地位、涉及的思想方法、前后内容的联系与区别以及激发学生学习兴趣等任务。针对以上目标和任务，笔者在教学内容的安排和取舍等方面做了很多考虑。
（一）课堂引入
师：同学们，我们在课本必修2的学习过程中，已经一起研究过了“平面解析几何初步”，主要学习了直线与方程、圆与方程等内容。今天这一堂课，我们继续来探讨解析几何的有关内容。
师：首先，在正式开始这一节课之前，我们来听一个有趣的数学传说。
引入1
“杰尼西亚的耳朵”
——据说，很久以前，意大利西西里岛有一个山洞，叙拉古的暴君杰尼西亚把一些囚犯关在这个山洞里，囚犯们多次密谋逃跑，但每次计划都被杰尼西亚发现，起初囚犯们认为除了内奸，但始终未发现告密者，后来他们察觉到囚禁他们的山洞形状奇怪，洞壁把囚犯们的话都反射到狱卒耳朵里去了，原来，这个囚洞的剖面近似于一个椭圆，犯人聚居的地方恰好在椭圆的一个焦点附近，狱卒在另一个焦点处偷听，无论囚犯们怎样压低嗓门，他们的声音照样被狱卒听得一清二楚。
问题1 什么是椭圆？它具有哪些几何性质？
师： 这个传说其实是由与数学相关的文化——圆锥曲线衍生而来的，与圆锥曲线有关的实际背景，或者说，圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用远远不仅于此。
引入2
开普勒行星运动第一定律：太阳系中的每个行星都在某个椭圆上运动，这些椭圆都以太阳为一个焦点。
彗星的运行轨道，有些是椭圆，有些是抛物线，有些是双曲线。
炮弹的飞行轨道，喷水池中的水柱都呈抛物线形。
椭圆、双曲线和抛物线统称为圆锥曲线。
师：为什么称为圆锥曲线？它与我们学习过的圆锥有什么关系？
问题2 用平面截圆锥面，可能得到哪些曲线？
（二）研究探讨
我们知道，用一个平面截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线，当平面与圆锥面的轴垂直时，截得的图形是一个圆，试改变平面的位置，观察截得的图形的变化情况。
问题3 用平面截圆锥面还能得到哪些曲线？这些曲线具有哪些几何性质？
截得的这三种曲线，我们分别把它们叫作：椭圆、双曲线、抛物线。
思考：灯光发出的光线在墙壁留下的是什么曲线的投影？试解释以上现象。
师：灯泡的光线，被灯罩遮挡，通过灯罩的敞口投射之后，相当于形成了圆锥面。墙壁相当于平面，截圆锥面所得的曲线即为如图所示的双曲线。
师：两张图的区别在于，要想得到右图的双曲线投影，需灯罩的上下敞口面积一样大，且灯泡所处位置距上下敞口所在平面距离相等。
师：下面我们回到本节课一开始提出的问题1：什么是椭圆？它具有哪些几何性质？
师：圆锥曲线早在公元前约200年时就已被命名和研究了，其发现者为古希腊的数学家阿波罗尼阿斯（Apollonius of Perga，前262年～前190年），当时阿波罗尼阿斯对圆锥曲线的性质已做了系统性的研究，并几乎罗列殆尽，使后人难以有新的发现。
师：圆锥曲线在漫长的数学历史发展过程中熠熠生辉，它吸引了无数的数学爱好者为之着迷痴狂，并在科学文化的其他领域闪烁光芒。比如，圆锥曲线为一千八百多年后开普勒、牛顿、哈雷等数理天文学家研究行星和彗星轨道提供了数学基础。
师：在圆锥曲线的众多研究者中，19世纪的法国数学家Dandelin是非常著名的一位。
师：19世纪初，法国数学家Dandelin利用与圆锥面和截面均相切的两个球（Dandelin双球），给出了研究椭圆特性的一种巧妙的方法。
Dandelin在截面的两侧分别放置一个球，使它们都与截面相切（切点分别为F1，F2），且与圆锥面相切，两球与圆锥面的公共点分别构成圆O1和圆O2。
设点M是平面与圆锥面的截线上任一点，过M点作圆锥面的一条母线分别交圆O1和圆O2于P，Q两点。
师：图中所示线段之间的长度有什么关系？
生：因为过球外一点所作球的切线的长相等，所以
MF1=MP， MF2=MQ，
故 MF1+MF2=MP+MQ=PQ
师：PQ长有什么特点？
（学生思考，教师展示M点在截线上运动时的动画。）
生：PQ是常数。
师：对，也就是说，截线上任意一点到两个定点F1 ，F2的距离的和等于常数。
（三）数学建构
一般地，平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1 F2）的点的轨迹叫作椭圆，两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距。
（四）数学应用
例1 试用适当的方法画出以两个定点F1，F2为焦点的一个椭圆。
