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资助项目：国家杰出青年基金项目（70525001）。
查勇（1977-），男，安徽人，博士，研究方向：管理科学、系统工程。
梁樑（1962-），男，北京人，博士，教授，博士生导师，执行院长，研究方向：管理科学、系统工程。
杨锋（1977-），男，湖北人，博士，研究方向：管理科学、运筹学。
苟清龙（1979-），男，四川人，博士，研究方向：管理科学。
摘要：基于公共权重的排序研究是管理科学中的一个重要课题，具有很强的现实意义。传统DEA方法确定了使得每个决策单元最优的偏好权重，却无法得到所有单元都能普遍接受的公共权重。本文提出了集成DEA模型，寻求一组公共权重，使得所有单元的无效程度之和最小，此时系统的效率最优。这组权重可以同时度量所有单元的有效程度，进行效率评价，也可以度量每个单元对系统的贡献程度，从而对这些单元进行排序。实例分析证实该模型的有效性和适用性。
关键词：数据包络分析 公共权重 集成DEA 排序
An integrated DEA ranking method based upon common weights
Zha Yong Liang Liang Yang Feng Gou Qinglong
Abstract:The ranking research based upon common weights is an important topic in management science,and has a great meaning in practice.Although conventional DEA approach can fetch the preferable weights of each decision making unit (DMU),it cannot obtain common weights generally accepted by all DMUs.This paper proposes an integrated DEA model,which aims at minimizing the total inefficient score of all DMUs and correspondingly optimizing the relative system efficiency based upon the common weights.With such common weights,the efficiency of each DMU is evaluated equitably and effectively,as well as the contribution of each DMU to system,and as a result,a complete ranking order is proposed from it.The data analysis verifies the feasibility and applicability of the approach.
Keywords:Data envelopment analysis Common weight Integrated DEA Ranking
【中图分类号】F162.6【文献标识码】B 【文章编号】1009-9646(2008)07-0023-04
1.引言
数据包络分析（DEA）作为一种非参数方法，能够有效地评价不同决策单元（Decision Making Uint,DMU）的相对效率，已被广泛应用于管理科学的各个领域。传统DEA模型［1，2］在对某个DMU的效率进行评价时，总是希望找到使得其效率最大化的一组权重。由于该权重以牺牲其他DMU的效率为前提，无法被其他DMU所接受。因此寻找一组能被大多数DMU所接受的权重就显得较为迫切。
已有学者对DEA模型中权重的选择做了大量研究，并提出相应的改进模型。Sexton［3］等人提出交叉效率，将每个决策单元的偏好权重之和作为公共权重，依据该公共权重计算各决策单元的效率值，但可能会得到无穷多组最优权重的情形；Doyle［4］等人将其他DMU的投入和产出汇总成一个虚拟单元，从多个最优权重中提取出对该单元最有利和最不利的两组权重系数，并给出进取型和仁慈型两种改进方式；Sarkis［5］等人则利用汇总单元的均值代替汇总值，用来克服Doyle改进模型权重过小的情形；SinuanyStern等人［6，7］分别将线性判别分析方法与比例判别分析方法等多元统计方法与DEA模型结合起来对决策单元进行排序；刘英平［8］等人利用所有DMU投入和产出的相应指标值构造最优和最差两个虚拟DMU，求出一组公共权重，使得最优DMU效率最大的同时，最差DMU的效率最小，并以此为基准计算每个DMU的相对效率。Ertay［9］等人提出minimax效率，希望在对某个决策单元评价的同时，使得其他所有单元的无效程度的最大值最小，这样保证了求得的权重能使所有单元的无效程度都限定在一个可以接受的范围内。
