摘要：数学定理是前人心血的结晶，为我们创造和开拓了广泛的发展空间，有人认为对于以有定理的研
　　究没有必要，其实我们如果对于以有的定律或公式进行研究时往往会有新的收获，得到新的定理。本文主要探讨初等变换是线性方程组仅有的同解变换。
　　关键词：线性方程组；初等变换；同解变换
　　
　　定义1两个线性方程组若有相同的解集，则称它们是同解的．
　　定义2线性方程组的初等变换指的是对线性方程组施行的以下变换：
　　1）换位变换．交换两个方程的位置；
　　2）倍法变换．用一个非零的数乘某个方程；
　　3）消法变换．用一个数乘某个方程后加到另一个方程上去．
　　利用初等代数的知识，我们知道有以下定理：
　　定理1初等变换把一个线性方程组变为与它同解的方程组，即初等变换是线性方程组的同解变换．
　　这个定理的逆命题是否成立呢？即若两个线性方程组同解，其中一个方程组是否一定可由另一个方程组经初等变换得到呢？
　　当线性方程组有解时，称系数矩阵的秩（此时也是增广矩阵的秩）．为该方程组的秩．
　　首先，我们有
　　定理2若有解的两个线性方程组同解，则它们的导出的齐次方程组也同解，且同解方程组有相同的秩．
　　
　　容易证明，这个定理的逆命题并不成立．即若两个有解的线性方程组，它们有相同的秩，相同的未知量，它们未必同解．
　　例如，
　　
　　显然均有解，且秩均为3，但它们不同解．
　　以下定理是定理1的逆命题．
　　定理3若两个线性方程同解，则必能经初等变换由一个方程组变到另一个方程组．即初等变换是线性方程组仅有的同解变换．
　　
　　 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间，且dimT┻=n-(n-r)．注意到dimU=dimV=r ，且U?哿T┻，V?哿T┻ ，所以 U=V=T┻ ．这样A，C ，的行向量组等价，因而Vi可由u1，u2，…，ur线性表示．设
　　
　　经初等变换得到．
　　这个定理并且告诉我们，两个同解方程组的自由未知量个数不仅相同，而且未知量也可以是相同的．
　　综合定理1，定理3，我们有
　　定理4以A，C为增广矩阵的两个线性方程组同解的充分且必要条件是，存在可逆矩阵P使得C=PA ．
　　
　　参考文献
　　[1]王树禾 数学聊斋 科学出版社 2002年
　　[2]章士藻《中学数学教育学》江苏教育出版社
　　[3]徐玉林大学数学应用基础（下）.2004.8.
　　
　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”