（学生思考，分组讨论，尝试用圆规、或用三支笔夹在一起作图，感到疑惑。） 师：我给大家讲一个家里原来装修时发生的事情。我家原来装修时，想请木工师傅帮忙做一个椭圆形的吊顶，木工师傅想了想，找来一根长绳，把长绳的两端固定在木板上，用铅笔顶住长绳在木板上画了一圈，就画出了一个椭圆。我就问木工师傅：“你怎么知道这样就能画出椭圆的？”师傅回答我：“跟我师父学的。” 请同学们帮忙想一想，木工师傅这样画椭圆的原理是什么？
（学生思考）
生：木工师傅是利用椭圆的定义作图的。长绳的长度是固定的，所以图形上任意一点到两固定点的距离的和为常数。
师：因此我们可以怎么画出以两个定点F1，F2为焦点的一个椭圆呢？
生：因为椭圆上任一点到两个焦点的距离的和为常数，且大于F1 F2，故可选一根长度大于F1 F2的细绳，将其两端分别固定在F1 和F2点，用铅笔尖将绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆。
（教师用几何画板操作展示，并用几何画板分别展示以下变式结果。）
变式：若细绳长度等于F1 F2，画出的图形是什么？小于呢？
（通过变式提问，强调椭圆定义中的常数要大于F1 F2。）
生：细绳长度等于F1 F2，画出的图形是线段F1 F2；小于F1 F2时，画不出任何图形。
师：非常好。
师：Dandelin利用双球对双曲线也进行了研究（如图）。请同学们类比Dandelin用双球研究椭圆的方法，思考双曲线上的点有什么性质？
（学生分组讨论，教师巡视参与。）
生：设点M是平面与圆锥面的截线上任一点，过M点作圆锥面的一条母线分别交圆O1和圆O2于P，Q两点，因为过球外一点所作球的切线的长相等，所以
MF1=MP， MF2=MQ，
故 MF2-MF1=MQ-MP=PQ=常数。
师：其他小组有没有需要补充的？
生：当M点在双曲线的上支时，应该是MF1-MF2=MP-MQ=PQ=常数。
师：很好，所以我们发现，交线上任意一点到平面内两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数。
一般地，平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1 F2的正数）的点的轨迹叫作双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距。
师 Dandelin对抛物线进行研究，同样得到了截线上的任意一点到平面内一个定点的距离与到一条定直线的距离相等。
平面内到一个定点F和一条定直线l（F不在l上）的距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线。
椭圆、双曲线及抛物线统称为圆锥曲线。
（五）课堂小结
师：数学家罗巴切夫斯基说：“不管数学的任一分支多么抽象，总有一天会应用在这实际世界上。”另一位数学家哈尔莫斯说：“数学是一门别具匠心的艺术。”通过这一节课对圆锥曲线的研究，我们能充分认识到这两句话的内涵和实质。希望同学们在数学的学习过程中，能深刻感受到数学的重要性，并享受数学带给我们的美。
（六）教学反思
1.课堂引入模块，除了利用数学传说引入之外，还通过圆锥曲线在其他科学领域（如物理学）或实际生活中的应用引入，符合学生认知，进一步激发了学习圆锥曲线的兴趣。
2.研究探讨模块：经历圆锥曲线概念（平面从不同角度截圆锥面形成的不同曲线）的形成过程之后，又通过生活中常见的实例给学生以直观的印象，更进一步了解刻画圆锥曲线的实际背景。
3.数学建构模块：Dandelin利用双球研究圆锥曲线，只介绍了椭圆特性的研究过程。再引导学生通过类比，自主研究探讨双曲线和抛物线的几何性质，更好地培养了学生的自主学习能力。
4.游记攻略总体设计比较合理，但也还略有欠缺，有些应该详看的风景时间安排不太充分，如雾里看花、水中望月，浅尝辄止，而对有些应该略看的景致却多耽搁了时间，恰所谓该浓墨处淡彩，该淡彩处浓墨，本末稍微倒置。另外，整节课的教学设计，人文气息不够重，数学气息不够浓，未能充分体现“诗化数学，诗意课堂，诗润心灵”的主题，有进一步修改的空间。
感性地讲，上课可以当成是旅游赏景，如何安排赏景次序节奏，对旅游的效果有至关重要的影响，而备课，恰是做一份上课的“游记攻略”，在课堂教学目标确定的前提下，如何合理安排教学内容是课堂能否取得高效的关键。下面，笔者以在主题为“诗化数学，诗意课堂，诗润心灵”的江苏省第八届中学高级论坛活动中开设的一节“圆锥曲线起始课”为例，就有效备课谈一谈自己的看法。