已有的DEA研究中，每个决策单元都希望找到一组权重系数，使得自身的效率最大化，从而出现了每个单元都有适合其自身的偏好权重，不同单元之间因为权重的多样性而缺乏可比性。虽然已有研究在寻求公共权重方面做了很多努力，但还存在一些问题，如权重系数的不唯一性，偏好权重的不被广泛接受等，对公共权重的选择还不能达到统一，无法给出每个单元都能信服的、公共的指标权重。
本文在已有DEA权重研究的基础上，寻求一组投入和产出的权重，使得具有相同投入和产出的同质的多个决策单元的无效程度之和最小。由于该组权重系数希望每个决策单元的无效程度都尽可能小，由这些单元所组成的系统的效率值也将最优。
文章组织如下：第2部分在现有模型的基础上，提出基于公共权重的集成DEA模型；第3部分讨论集成DEA模型中存在多个决策单元有效的情形，并在第4部分给出运算规则；第5部分用实例对新模型的结果进行了分析，验证其有效性。文章的最后给出了结论。
2.模型描述
2.1 CCR模型。
设组成系统的n个决策单元消耗m个投入，得到s个产出。xik和yrk分别表示DMUk的第i个投入值和第r个产出值。由CCR模型［1］可以计算DMUk的相对效率：
其中k为DMUk的相对效率值。设模型1的最优解为(φ*k,w*i,u*r)，则(w*i,u*r)为使DMUk效率最优的权重。由于计算不同单元的效率所得到的投入和产出权重各不相同，且都是以牺牲其他DMU的效率为前提的，因此在评价不同单元对系统的贡献以及它们的相对排序时缺乏统一的标准。
2.2 基于公共权重的集成DEA模型。本文提出一种集成DEA模型
其中ε为非阿基米德无穷小。
CCR模型中，DMUk的效率值为k=sr=1uryrkmi=1wixik，度量了DMUk的有效程度。模型2中，
αk=τk1-πk=mi=1wixik-sr=1uryrkmi=1wixik=1-k，衡量的是DMUk无效的程度，可定义为DMUk的无效值。
模型2的意义在于寻求一组基于投入和产出的公共权重，使得被评价的所有决策单元的无效程度之和最小。
模型2有以下几个方面的特点：①与Ertay［9］等人提出的minimax效率模型不同，它是一个集成DEA模型。Ertay每次只考虑一个单元，希望找到一组基于被评价单元的偏好权重，使得其他决策单元的无效程度的最大值最小，它不能保证每个单元的无效程度都尽可能小。而模型2则是同时考虑所有决策单元，希望找到一组权重系数，使得所有单元的总体无效程度最小。换句话说，即系统的效率最优。②它可以得到一组公共权重，同时考虑所有决策单元的有效程度。这组权重可以同时对所有单元进行效率评价，也可以度量每个单元对系统的贡献程度，对这些单元进行排序。从模型2可知，由于这组权重是希望所有单元的无效程度最小，即使得系统的无效程度最小，因此可以尽可能消除不同单元对权重的不同偏好，从而最大程度的被所有单元接受。③大大简化了计算。已有研究中，大部分模型都需要对每个DMU分别计算，得到相应于该DMU的偏好权重，然后再通过适当的模型进行调整，使得利用该偏好权重计算出的DMU的相对效率尽可能合理。即使是刘英平等人提出的一些公共权重的模型，也是需要多次计算才能得到。而模型2是集成DEA模型，同时考虑组成系统的所有单元，因此大大简化了计算。
定理1：设τ*j,j=1,…,n为模型2的最优解，则必存在某个决策单元k，其τ*k=0。
证明：反证法。
设模型2的最优解为w*i,i=1,…，m,u*r,r=1,…，s,τ*j,π*j,j=1,…,n,且
设w*i,i=1,…,m,ur,r=1,…，s,τj,π*j,j=1，…，n是模型2的另一组可行解，则该可行解必满足模型2的约束（a）。即
说明存在不同于（w*i,u*r,τ*j,π*j）的一组可行解，使得模型2的目标函数更优。即τ*j,j=1,…,n不是模型2的最优解，与假设相矛盾。
即存在某个k，k∈{1,…，n}，使得τ*k=0。
定理2：若模型2中某决策单元k对应的τ*k=0，则DMUk在公共权重下是有效的。
证明：设τ*k=0,τ*j≥0，j=1,…，n,j≠k,则
且sr=1u*ryrj-
mi=1w*ixij=-τ*j≤0,j=1,…，n,j≠k。
由CCR模型可知：*k=1，即DMUk在公共权重下是有效的。
定理1和定理2说明模型2在考虑所有决策单元的总体效率最优时，至少存在一个决策单元是有效的。从这点看，集成DEA模型也是找出一组公共权重，使得某些单元有效，而其他单元相对于该权重的无效程度尽可能小。
3.集成DEA模型中多个单元有效的情形
当模型2计算出的结果中包含多个有效DMU时，需要考虑不同有效DMU对其他决策单元的影响。Jahanshahloo et.al［10］指出，从参照集中去除掉一个有效单元，必然会使得其他所有无效单元更接近前沿面（此时其他有效单元仍在前沿面上）。若其他所有单元的无效程度越小，则该单元越有效。
假设DMUt在公共权重下是有效的，利用模型3可以得到去除掉该单元对系统整体无效程度，即其他所有单元的影响：
设模型3的最优解为τ*j，π*j,j=1,…,n，则I*l=nj=1j≠lτ*j1-π*j。定义ρl=I*-I*lI*为有效单元DMUl对总体无效程度的影响，即影响因子，ρl的值越大，说明DMUl对整体的影响越大，也即该单元的有效程度越高。
4.运算规则
