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编者按：随着高考的一天天临近，我们感到还有许多知识需要理解，许多原理需要拓展，各种题型等待着攻克，有时会感到力不从心，乱了复习的章法。其实越临近高考，越应该抓住核心的知识。有人比喻高三复习：高考第一轮复习是学会走，第二轮复习是学会跑，第三轮复习是学会飞。而能否飞起来，能飞多高，要看跑的加速度是多大，因此，这期我们提前帮助你“加速冲关”，让你的复习驶上快车道。
求动点的轨迹方程是解析几何最基本、最重要的问题之一，是用代数方法研究几何问题的基础丨这类题目把基本知识、方法技巧、逻辑思维能力以及解题能力融于一体，是历年高考考査的热点.
一、解题步骤
在求动点的轨迹方程时，要历经审题、寻找和确定求解途径、分清解答步骤、逐步推演、综合陈述、完整作答或给出恰当的结论等多个不可缺少的环节，其基本步骤是：
1.建系设点：建立适当的平面直角坐标系，设轨迹上任意一点坐标为M(x,y)；
2.列式：写出适合条件的点的集合P={M |P(M)}，关键是根据条件列出适合条件的等式；
3.代换：用坐标代换几何等式，列出方程f(x,y)=0；
4.化简：把方程f(x,y)=0化成最简形式；
5.证明：以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
注意：通常求轨迹方程时，可以将步骤（2）和(5)省略.
二、解题技法
1.直接法
如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了旦易于表达，我们只需把这种关系“翻译”成含x、y的等式就能得到曲线的轨迹方程.
例1如图1，设动直线 垂直于x轴，且与椭圆 交于A、B两点，P是 上满足 的点，求点P的轨迹方程.
分析：设P点的坐标为(x，y),用直接法求得P点的轨迹方程，要注意x的范围.
解析：设P点的坐标为(x，y)，则直线 与椭圆 的两个交点分别为 ， .
又∵ ,
∴(0,-y) （0，- -y）=1
即 ，∴ .
又∵直线 与椭圆交与两点，∴-2 故所求点P的轨迹方程为 （-2 点评：求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性，化简过程破坏了方程的同解性，因此要注意补上遗漏的点或挖去多余的点.“轨迹”与“轨迹方程” 是两个不同的概念，前者要指出曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围).
(2)目定义法
若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以根据定义直接求出动点的轨迹方程.
例2 在△ABC中固定底边BC且 ，如果三内角满足 ，试求顶点A的轨迹方程.
分析：本题的基本关系为三角关系 ,需将该三角关系转化为代数关系，这就需要借助正弦定理等进行合理地转化.
解析：以BC所在的直线为x轴，BC的中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则
设点A的坐标为(x,y)，由正弦定理及 得c-b= ，即(定值）.
由双曲线的定义知：点A的轨迹为以B、C为焦点，焦距为a,轴长为 的双曲线的右支（不包括顶点）.
虚轴长 ，故可得顶点A的轨迹方程为：
点评：本题由巳知条件推得 ，即由双曲线的定义得出轨迹方程，其中将巳知 条件进行转化是关键.
3.几何法
求动点轨迹问题时，动点的几何特征与平面几何中的定理及有关平面几何知识有着直接或间接的联系，且可利用平面几何的知识得到包含巳知量和动点坐标的等式，化简后就可以得到动点的轨迹方程.
例3 已知线段AB的长为a，点P在线段AB上运动，在AB的同侧，分别作正三角形APM和正三角形PBN求线段MN的中点Q的轨迹方程.
解析：建立如图3所示的直角坐标系，并设Q点的坐标为（x，y）分别过M、N作x轴的垂线，垂足分别为E、F、G，则GQ是梯形MNFE的中位线，根据梯形中位线定理，知 ,即y= .又∵ ,∴所求的轨迹方程为
y= ( ).
点评：本题注意分析动点的几何特征和轨迹形成的条件，运用平面几何中梯形的中位线定理和有关平面几何知识，将隐含的等量关系表面化，从而较快地得到动点的轨迹方程.