本节课的教学目标是“通过用平面截圆锥面，经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义；通过用平面截圆锥面，感受、了解双曲线的定义”。另外，因为是一节起始课，相应地也承担着介绍本章内容、知识的地位、涉及的思想方法、前后内容的联系与区别以及激发学生学习兴趣等任务。针对以上目标和任务，笔者在教学内容的安排和取舍等方面做了很多考虑。
（一）课堂引入
师：同学们，我们在课本必修2的学习过程中，已经一起研究过了“平面解析几何初步”，主要学习了直线与方程、圆与方程等内容。今天这一堂课，我们继续来探讨解析几何的有关内容。
师：首先，在正式开始这一节课之前，我们来听一个有趣的数学传说。
引入1
“杰尼西亚的耳朵”
——据说，很久以前，意大利西西里岛有一个山洞，叙拉古的暴君杰尼西亚把一些囚犯关在这个山洞里，囚犯们多次密谋逃跑，但每次计划都被杰尼西亚发现，起初囚犯们认为除了内奸，但始终未发现告密者，后来他们察觉到囚禁他们的山洞形状奇怪，洞壁把囚犯们的话都反射到狱卒耳朵里去了，原来，这个囚洞的剖面近似于一个椭圆，犯人聚居的地方恰好在椭圆的一个焦点附近，狱卒在另一个焦点处偷听，无论囚犯们怎样压低嗓门，他们的声音照样被狱卒听得一清二楚。
问题1 什么是椭圆？它具有哪些几何性质？
师： 这个传说其实是由与数学相关的文化——圆锥曲线衍生而来的，与圆锥曲线有关的实际背景，或者说，圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用远远不仅于此。
引入2
开普勒行星运动第一定律：太阳系中的每个行星都在某个椭圆上运动，这些椭圆都以太阳为一个焦点。
彗星的运行轨道，有些是椭圆，有些是抛物线，有些是双曲线。
炮弹的飞行轨道，喷水池中的水柱都呈抛物线形。
椭圆、双曲线和抛物线统称为圆锥曲线。
师：为什么称为圆锥曲线？它与我们学习过的圆锥有什么关系？
问题2 用平面截圆锥面，可能得到哪些曲线？
（二）研究探讨
我们知道，用一个平面截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线，当平面与圆锥面的轴垂直时，截得的图形是一个圆，试改变平面的位置，观察截得的图形的变化情况。
问题3 用平面截圆锥面还能得到哪些曲线？这些曲线具有哪些几何性质？
截得的这三种曲线，我们分别把它们叫作：椭圆、双曲线、抛物线。
思考：灯光发出的光线在墙壁留下的是什么曲线的投影？试解释以上现象。
师：灯泡的光线，被灯罩遮挡，通过灯罩的敞口投射之后，相当于形成了圆锥面。墙壁相当于平面，截圆锥面所得的曲线即为如图所示的双曲线。
师：两张图的区别在于，要想得到右图的双曲线投影，需灯罩的上下敞口面积一样大，且灯泡所处位置距上下敞口所在平面距离相等。
师：下面我们回到本节课一开始提出的问题1：什么是椭圆？它具有哪些几何性质？
师：圆锥曲线早在公元前约200年时就已被命名和研究了，其发现者为古希腊的数学家阿波罗尼阿斯（Apollonius of Perga，前262年～前190年），当时阿波罗尼阿斯对圆锥曲线的性质已做了系统性的研究，并几乎罗列殆尽，使后人难以有新的发现。
师：圆锥曲线在漫长的数学历史发展过程中熠熠生辉，它吸引了无数的数学爱好者为之着迷痴狂，并在科学文化的其他领域闪烁光芒。比如，圆锥曲线为一千八百多年后开普勒、牛顿、哈雷等数理天文学家研究行星和彗星轨道提供了数学基础。
师：在圆锥曲线的众多研究者中，19世纪的法国数学家Dandelin是非常著名的一位。
师：19世纪初，法国数学家Dandelin利用与圆锥面和截面均相切的两个球（Dandelin双球），给出了研究椭圆特性的一种巧妙的方法。
Dandelin在截面的两侧分别放置一个球，使它们都与截面相切（切点分别为F1，F2），且与圆锥面相切，两球与圆锥面的公共点分别构成圆O1和圆O2。
设点M是平面与圆锥面的截线上任一点，过M点作圆锥面的一条母线分别交圆O1和圆O2于P，Q两点。
师：图中所示线段之间的长度有什么关系？
生：因为过球外一点所作球的切线的长相等，所以
MF1=MP， MF2=MQ，
故 MF1+MF2=MP+MQ=PQ
师：PQ长有什么特点？
（学生思考，教师展示M点在截线上运动时的动画。）
生：PQ是常数。
师：对，也就是说，截线上任意一点到两个定点F1 ，F2的距离的和等于常数。
（三）数学建构
