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摘要:本文站在独特的角度构造三角形,在三角形中利用正余弦定理,在传统降幂凑角变形等基本方法上另辟蹊径,巧妙地解决了这一类三角函数的求值、化简问题,开阔了学生视野,提高了学生的创新能力和综合应用能力.
关键词:三角函数;三角求值化简;正余弦定理
三角函数这一章内容中公式比较多,选用不同的公式,会使解题的难易程度不同,解题方法灵活多样,尤其是三角函数中有关求值问题更为突出. 这为三角求值既带来了一题多解的优越性,又带来了计算庞杂、烦琐、易半途而废的困惑感. 下面一类三角求值问题选择方法不当易让人一筹莫展,但挖掘三角问题中所具有的图形特征,准确、巧妙、有效地构造三角形,利用三角形的有关知识就能解答这类三角求值问题,下面笔者以例题的形式展现给大家.
例1求sin220°+cos265°+ sin160°•cos65°.
解析sin220°+cos265°+ sin160°•cos65°=sin220°+sin225°+sin20°•sin25°
图1
联想到三角形内角和为180°,构造三角形ABC,使三内角分别为20°、25°、135°. 如图1所示,设A=20°、B=25°、C=135°,且设△ABC的外接圆半径为R,由正弦定理可知:
===2R,
sinA=,
sinB=,
sinC=,
即:sin20°=,sin25°=,sin135°==.
由余弦定理可知:c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-2abcos135°=a2+b2+ab.
原式=2+2+••==
=(sinC)2=(sin135°)2=.
构造三角形,利用三角形知识,该题很容易得到突破.
变式1:求sin220°+cos265°+•cos110°cos115°.
变式2:求cos40°-cos130°-cos110°•cos115°.
变式3:(全国高考题)求sin220°+cos280°+sin20°•cos80°.
变式4:求sin220°+cos250°+sin20°•cos50°.
变式5:求cos247°+cos273°+cos47°•cos73°.
变式6:(全国数学联赛)求sin210°+cos240°+sin10°•cos40°.
变式7:求sin2α+cos2(α+30°)+sinα•cos(α+30°).
变式8:求sin2(α-30°)+cos2α+sin(α-30°)•cosα.
这类题还可以采用对偶式法,降幂、凑角等方法解答,这里就不一一列举了.
例2求cos36°的值.
看似简单,但实际操作却相当困难,不易入手,但联想到特殊三角形,可构造等腰三角形,其顶角A=36°,底角B=C=72°,可以巧妙解决.
图2
如图2,∠A=36°,∠B=∠C=72°.
过C作∠ACB的角平分线CD交AB于D,
设E为AC的中点,则∠ACD=∠DCB=∠CAD=36°,所以AD=CD=BC.
设AD=CD=BC=a. 在等腰△ACD中,AC=2AE=2ADcos36°=2acos36°.
同理,在等腰△BCD中,BD=2BC•cos72°=2acos72°.
因为BD=AB-AD=AC-AD,
所以2acos72°=2acos36°-a,
所以2(2cos236°-1)=2cos36°-1,
4cos236°-2cos36°-1=0.
解得cos36°=或 .
因为cos36°>0,
所以cos36°=(舍去).
变式1:求sin36°的值. ?摇
变式2:求cos72°、sin72°的值.
变式3:求sin18°的值.
变式4:求cos18°的值.
构造三角形可以先求出与36°有关的三角函数值,再解决这类特殊角的三角函数值.
例3α、φ均为锐角,且α+φ<,化简cos2φ+cos2(α+φ)-2cosφ•cos(α+φ)•cosα.
本题除可以采用降幂、凑角、展开求解外,还可以通过构造△ABC进行巧妙地解答.
解析构造外接圆直径为1的△ABC,且△ABC的三内角分别为:A=90°+φ,B=90°-(α+φ),C=α. 在△ABC中由余弦定理可知
c2=a2+b2-2abcosC,
结合正弦定理可转化为
(2RsinC)2=(2RsinA)2+(2RsinB)2-2•2RsinA•2RsinB•cosC,
sin2C=sin2A+sin2B-2sinA•sinB•cosC?摇
(同理,在△ABC中有sin2A=sin2B+sin2C-2sinB•sinC•cosA,
sin2B=sin2A+sin2C-2sinA•sinC•cosB,将此三个公式叫做正余弦定理).
则由正余弦定理可知:
sin2(90°+φ)+sin2[90°-(α+φ)]-2sin(90°+φ)sin[90°-(α+φ)]cosα=sin2A+sin2B-2sinA•sinB•cosC=sin2C=sin2α,即cos2φ+cos2(α+φ)-2cosφ•cos(α+φ)•cosα=sin2α.
变式1:化简cos2α+cos2β-2cosα•cosβcos(β-α)(答案:sin2(β-α)).
变式2:化简sin2α+sin2β+2sinα•sinβcos(α+β)(答案:sin2(α+β)).
变式3:化简cos2α+cos2(α+β)-2cosα•cosβcos(α+β)(答案:sin2β).
变式4:化简sin2(α-β)+sin2β+2sin(α-β)•sinβ•cosα (答案:sin2α).
由角的变换可以解决变式问题.
总之,联想三角求值中已知数量之间的关系,大胆构造三角形,巧妙地借助正弦定理、余弦定理及三角形中相关定理,可以直观、准确、迅速、有效地解决这类问题. 让学生学会大胆猜想,充分联系,有效地构造,巧妙转化为三角形中的有关问题,找到突破口,从而巧解这类三角求值问题. 同时,开阔了学生的视野,提高了学生分析问题、解决问题的能力,培养了他们的创新思维,收到了意想不到的效果,获得了别样风采.
