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《静电场》是高中物理教材选修3-2的第一章内容，也是每年高考必考的内容，在高考考试大纲中占有十分重要的地位。其中电场的叠加在近些年的高考中也是多次考查，有的题目是单独考查电场的叠加，有的题目是把电场的叠加作为其中的一个环节进行考查，有的题目是考查点电荷电场的叠加，有的题目是考查非点电荷电场的叠加。前者用的是矢量合成的基本方法——平行四边形定则；而对于后者，因为这类题目给出的条件一般是带电物体，其中含有大量电荷，不能直接应用平行四边形定则进行求解，则比较麻烦。我将老师讲过的题目和自己练过的题目认真地加以整理、总结，发现解决非点电荷电场的叠加问题，通常利用这四种奇妙方法。
一、对称法
例1如图1所示，一半径为R的圆盘上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在垂直于圆盘且过圆心c的轴线上有a、b、d三个点，a和b、b和c、c和d间的距离均为R，在a点处有一电荷量为q（q>0）的固定点电荷。已知b点处的场强为0，则d点处场强的大小为（k为静电力常量）（）。
A.3qR2k
B.10q9R2k
C.Q+qR2k
D.9Q+q9R2k
解析：由于b点处的场强为零，根据电场叠加原理可知，带电圆盘和a点处点电荷在b处产生的场强大小相等，方向相反。即带电圆盘在b点处产生的场强大小为Eb=kqR2，方向向左。根据对称性，则带电圆盘在d点处产生的场强大小为Ed=kqR2，方向向右。且与a点处点电荷产生的场强方向相同，所以E=10q9R2k，所以B选项正确。
二、割补法
例2均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图2所示，
在半球面AB上均匀分布正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，OM=ON=2R。已知M点的场强大小为E，则N点的场强大小为（）。
A.kq2R2-E
B.kq4R2
C.kq4R2-E
D.kq4R2+E
解析：如图3，把半球壳补齐为一个完整球壳，因为均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。则球壳在M、N点所产生的电场为E0=k×2q（2R）2=kq2R2，由题已知半球壳在M点产生的场强为E，由对称法可得补上的半球壳在N点的场强也为E，所以已知半球壳在N点产生的场强为EN=E0-E=kq2R2-E。所以A选项正确。
三、等效法
例3如图4所示，图甲中MN为足够大的不带电薄金属板，在金属板的右侧，距离为d的位置上放入一个电荷量为+q的点电荷O，由于静电感应产生了如图甲所示的电场分布。P是金属板上的一点，P点与点电荷O之间的距离为r，几位同学想求出P点的电场强度大小，但发现问题很难。几位同学经过仔细研究，从图乙所示的电场得到了一些启示，经过查阅资料他们知道：图甲所示的电场分布与图乙中虚线右侧的电场分布是一样的。图乙中两异号点电荷电荷量的大小均为q，它们之间的距离为2d，虚线是两点电荷连线的中垂线。由此他们分别对P点的电场强度方向和大小做出以下判断，其中正确的是（）。
A.方向沿P点和点电荷的连线向左，大小为2kqd[]r3
B.方向沿P点和点电荷的连线向左，大小为2kqr2-d2[]r3
C.方向垂直于金属板向左，大小为2kqd[]r3
D.方向垂直于金属板向左，大小为2kqr2-d2[]r3
解析：根据题意，此电场等效于两个等量异号点电荷电场的叠加，如图5所示，
利用平行四边形定则可得：EP=2Ecosθ，其中E=kqr2，
cosθ=dr，联立可得EP=2kqd[]r3，且方向垂直于金属板向左，所以C选项正确。
四、微元法
例4如图7所示，半径为R的均匀带电细圆环的电荷量为Q。在过圆一环中心O与圆环平面垂直的轴线上放一电荷量为q的点电荷，点电荷到圆环中心的距离为x。点电荷受到的库仑力是（）。
A.kQqR2+x2
B.kQq（R2+x2）32
C.kQqxR2+x2
D.kQqx（R2+x2）32
