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笔者在解决问题领域的教学中，致力于对一道习题深挖其功能，进行一题多问、一题多变、一题多解，努力在学生想不清、想不深、想不透的地方下功夫，“多走一步”，为提升学生数学素养而教。
一、在学生想不清的地方一题多问，理顺关系
习题一：《长、正方形周长和面积》的练习课中出示一个可以抽拉纸张的信封（如图1）。
问题1：这是什么图形？如果继续缓慢地拉动，你猜会是什么图形？拉到什么地方会拉出一个正方形？
问题2：拉过正方形再继续拉，从这个长方形（图2）里剪去一个最大正方形，求剩余部分的周长、面积各是多少？
问题3：继续拉，出现长方形（如图3），正好可以剪成三个最大正方形，周长增加了20厘米，长方形的周长和面积各是多少？
问题4：剪出图形：长方形面积减少，剩余部分周长不变；长方形面积减少，剩余部分周长变长；长方形面积减少，剩余部分周长变短。
学生想不清的地方：学生在单独学习周长或面积时，解决问题大多顺畅，因为练习比较单一，只求周长或面积，而两个知识点相互融合出题，要把周长和面积进行转化、归类，是学生想不清楚、容易混淆的地方。
设计意图：一道练习题，一连提出了四个问题。第一个问题主要是猜想拉出来的图形形状，由长方形到正方形，再由正方形到长方形，长、正方形在形状上的相互转化。长、正方形各条边之间的关系在拉图形的过程中更加清晰了，同时也培养了空间观念。第二个问题中，长方形中剪去一个最大正方形，正方形的边长是长方形的宽，条件相互转化。第三个问题中，长、正方形间接条件的再次转换，再进行长、正方形周长和面积的演算。第四题是一题综合题，需要学生周长和面积之间的灵活转化，通过动手操作让学生有所感悟，理顺面积与周长的关系，提升空间观念。
面积减少周长不变 面积减少周长变大 面积减少周长变小
小学生在解决问题的过程中，实质上完成认识上的两个转化。第一个转化指从纷乱的实际问题中，收集、观察、比较、筛选有用的信息，抽象成数学问题；第二个转化是根据已抽象出来的数学问题，分析其中的数量关系，探索解决问题的方法。像这样，在学生想不清的地方一题多问，每个问题都紧紧围绕长、正方形周长与面积之间的关系和转化，使得周长与面积在不断的辨析中，关系更加清晰。
二、在学生想不深的地方一题多变，聚焦思维
习题二：在五年级下册长、正方体单元，学习表面积之后的练习课中，设计了如下一组题：
练习1：一个长方体的侧面展开图正好是一个正方形，底面是面积为100平方厘米的正方形，这个长方体的表面积是多少平方厘米？
练习2：一个长方体的侧面展开图正好是一个正方形，底面是面积为324平方厘米的正方形，这个长方体的表面积是多少平方厘米？
练习3：一个长方体的侧面展开图正好是一个正方形，底面是面积为500平方厘米的正方形，这个长方体的表面积是多少平方厘米？
学生想不深的地方：这三道题只有底面积大小有区别：练习1和练习2容易计算，因为底面积100和324，是10和18的平方，学生很熟悉，因此很容易计算出底面边长，从而算出侧面积和表面积。而练习3的数据是500，不是某数的平方，小学阶段没学过开方，学生思维受阻，呈现了一个思维冲突。现在的问题是：是不是一定要计算出底面边长才可以计算侧面积呢？
设计意图：在练习3中，学生无法直接求得底面边长，导致利用底面边长计算侧面积发生障碍，学生思维深入不了。引导学生画图（上图），发现侧面积刚好是4×4个底面积，那么表面积就是4×4+2个底面积。再追溯到第1、2题，也可以用“长方体表面积=底面积×18”这个模型进行计算，而不一定要受制于一定要求出底面的边长。
在学生想不深的地方，通过一题多变，依托题组方式，层层递进，聚焦思维，渗透数学思想方法，不失为一种良策。
三、在学生想不透的地方一题多解，发展能力
习题三：人教版小学数学二年级上册乘法初步认识（一）的练习课中，出示下图习题，考验二年级学生的综合思维能力。
学生想不透的地方：这种类型的题目，学生至少能够用一种方法进行解决，比如：5+5+4+4=18（个），部分学生能够用两种方法进行解决，但是极少穷尽，容易想得不够透彻。这暴露了学生思维的不够灵活，不够全面，需要教师不断引导，思维才能更加深刻，从而发展能力。
设计意图：为了让学生能够想得透彻，我设计了以下教学环节：
环节一：观看亚洲象生活视频，了解亚洲象的身体特征。
环节二：亚洲象一共有几个脚趾的演算。掌握亚洲象脚趾的生理特征后，让学生自主演算脚趾的总数。汇总后，出现以下几种解决方法：
5+5+4+4=18（个）；5+4+5+4=18（个）；5×2+4×2=18（个）；（5+4）×2=18（个）。
环节三：说说每一种演算的理由。
环节四：“我们都是非洲象”游戏。根据每一种算理，我们一起演演非洲象。将两个手的大拇指藏起来当做非洲象的后肢脚趾，用两只脚当做非洲象的前肢脚趾。学生时而抬起脚，时而抬起手，时而抬起手和脚，开心地当着“非洲象”。
在学生想不透的地方一题多解，算法多样化呈现多元思维，引导学生想得透彻，想得全面，有助于培养其数学能力。
多走一步天地宽，通过一题多问、一题多变、一题多解，让学生在思维上多走一步，天地豁然开朗。