4.参数法
在求轨迹方程时，变量x,y之间的关系难以找到，这时可以通过分析动点的变化规律及特点，选择恰当的中间变量（即参数），继而用其表示动点坐标（x，y）中的x、y，由此得到动点的参数方程，然后消去参数，就得到轨迹的普通方程.
例4 如图4，设椭圆方程为 ，过点M〔0，1〕的直线 交椭圆于A、B两点，O是坐标原点，点P满足 ,当 绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程.
解析：直线 过点M(0，1),若其斜率存在，设为k,则 的方程为y-1=k(x-0)，即y=kx+1
又 与椭圆 相交于两点A(x1，y1)、B(x2,y2),
y=kx+1
联立
消去y，得（4+k2）x2+2kx-3=0
∴
∴
设P点的坐标为（x，y），
则 消去参数k得 即
若直线斜率不存在，则A,B中点坐标为原点（0，0），它也是满足方程 .
∴点P的轨迹方程为 .
点评：这里是以直线的斜率k为参数来求轨迹的，也是轨迹方程中涉及直线时最常用的一种方法.
5目交轨法
在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程.该法经常与参数法并用.
例5 已知两点P(-2，2）、Q(0,2〕以及一直线 :y=x，设长为 的线段AB在直线 上运动，如图5，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程.
分析：动点M为PA和QB的交点，只要表示出A、B两点的坐标，写出PA、QB的方程，M点坐标之间的关系就易于找到.
解析：由于线段AB在y=x上移动，且|AB|= ，则可设点A(a，a) ,B(a+1,a+1).
当a=-2或a=-1时，易验证PA、QB的交点也适合③式.
故所求轨迹方程为 .
点评：〔1〕求解本题的关键在于引入辅助量a并结合巳知条件写出点M满足的两条直线方程①、 ②，在此基础上求出交点坐标，然后消去辅助量a，得到点M的轨迹方程.〔2〕注意交轨法与参数法的区别：交轨法是通过解两曲线组成的方程组而得x=f(t),x=g(t)；而参数法是将x、y表示为参数t的关系式，共同之处是都要经过消参才得到F(x,y)=0.
6.向量法
当关注中的动点与相关点中出现诸多的共线点、定比分点或垂直关系时，常可以用向量法来处理.
例6 如图6所示，已知△OBC的顶点O(0,0)， B(2,0),点C在抛物线 上运动，M,N分别在OB,OC上且满足OM:MB=1:2，OC:NC=1:3,BN与CM交于点八求P.点P的轨迹方程.
分析：这里有诸多的共线点及定比分点情况出现，较适合用向量法.
解析：设 ，依题意知 .
∵B,P,N三点共线，∴ 与 共线，
点评：本题若用交轨法解将会十分复杂，而且参数不易消去.而向量法把几何问题转化为代数(坐标)运算，将复杂问题简单化，这也是新课程后常用的一种方法.
7.相关点法(代入法)
有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法.
例7 定点A(3,0)为圆 外一定点，P为圆上任一点，∠POA的平分线交PA于Q
求点Q的轨迹方程.
解析：如图7，设Q(x，y)、P(x0,y0).
由于OQ平分∠POA，则 .
即Q分AP的比为3，由定比分点坐标公式，得 .
由于∠POA还有两种情况可能对轨迹有影响，当P与B重合时，Q与O也重合，巳包含在上述轨迹中；当P与C重合时，∠AOP退化为0°角，其角平分线为射线Ox而点Q的轨迹方程为y=0(1≤x≤3)
综上所述，所求轨迹方程为
点评：本题考査了随某点运动而运动的动点轨迹方程的求法，其关键是寻找所求的动点与巳知曲线上的动点之间的关系.在这里是借助线段的定比分点坐标公式来建立两动点之间关系的.
8.点差法
若轨迹问题中涉及中点弦问题，就可考虑点差法，只要通过代点作差，并以中点弦的斜率为桥梁，即可获得动点的轨迹方程.
例8 如图8，已知抛物线方程为 ,过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.
解析：设A(x1，y1)、B(x2,y2),M(x,y)
则有
两式相减得 .
(1)当AB不垂直于x轴时，x1≠x2，
∴ ，
又F(1,0) ∴
（２）当AB垂直于x轴时，点M即为点F（1,0），也符合上述方程.