步骤1：根据模型2计算所有单元的整体无效程度I和每个单元的无效程度αk，若所有单元中只有1个单元的无效程度为0，则得出的投入和产出的权重为公共权重，并按照无效程度从小到大排序。若存在多个单元的无效程度为0，转至步骤2。
步骤2：根据模型3计算分别去除掉各有效单元所得到的总体无效程度，得到每个有效单元对应的影响因子。影响因子越大，对应的有效程度越高，并按此进行排序。
5.实例分析
为了验证基于公共权重的集成DEA排序方法的有效性，我们选取20所中国大学的数据，如表1所示。
利用模型2计算的结果如表2所示，得到的公共权重为：w*1=0.00862;w*2=0.0005;w*3=0.00088;v*l=0.00177;v*2=0.00547。
由于模型2计算的结果中包含4个有效单元，采用步骤2来对这4个单元进行排序，得到的结果见表2。其中k表示第k个单元的BCC效率。
表2 有效单元的影响因子及排序结果
6.结论
本文提出了一种基于公共权重的集成DEA模型，可以有效地对所有单元进行排序。与已有公共权重和排序的研究不同的是，该模型同时考虑所有决策单元，希望找到一组权重系数，使得所有单元的总体无效程度最小，即系统的效率最优。由于这组权重是希望所有单元的无效程度最小，即使得系统的无效程度最小，因此可以尽可能消除不同单元对权重的不同偏好，从而最大程度的被所有单元接受。另一方面，已有研究中，大部分模型都需要对每个DMU分别计算，计算的次数较多。而集成DEA模型只需计算一次，若存在e个有效单元，计算的次数为e+1，大大简化了计算。通过实例分析，验证了新模型的有效性和可行性。
参考文献
［1］ Charnes,A.,Cooper,W.,Rhodes,E.,Measuring the efficiency of decision-making units,European Journal of Operational Research,1978(2),429～444
［2］ Banker,R.D.,Charnes,A.,Cooper,W.W.Some models for estimating technical and scale inefficiency in data envelopment analysis.Management Science,1984(30),1078～1092
［3］ Sexton,T.R.,Siklman,R.H.,Hogan,A.J.Data Envelopment Analysis:Critique and Extensions,in:R.H.Silkman(Ed.),Measuring Efficiency:An Assessment of Data Envelopment Analysis,Jossey-Bass,San Francisco,CA,1986,73~105
［4］ Doyle,J.,Green,R.,Efficiency and Cross Efficiency in DEA:Derivations,Meanings and the Uses,Journal of the Operational Research Society,1994(45),567～578
［5］ Sarkis,J.A comparative analysis of DEA as a discrete alternative multiple criteria decision tool.European Journal of Operational Research,2000(3),543～557
［6］ Sinuany-Stern,Z.et al,Academic Departments Efficiency via Data Envelopment Analysis［J］.Computers and Operations Research,1994,21 (5):543～556
［7］ Sinuany-Stern,Z.,Friedman,L.,Data Envelopment Analysis and the Discriminant Analysis of Ratios for Ranking Units［J］.European Journal of Operational Research,1998,111:470～478
［8］ 刘英平、林志贵、沈祖诒.有效区分决策单元的数据包络方法，系统工程理论与实践，2006(3),112～116
［9］ Ertay,T.,Ruan,D.and Tuzkaya,U.R.Integrating data envelopment analysis and analytic hierarchy for the facility layout design in manufacturing systems.Information Sciences,2006(176),237～262
［10］ Jahanshahloo,G.R.,Afzalinejad,M.,A Ranking Method Based on a Full-inefficient Frontier［J］.Applied Mathematical Modelling 2006,30:248～260