（作者单位：浙江省杭州经济技术开发区学林街小学）
责任编辑 曾维平
E-mail：[email protected]
一、在学生想不清的地方一题多问，理顺关系
习题一：《长、正方形周长和面积》的练习课中出示一个可以抽拉纸张的信封（如图1）。
问题1：这是什么图形？如果继续缓慢地拉动，你猜会是什么图形？拉到什么地方会拉出一个正方形？
问题2：拉过正方形再继续拉，从这个长方形（图2）里剪去一个最大正方形，求剩余部分的周长、面积各是多少？
问题3：继续拉，出现长方形（如图3），正好可以剪成三个最大正方形，周长增加了20厘米，长方形的周长和面积各是多少？
问题4：剪出图形：长方形面积减少，剩余部分周长不变；长方形面积减少，剩余部分周长变长；长方形面积减少，剩余部分周长变短。
学生想不清的地方：学生在单独学习周长或面积时，解决问题大多顺畅，因为练习比较单一，只求周长或面积，而两个知识点相互融合出题，要把周长和面积进行转化、归类，是学生想不清楚、容易混淆的地方。
设计意图：一道练习题，一连提出了四个问题。第一个问题主要是猜想拉出来的图形形状，由长方形到正方形，再由正方形到长方形，长、正方形在形状上的相互转化。长、正方形各条边之间的关系在拉图形的过程中更加清晰了，同时也培养了空间观念。第二个问题中，长方形中剪去一个最大正方形，正方形的边长是长方形的宽，条件相互转化。第三个问题中，长、正方形间接条件的再次转换，再进行长、正方形周长和面积的演算。第四题是一题综合题，需要学生周长和面积之间的灵活转化，通过动手操作让学生有所感悟，理顺面积与周长的关系，提升空间观念。
面积减少周长不变 面积减少周长变大 面积减少周长变小
小学生在解决问题的过程中，实质上完成认识上的两个转化。第一个转化指从纷乱的实际问题中，收集、观察、比较、筛选有用的信息，抽象成数学问题；第二个转化是根据已抽象出来的数学问题，分析其中的数量关系，探索解决问题的方法。像这样，在学生想不清的地方一题多问，每个问题都紧紧围绕长、正方形周长与面积之间的关系和转化，使得周长与面积在不断的辨析中，关系更加清晰。
二、在学生想不深的地方一题多变，聚焦思维
习题二：在五年级下册长、正方体单元，学习表面积之后的练习课中，设计了如下一组题：
练习1：一个长方体的侧面展开图正好是一个正方形，底面是面积为100平方厘米的正方形，这个长方体的表面积是多少平方厘米？
练习2：一个长方体的侧面展开图正好是一个正方形，底面是面积为324平方厘米的正方形，这个长方体的表面积是多少平方厘米？
练习3：一个长方体的侧面展开图正好是一个正方形，底面是面积为500平方厘米的正方形，这个长方体的表面积是多少平方厘米？
学生想不深的地方：这三道题只有底面积大小有区别：练习1和练习2容易计算，因为底面积100和324，是10和18的平方，学生很熟悉，因此很容易计算出底面边长，从而算出侧面积和表面积。而练习3的数据是500，不是某数的平方，小学阶段没学过开方，学生思维受阻，呈现了一个思维冲突。现在的问题是：是不是一定要计算出底面边长才可以计算侧面积呢？
设计意图：在练习3中，学生无法直接求得底面边长，导致利用底面边长计算侧面积发生障碍，学生思维深入不了。引导学生画图（上图），发现侧面积刚好是4×4个底面积，那么表面积就是4×4+2个底面积。再追溯到第1、2题，也可以用“长方体表面积=底面积×18”这个模型进行计算，而不一定要受制于一定要求出底面的边长。
在学生想不深的地方，通过一题多变，依托题组方式，层层递进，聚焦思维，渗透数学思想方法，不失为一种良策。
三、在学生想不透的地方一题多解，发展能力
习题三：人教版小学数学二年级上册乘法初步认识（一）的练习课中，出示下图习题，考验二年级学生的综合思维能力。
学生想不透的地方：这种类型的题目，学生至少能够用一种方法进行解决，比如：5+5+4+4=18（个），部分学生能够用两种方法进行解决，但是极少穷尽，容易想得不够透彻。这暴露了学生思维的不够灵活，不够全面，需要教师不断引导，思维才能更加深刻，从而发展能力。
设计意图：为了让学生能够想得透彻，我设计了以下教学环节：
环节一：观看亚洲象生活视频，了解亚洲象的身体特征。
环节二：亚洲象一共有几个脚趾的演算。掌握亚洲象脚趾的生理特征后，让学生自主演算脚趾的总数。汇总后，出现以下几种解决方法：
5+5+4+4=18（个）；5+4+5+4=18（个）；5×2+4×2=18（个）；（5+4）×2=18（个）。
环节三：说说每一种演算的理由。
环节四：“我们都是非洲象”游戏。根据每一种算理，我们一起演演非洲象。将两个手的大拇指藏起来当做非洲象的后肢脚趾，用两只脚当做非洲象的前肢脚趾。学生时而抬起脚，时而抬起手，时而抬起手和脚，开心地当着“非洲象”。
在学生想不透的地方一题多解，算法多样化呈现多元思维，引导学生想得透彻，想得全面，有助于培养其数学能力。
多走一步天地宽，通过一题多问、一题多变、一题多解，让学生在思维上多走一步，天地豁然开朗。
（作者单位：浙江省杭州经济技术开发区学林街小学）
责任编辑 曾维平
E-mail：[email protected]