故AB的中点M的轨迹方程为 .
点评：有直线参与的问题往往要考虑斜率不存在的情形.
9.待定系数法
若动点的轨迹的形状巳经明确(或较易判断) 一般用待定系数法求动点的轨迹方程.
例9 小明同学观察到某建筑物的一墙面上对称排列着 一组正三角形架〔如图9所示入 每个正三角形架的顶点A1,A2,A3,…，A20上各有一盏照明灯.已知这些正三角形架的边长依次是10cm，30cm，50cm …，构成一等差数列，这些灯似乎连缀成一条曲线.他断定这些灯在同一条抛物线上. 证明他的判断，并求出抛物线的方程.
解析：以直线B1A1为x轴，线段B1A1的中垂线为y轴，建立如图10所示的平面直角坐标系.
则A1,A2,A3,…，An（n≤20，n∈N*）的坐标分别是 …， .
设抛物线的方程为 ，
将An 代入方程成立
∴ 抛物线的方程为
由对称性知，B1，B2，B3，…Bn（n≤20，n∈N*）也在此抛物线上.
点评：解题的关键在于首先假设小明同学的判断是正确的，即这些灯连缀成的一条曲线是抛物线，通过建立坐标系，用待定系数法求出抛物线的方程，然后验证所有的点都在该抛物线上即可.
10.投影法
解析几何中的距离公式、定比分点坐标公式、斜率公式、弦长公式等的推导过程中，都采用了把点或线段正投影到坐标轴上的方法，此法称为投影法.对于一条直线与曲线相交的分点、线段长相关的轨迹方程，用投影法解决可以简化运算.
例10 抛物线 交直线系y=mx(m>0)于不同的两点P1、P2，点Q在线段P1P2上，且 ,求点Q的轨迹方程.
分析：把线段OP1、OP2、OQ投影到x轴上，将条件转化成 ，再用韦达定理消去x1、x2.
解析：如图11，设Q(x，y)、P1(x1，y1)、P2(x2,y2)，将y=mx(m>0)代入抛物线方程并整理得： ，,由.
故点Q的轨迹方程为：
点评：受解析几何一系列公式推导方法的启发，将斜线段投影到坐标轴上将大大减小计算量，是思维灵活性的具体表现，此手法值得大家细细品味和充分借鉴。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
求动点的轨迹方程是解析几何最基本、最重要的问题之一，是用代数方法研究几何问题的基础丨这类题目把基本知识、方法技巧、逻辑思维能力以及解题能力融于一体，是历年高考考査的热点.
一、解题步骤
在求动点的轨迹方程时，要历经审题、寻找和确定求解途径、分清解答步骤、逐步推演、综合陈述、完整作答或给出恰当的结论等多个不可缺少的环节，其基本步骤是：
1.建系设点：建立适当的平面直角坐标系，设轨迹上任意一点坐标为M(x,y)；
2.列式：写出适合条件的点的集合P={M |P(M)}，关键是根据条件列出适合条件的等式；
3.代换：用坐标代换几何等式，列出方程f(x,y)=0；
4.化简：把方程f(x,y)=0化成最简形式；
5.证明：以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
注意：通常求轨迹方程时，可以将步骤（2）和(5)省略.
二、解题技法
1.直接法
如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了旦易于表达，我们只需把这种关系“翻译”成含x、y的等式就能得到曲线的轨迹方程.
例1如图1，设动直线 垂直于x轴，且与椭圆 交于A、B两点，P是 上满足 的点，求点P的轨迹方程.
分析：设P点的坐标为(x，y),用直接法求得P点的轨迹方程，要注意x的范围.
解析：设P点的坐标为(x，y)，则直线 与椭圆 的两个交点分别为 ， .
又∵ ,
∴(0,-y) （0，- -y）=1
即 ，∴ .
又∵直线 与椭圆交与两点，∴-2
(2)目定义法
若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以根据定义直接求出动点的轨迹方程.
例2 在△ABC中固定底边BC且 ，如果三内角满足 ，试求顶点A的轨迹方程.
分析：本题的基本关系为三角关系 ,需将该三角关系转化为代数关系，这就需要借助正弦定理等进行合理地转化.