关键词:三角函数;三角求值化简;正余弦定理
三角函数这一章内容中公式比较多,选用不同的公式,会使解题的难易程度不同,解题方法灵活多样,尤其是三角函数中有关求值问题更为突出. 这为三角求值既带来了一题多解的优越性,又带来了计算庞杂、烦琐、易半途而废的困惑感. 下面一类三角求值问题选择方法不当易让人一筹莫展,但挖掘三角问题中所具有的图形特征,准确、巧妙、有效地构造三角形,利用三角形的有关知识就能解答这类三角求值问题,下面笔者以例题的形式展现给大家.
例1求sin220°+cos265°+ sin160°•cos65°.
解析sin220°+cos265°+ sin160°•cos65°=sin220°+sin225°+sin20°•sin25°
图1
联想到三角形内角和为180°,构造三角形ABC,使三内角分别为20°、25°、135°. 如图1所示,设A=20°、B=25°、C=135°,且设△ABC的外接圆半径为R,由正弦定理可知:
===2R,
sinA=,
sinB=,
sinC=,
即:sin20°=,sin25°=,sin135°==.
由余弦定理可知:c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-2abcos135°=a2+b2+ab.
原式=2+2+••==
=(sinC)2=(sin135°)2=.
构造三角形,利用三角形知识,该题很容易得到突破.
变式1:求sin220°+cos265°+•cos110°cos115°.
变式2:求cos40°-cos130°-cos110°•cos115°.
变式3:(全国高考题)求sin220°+cos280°+sin20°•cos80°.
变式4:求sin220°+cos250°+sin20°•cos50°.
变式5:求cos247°+cos273°+cos47°•cos73°.
变式6:(全国数学联赛)求sin210°+cos240°+sin10°•cos40°.
变式7:求sin2α+cos2(α+30°)+sinα•cos(α+30°).
变式8:求sin2(α-30°)+cos2α+sin(α-30°)•cosα.
这类题还可以采用对偶式法,降幂、凑角等方法解答,这里就不一一列举了.
例2求cos36°的值.
看似简单,但实际操作却相当困难,不易入手,但联想到特殊三角形,可构造等腰三角形,其顶角A=36°,底角B=C=72°,可以巧妙解决.
图2
如图2,∠A=36°,∠B=∠C=72°.
过C作∠ACB的角平分线CD交AB于D,
设E为AC的中点,则∠ACD=∠DCB=∠CAD=36°,所以AD=CD=BC.
设AD=CD=BC=a. 在等腰△ACD中,AC=2AE=2ADcos36°=2acos36°.
同理,在等腰△BCD中,BD=2BC•cos72°=2acos72°.
因为BD=AB-AD=AC-AD,
所以2acos72°=2acos36°-a,
所以2(2cos236°-1)=2cos36°-1,
4cos236°-2cos36°-1=0.
解得cos36°=或 .
因为cos36°>0,
所以cos36°=(舍去).
变式1:求sin36°的值. ?摇
变式2:求cos72°、sin72°的值.
变式3:求sin18°的值.
变式4:求cos18°的值.
构造三角形可以先求出与36°有关的三角函数值,再解决这类特殊角的三角函数值.
例3α、φ均为锐角,且α+φ<,化简cos2φ+cos2(α+φ)-2cosφ•cos(α+φ)•cosα.
本题除可以采用降幂、凑角、展开求解外,还可以通过构造△ABC进行巧妙地解答.
解析构造外接圆直径为1的△ABC,且△ABC的三内角分别为:A=90°+φ,B=90°-(α+φ),C=α. 在△ABC中由余弦定理可知
c2=a2+b2-2abcosC,
结合正弦定理可转化为
(2RsinC)2=(2RsinA)2+(2RsinB)2-2•2RsinA•2RsinB•cosC,
sin2C=sin2A+sin2B-2sinA•sinB•cosC?摇
(同理,在△ABC中有sin2A=sin2B+sin2C-2sinB•sinC•cosA,
sin2B=sin2A+sin2C-2sinA•sinC•cosB,将此三个公式叫做正余弦定理).
则由正余弦定理可知:
sin2(90°+φ)+sin2[90°-(α+φ)]-2sin(90°+φ)sin[90°-(α+φ)]cosα=sin2A+sin2B-2sinA•sinB•cosC=sin2C=sin2α,即cos2φ+cos2(α+φ)-2cosφ•cos(α+φ)•cosα=sin2α.
变式1:化简cos2α+cos2β-2cosα•cosβcos(β-α)(答案:sin2(β-α)).
变式2:化简sin2α+sin2β+2sinα•sinβcos(α+β)(答案:sin2(α+β)).
变式3:化简cos2α+cos2(α+β)-2cosα•cosβcos(α+β)(答案:sin2β).
变式4:化简sin2(α-β)+sin2β+2sin(α-β)•sinβ•cosα (答案:sin2α).
由角的变换可以解决变式问题.
总之,联想三角求值中已知数量之间的关系,大胆构造三角形,巧妙地借助正弦定理、余弦定理及三角形中相关定理,可以直观、准确、迅速、有效地解决这类问题. 让学生学会大胆猜想,充分联系,有效地构造,巧妙转化为三角形中的有关问题,找到突破口,从而巧解这类三角求值问题. 同时,开阔了学生的视野,提高了学生分析问题、解决问题的能力,培养了他们的创新思维,收到了意想不到的效果,获得了别样风采.