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
查勇（1977-），男，安徽人，博士，研究方向：管理科学、系统工程。
梁樑（1962-），男，北京人，博士，教授，博士生导师，执行院长，研究方向：管理科学、系统工程。
杨锋（1977-），男，湖北人，博士，研究方向：管理科学、运筹学。
苟清龙（1979-），男，四川人，博士，研究方向：管理科学。
摘要：基于公共权重的排序研究是管理科学中的一个重要课题，具有很强的现实意义。传统DEA方法确定了使得每个决策单元最优的偏好权重，却无法得到所有单元都能普遍接受的公共权重。本文提出了集成DEA模型，寻求一组公共权重，使得所有单元的无效程度之和最小，此时系统的效率最优。这组权重可以同时度量所有单元的有效程度，进行效率评价，也可以度量每个单元对系统的贡献程度，从而对这些单元进行排序。实例分析证实该模型的有效性和适用性。
关键词：数据包络分析 公共权重 集成DEA 排序
An integrated DEA ranking method based upon common weights
Zha Yong Liang Liang Yang Feng Gou Qinglong
Abstract:The ranking research based upon common weights is an important topic in management science,and has a great meaning in practice.Although conventional DEA approach can fetch the preferable weights of each decision making unit (DMU),it cannot obtain common weights generally accepted by all DMUs.This paper proposes an integrated DEA model,which aims at minimizing the total inefficient score of all DMUs and correspondingly optimizing the relative system efficiency based upon the common weights.With such common weights,the efficiency of each DMU is evaluated equitably and effectively,as well as the contribution of each DMU to system,and as a result,a complete ranking order is proposed from it.The data analysis verifies the feasibility and applicability of the approach.
Keywords:Data envelopment analysis Common weight Integrated DEA Ranking
【中图分类号】F162.6【文献标识码】B 【文章编号】1009-9646(2008)07-0023-04
1.引言
数据包络分析（DEA）作为一种非参数方法，能够有效地评价不同决策单元（Decision Making Uint,DMU）的相对效率，已被广泛应用于管理科学的各个领域。传统DEA模型［1，2］在对某个DMU的效率进行评价时，总是希望找到使得其效率最大化的一组权重。由于该权重以牺牲其他DMU的效率为前提，无法被其他DMU所接受。因此寻找一组能被大多数DMU所接受的权重就显得较为迫切。
已有学者对DEA模型中权重的选择做了大量研究，并提出相应的改进模型。Sexton［3］等人提出交叉效率，将每个决策单元的偏好权重之和作为公共权重，依据该公共权重计算各决策单元的效率值，但可能会得到无穷多组最优权重的情形；Doyle［4］等人将其他DMU的投入和产出汇总成一个虚拟单元，从多个最优权重中提取出对该单元最有利和最不利的两组权重系数，并给出进取型和仁慈型两种改进方式；Sarkis［5］等人则利用汇总单元的均值代替汇总值，用来克服Doyle改进模型权重过小的情形；SinuanyStern等人［6，7］分别将线性判别分析方法与比例判别分析方法等多元统计方法与DEA模型结合起来对决策单元进行排序；刘英平［8］等人利用所有DMU投入和产出的相应指标值构造最优和最差两个虚拟DMU，求出一组公共权重，使得最优DMU效率最大的同时，最差DMU的效率最小，并以此为基准计算每个DMU的相对效率。Ertay［9］等人提出minimax效率，希望在对某个决策单元评价的同时，使得其他所有单元的无效程度的最大值最小，这样保证了求得的权重能使所有单元的无效程度都限定在一个可以接受的范围内。
已有的DEA研究中，每个决策单元都希望找到一组权重系数，使得自身的效率最大化，从而出现了每个单元都有适合其自身的偏好权重，不同单元之间因为权重的多样性而缺乏可比性。虽然已有研究在寻求公共权重方面做了很多努力，但还存在一些问题，如权重系数的不唯一性，偏好权重的不被广泛接受等，对公共权重的选择还不能达到统一，无法给出每个单元都能信服的、公共的指标权重。