一般地，平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1 F2）的点的轨迹叫作椭圆，两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距。
（四）数学应用
例1 试用适当的方法画出以两个定点F1，F2为焦点的一个椭圆。
（学生思考，分组讨论，尝试用圆规、或用三支笔夹在一起作图，感到疑惑。） 师：我给大家讲一个家里原来装修时发生的事情。我家原来装修时，想请木工师傅帮忙做一个椭圆形的吊顶，木工师傅想了想，找来一根长绳，把长绳的两端固定在木板上，用铅笔顶住长绳在木板上画了一圈，就画出了一个椭圆。我就问木工师傅：“你怎么知道这样就能画出椭圆的？”师傅回答我：“跟我师父学的。” 请同学们帮忙想一想，木工师傅这样画椭圆的原理是什么？
（学生思考）
生：木工师傅是利用椭圆的定义作图的。长绳的长度是固定的，所以图形上任意一点到两固定点的距离的和为常数。
师：因此我们可以怎么画出以两个定点F1，F2为焦点的一个椭圆呢？
生：因为椭圆上任一点到两个焦点的距离的和为常数，且大于F1 F2，故可选一根长度大于F1 F2的细绳，将其两端分别固定在F1 和F2点，用铅笔尖将绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆。
（教师用几何画板操作展示，并用几何画板分别展示以下变式结果。）
变式：若细绳长度等于F1 F2，画出的图形是什么？小于呢？
（通过变式提问，强调椭圆定义中的常数要大于F1 F2。）
生：细绳长度等于F1 F2，画出的图形是线段F1 F2；小于F1 F2时，画不出任何图形。
师：非常好。
师：Dandelin利用双球对双曲线也进行了研究（如图）。请同学们类比Dandelin用双球研究椭圆的方法，思考双曲线上的点有什么性质？
（学生分组讨论，教师巡视参与。）
生：设点M是平面与圆锥面的截线上任一点，过M点作圆锥面的一条母线分别交圆O1和圆O2于P，Q两点，因为过球外一点所作球的切线的长相等，所以
MF1=MP， MF2=MQ，
故 MF2-MF1=MQ-MP=PQ=常数。
师：其他小组有没有需要补充的？
生：当M点在双曲线的上支时，应该是MF1-MF2=MP-MQ=PQ=常数。
师：很好，所以我们发现，交线上任意一点到平面内两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数。
一般地，平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1 F2的正数）的点的轨迹叫作双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距。
师 Dandelin对抛物线进行研究，同样得到了截线上的任意一点到平面内一个定点的距离与到一条定直线的距离相等。
平面内到一个定点F和一条定直线l（F不在l上）的距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线。
椭圆、双曲线及抛物线统称为圆锥曲线。
（五）课堂小结
师：数学家罗巴切夫斯基说：“不管数学的任一分支多么抽象，总有一天会应用在这实际世界上。”另一位数学家哈尔莫斯说：“数学是一门别具匠心的艺术。”通过这一节课对圆锥曲线的研究，我们能充分认识到这两句话的内涵和实质。希望同学们在数学的学习过程中，能深刻感受到数学的重要性，并享受数学带给我们的美。
（六）教学反思
1.课堂引入模块，除了利用数学传说引入之外，还通过圆锥曲线在其他科学领域（如物理学）或实际生活中的应用引入，符合学生认知，进一步激发了学习圆锥曲线的兴趣。
2.研究探讨模块：经历圆锥曲线概念（平面从不同角度截圆锥面形成的不同曲线）的形成过程之后，又通过生活中常见的实例给学生以直观的印象，更进一步了解刻画圆锥曲线的实际背景。
3.数学建构模块：Dandelin利用双球研究圆锥曲线，只介绍了椭圆特性的研究过程。再引导学生通过类比，自主研究探讨双曲线和抛物线的几何性质，更好地培养了学生的自主学习能力。
4.游记攻略总体设计比较合理，但也还略有欠缺，有些应该详看的风景时间安排不太充分，如雾里看花、水中望月，浅尝辄止，而对有些应该略看的景致却多耽搁了时间，恰所谓该浓墨处淡彩，该淡彩处浓墨，本末稍微倒置。另外，整节课的教学设计，人文气息不够重，数学气息不够浓，未能充分体现“诗化数学，诗意课堂，诗润心灵”的主题，有进一步修改的空间。