解析：首先把圆环均匀分割为n等份（n为∞），则每一等份的电量为Qn；每一等份可以看作一个点电荷，则每一等份在x點所产生的电场强度的大小为E1=kQn（R2+x2）2=kQn（R2+x2）。E1沿着x方向的分量E1x=E1sinθ=kQn（R2+x2）×xR2+x=kQxn（R2+x2）32。所以该点的电场强度为等于圆环上所有等份的E1x大小之和，即E=nE1x=kQx（R2+x2）32，所以点电荷受到的库仑力为F=Eq=kQqx（R2+x2）32，所以D选项正确。
作者单位：河南省罗山高级中学三（2）班
一、对称法
例1如图1所示，一半径为R的圆盘上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在垂直于圆盘且过圆心c的轴线上有a、b、d三个点，a和b、b和c、c和d间的距离均为R，在a点处有一电荷量为q（q>0）的固定点电荷。已知b点处的场强为0，则d点处场强的大小为（k为静电力常量）（）。
A.3qR2k
B.10q9R2k
C.Q+qR2k
D.9Q+q9R2k
解析：由于b点处的场强为零，根据电场叠加原理可知，带电圆盘和a点处点电荷在b处产生的场强大小相等，方向相反。即带电圆盘在b点处产生的场强大小为Eb=kqR2，方向向左。根据对称性，则带电圆盘在d点处产生的场强大小为Ed=kqR2，方向向右。且与a点处点电荷产生的场强方向相同，所以E=10q9R2k，所以B选项正确。
二、割补法
例2均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图2所示，
在半球面AB上均匀分布正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，OM=ON=2R。已知M点的场强大小为E，则N点的场强大小为（）。
A.kq2R2-E
B.kq4R2
C.kq4R2-E
D.kq4R2+E
解析：如图3，把半球壳补齐为一个完整球壳，因为均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。则球壳在M、N点所产生的电场为E0=k×2q（2R）2=kq2R2，由题已知半球壳在M点产生的场强为E，由对称法可得补上的半球壳在N点的场强也为E，所以已知半球壳在N点产生的场强为EN=E0-E=kq2R2-E。所以A选项正确。
三、等效法
例3如图4所示，图甲中MN为足够大的不带电薄金属板，在金属板的右侧，距离为d的位置上放入一个电荷量为+q的点电荷O，由于静电感应产生了如图甲所示的电场分布。P是金属板上的一点，P点与点电荷O之间的距离为r，几位同学想求出P点的电场强度大小，但发现问题很难。几位同学经过仔细研究，从图乙所示的电场得到了一些启示，经过查阅资料他们知道：图甲所示的电场分布与图乙中虚线右侧的电场分布是一样的。图乙中两异号点电荷电荷量的大小均为q，它们之间的距离为2d，虚线是两点电荷连线的中垂线。由此他们分别对P点的电场强度方向和大小做出以下判断，其中正确的是（）。
A.方向沿P点和点电荷的连线向左，大小为2kqd[]r3
B.方向沿P点和点电荷的连线向左，大小为2kqr2-d2[]r3
C.方向垂直于金属板向左，大小为2kqd[]r3
D.方向垂直于金属板向左，大小为2kqr2-d2[]r3
解析：根据题意，此电场等效于两个等量异号点电荷电场的叠加，如图5所示，
利用平行四边形定则可得：EP=2Ecosθ，其中E=kqr2，
cosθ=dr，联立可得EP=2kqd[]r3，且方向垂直于金属板向左，所以C选项正确。
四、微元法
例4如图7所示，半径为R的均匀带电细圆环的电荷量为Q。在过圆一环中心O与圆环平面垂直的轴线上放一电荷量为q的点电荷，点电荷到圆环中心的距离为x。点电荷受到的库仑力是（）。
A.kQqR2+x2
B.kQq（R2+x2）32
C.kQqxR2+x2
D.kQqx（R2+x2）32
解析：首先把圆环均匀分割为n等份（n为∞），则每一等份的电量为Qn；每一等份可以看作一个点电荷，则每一等份在x點所产生的电场强度的大小为E1=kQn（R2+x2）2=kQn（R2+x2）。E1沿着x方向的分量E1x=E1sinθ=kQn（R2+x2）×xR2+x=kQxn（R2+x2）32。所以该点的电场强度为等于圆环上所有等份的E1x大小之和，即E=nE1x=kQx（R2+x2）32，所以点电荷受到的库仑力为F=Eq=kQqx（R2+x2）32，所以D选项正确。
作者单位：河南省罗山高级中学三（2）班