本文在已有DEA权重研究的基础上，寻求一组投入和产出的权重，使得具有相同投入和产出的同质的多个决策单元的无效程度之和最小。由于该组权重系数希望每个决策单元的无效程度都尽可能小，由这些单元所组成的系统的效率值也将最优。
文章组织如下：第2部分在现有模型的基础上，提出基于公共权重的集成DEA模型；第3部分讨论集成DEA模型中存在多个决策单元有效的情形，并在第4部分给出运算规则；第5部分用实例对新模型的结果进行了分析，验证其有效性。文章的最后给出了结论。
2.模型描述
2.1 CCR模型。
设组成系统的n个决策单元消耗m个投入，得到s个产出。xik和yrk分别表示DMUk的第i个投入值和第r个产出值。由CCR模型［1］可以计算DMUk的相对效率：
其中k为DMUk的相对效率值。设模型1的最优解为(φ*k,w*i,u*r)，则(w*i,u*r)为使DMUk效率最优的权重。由于计算不同单元的效率所得到的投入和产出权重各不相同，且都是以牺牲其他DMU的效率为前提的，因此在评价不同单元对系统的贡献以及它们的相对排序时缺乏统一的标准。
2.2 基于公共权重的集成DEA模型。本文提出一种集成DEA模型
其中ε为非阿基米德无穷小。
CCR模型中，DMUk的效率值为k=sr=1uryrkmi=1wixik，度量了DMUk的有效程度。模型2中，
αk=τk1-πk=mi=1wixik-sr=1uryrkmi=1wixik=1-k，衡量的是DMUk无效的程度，可定义为DMUk的无效值。
模型2的意义在于寻求一组基于投入和产出的公共权重，使得被评价的所有决策单元的无效程度之和最小。
模型2有以下几个方面的特点：①与Ertay［9］等人提出的minimax效率模型不同，它是一个集成DEA模型。Ertay每次只考虑一个单元，希望找到一组基于被评价单元的偏好权重，使得其他决策单元的无效程度的最大值最小，它不能保证每个单元的无效程度都尽可能小。而模型2则是同时考虑所有决策单元，希望找到一组权重系数，使得所有单元的总体无效程度最小。换句话说，即系统的效率最优。②它可以得到一组公共权重，同时考虑所有决策单元的有效程度。这组权重可以同时对所有单元进行效率评价，也可以度量每个单元对系统的贡献程度，对这些单元进行排序。从模型2可知，由于这组权重是希望所有单元的无效程度最小，即使得系统的无效程度最小，因此可以尽可能消除不同单元对权重的不同偏好，从而最大程度的被所有单元接受。③大大简化了计算。已有研究中，大部分模型都需要对每个DMU分别计算，得到相应于该DMU的偏好权重，然后再通过适当的模型进行调整，使得利用该偏好权重计算出的DMU的相对效率尽可能合理。即使是刘英平等人提出的一些公共权重的模型，也是需要多次计算才能得到。而模型2是集成DEA模型，同时考虑组成系统的所有单元，因此大大简化了计算。
定理1：设τ*j,j=1,…,n为模型2的最优解，则必存在某个决策单元k，其τ*k=0。
证明：反证法。
设模型2的最优解为w*i,i=1,…，m,u*r,r=1,…，s,τ*j,π*j,j=1,…,n,且
设w*i,i=1,…,m,ur,r=1,…，s,τj,π*j,j=1，…，n是模型2的另一组可行解，则该可行解必满足模型2的约束（a）。即
说明存在不同于（w*i,u*r,τ*j,π*j）的一组可行解，使得模型2的目标函数更优。即τ*j,j=1,…,n不是模型2的最优解，与假设相矛盾。
即存在某个k，k∈{1,…，n}，使得τ*k=0。
定理2：若模型2中某决策单元k对应的τ*k=0，则DMUk在公共权重下是有效的。
证明：设τ*k=0,τ*j≥0，j=1,…，n,j≠k,则
且sr=1u*ryrj-
mi=1w*ixij=-τ*j≤0,j=1,…，n,j≠k。
由CCR模型可知：*k=1，即DMUk在公共权重下是有效的。
定理1和定理2说明模型2在考虑所有决策单元的总体效率最优时，至少存在一个决策单元是有效的。从这点看，集成DEA模型也是找出一组公共权重，使得某些单元有效，而其他单元相对于该权重的无效程度尽可能小。
3.集成DEA模型中多个单元有效的情形
当模型2计算出的结果中包含多个有效DMU时，需要考虑不同有效DMU对其他决策单元的影响。Jahanshahloo et.al［10］指出，从参照集中去除掉一个有效单元，必然会使得其他所有无效单元更接近前沿面（此时其他有效单元仍在前沿面上）。若其他所有单元的无效程度越小，则该单元越有效。
假设DMUt在公共权重下是有效的，利用模型3可以得到去除掉该单元对系统整体无效程度，即其他所有单元的影响：
设模型3的最优解为τ*j，π*j,j=1,…,n，则I*l=nj=1j≠lτ*j1-π*j。定义ρl=I*-I*lI*为有效单元DMUl对总体无效程度的影响，即影响因子，ρl的值越大，说明DMUl对整体的影响越大，也即该单元的有效程度越高。
4.运算规则
步骤1：根据模型2计算所有单元的整体无效程度I和每个单元的无效程度αk，若所有单元中只有1个单元的无效程度为0，则得出的投入和产出的权重为公共权重，并按照无效程度从小到大排序。若存在多个单元的无效程度为0，转至步骤2。
步骤2：根据模型3计算分别去除掉各有效单元所得到的总体无效程度，得到每个有效单元对应的影响因子。影响因子越大，对应的有效程度越高，并按此进行排序。
5.实例分析
为了验证基于公共权重的集成DEA排序方法的有效性，我们选取20所中国大学的数据，如表1所示。
利用模型2计算的结果如表2所示，得到的公共权重为：w*1=0.00862;w*2=0.0005;w*3=0.00088;v*l=0.00177;v*2=0.00547。
由于模型2计算的结果中包含4个有效单元，采用步骤2来对这4个单元进行排序，得到的结果见表2。其中k表示第k个单元的BCC效率。
表2 有效单元的影响因子及排序结果
6.结论
本文提出了一种基于公共权重的集成DEA模型，可以有效地对所有单元进行排序。与已有公共权重和排序的研究不同的是，该模型同时考虑所有决策单元，希望找到一组权重系数，使得所有单元的总体无效程度最小，即系统的效率最优。由于这组权重是希望所有单元的无效程度最小，即使得系统的无效程度最小，因此可以尽可能消除不同单元对权重的不同偏好，从而最大程度的被所有单元接受。另一方面，已有研究中，大部分模型都需要对每个DMU分别计算，计算的次数较多。而集成DEA模型只需计算一次，若存在e个有效单元，计算的次数为e+1，大大简化了计算。通过实例分析，验证了新模型的有效性和可行性。
参考文献
［1］ Charnes,A.,Cooper,W.,Rhodes,E.,Measuring the efficiency of decision-making units,European Journal of Operational Research,1978(2),429～444
［2］ Banker,R.D.,Charnes,A.,Cooper,W.W.Some models for estimating technical and scale inefficiency in data envelopment analysis.Management Science,1984(30),1078～1092
［3］ Sexton,T.R.,Siklman,R.H.,Hogan,A.J.Data Envelopment Analysis:Critique and Extensions,in:R.H.Silkman(Ed.),Measuring Efficiency:An Assessment of Data Envelopment Analysis,Jossey-Bass,San Francisco,CA,1986,73~105
［4］ Doyle,J.,Green,R.,Efficiency and Cross Efficiency in DEA:Derivations,Meanings and the Uses,Journal of the Operational Research Society,1994(45),567～578
［5］ Sarkis,J.A comparative analysis of DEA as a discrete alternative multiple criteria decision tool.European Journal of Operational Research,2000(3),543～557
［6］ Sinuany-Stern,Z.et al,Academic Departments Efficiency via Data Envelopment Analysis［J］.Computers and Operations Research,1994,21 (5):543～556
［7］ Sinuany-Stern,Z.,Friedman,L.,Data Envelopment Analysis and the Discriminant Analysis of Ratios for Ranking Units［J］.European Journal of Operational Research,1998,111:470～478
［8］ 刘英平、林志贵、沈祖诒.有效区分决策单元的数据包络方法，系统工程理论与实践，2006(3),112～116
［9］ Ertay,T.,Ruan,D.and Tuzkaya,U.R.Integrating data envelopment analysis and analytic hierarchy for the facility layout design in manufacturing systems.Information Sciences,2006(176),237～262
［10］ Jahanshahloo,G.R.,Afzalinejad,M.,A Ranking Method Based on a Full-inefficient Frontier［J］.Applied Mathematical Modelling 2006,30:248～260
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”