解析：以BC所在的直线为x轴，BC的中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则
设点A的坐标为(x,y)，由正弦定理及 得c-b= ，即(定值）.
由双曲线的定义知：点A的轨迹为以B、C为焦点，焦距为a,轴长为 的双曲线的右支（不包括顶点）.
虚轴长 ，故可得顶点A的轨迹方程为：
点评：本题由巳知条件推得 ，即由双曲线的定义得出轨迹方程，其中将巳知 条件进行转化是关键.
3.几何法
求动点轨迹问题时，动点的几何特征与平面几何中的定理及有关平面几何知识有着直接或间接的联系，且可利用平面几何的知识得到包含巳知量和动点坐标的等式，化简后就可以得到动点的轨迹方程.
例3 已知线段AB的长为a，点P在线段AB上运动，在AB的同侧，分别作正三角形APM和正三角形PBN求线段MN的中点Q的轨迹方程.
解析：建立如图3所示的直角坐标系，并设Q点的坐标为（x，y）分别过M、N作x轴的垂线，垂足分别为E、F、G，则GQ是梯形MNFE的中位线，根据梯形中位线定理，知 ,即y= .又∵ ,∴所求的轨迹方程为
y= ( ).
点评：本题注意分析动点的几何特征和轨迹形成的条件，运用平面几何中梯形的中位线定理和有关平面几何知识，将隐含的等量关系表面化，从而较快地得到动点的轨迹方程.
4.参数法
在求轨迹方程时，变量x,y之间的关系难以找到，这时可以通过分析动点的变化规律及特点，选择恰当的中间变量（即参数），继而用其表示动点坐标（x，y）中的x、y，由此得到动点的参数方程，然后消去参数，就得到轨迹的普通方程.
例4 如图4，设椭圆方程为 ，过点M〔0，1〕的直线 交椭圆于A、B两点，O是坐标原点，点P满足 ,当 绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程.
解析：直线 过点M(0，1),若其斜率存在，设为k,则 的方程为y-1=k(x-0)，即y=kx+1
又 与椭圆 相交于两点A(x1，y1)、B(x2,y2),
y=kx+1
联立
消去y，得（4+k2）x2+2kx-3=0
∴
∴
设P点的坐标为（x，y），
则 消去参数k得 即
若直线斜率不存在，则A,B中点坐标为原点（0，0），它也是满足方程 .
∴点P的轨迹方程为 .
点评：这里是以直线的斜率k为参数来求轨迹的，也是轨迹方程中涉及直线时最常用的一种方法.
5目交轨法
在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程.该法经常与参数法并用.
例5 已知两点P(-2，2）、Q(0,2〕以及一直线 :y=x，设长为 的线段AB在直线 上运动，如图5，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程.
分析：动点M为PA和QB的交点，只要表示出A、B两点的坐标，写出PA、QB的方程，M点坐标之间的关系就易于找到.
解析：由于线段AB在y=x上移动，且|AB|= ，则可设点A(a，a) ,B(a+1,a+1).
当a=-2或a=-1时，易验证PA、QB的交点也适合③式.
故所求轨迹方程为 .
点评：〔1〕求解本题的关键在于引入辅助量a并结合巳知条件写出点M满足的两条直线方程①、 ②，在此基础上求出交点坐标，然后消去辅助量a，得到点M的轨迹方程.〔2〕注意交轨法与参数法的区别：交轨法是通过解两曲线组成的方程组而得x=f(t),x=g(t)；而参数法是将x、y表示为参数t的关系式，共同之处是都要经过消参才得到F(x,y)=0.
6.向量法
当关注中的动点与相关点中出现诸多的共线点、定比分点或垂直关系时，常可以用向量法来处理.
例6 如图6所示，已知△OBC的顶点O(0,0)， B(2,0),点C在抛物线 上运动，M,N分别在OB,OC上且满足OM:MB=1:2，OC:NC=1:3,BN与CM交于点八求P.点P的轨迹方程.
分析：这里有诸多的共线点及定比分点情况出现，较适合用向量法.
解析：设 ，依题意知 .
∵B,P,N三点共线，∴ 与 共线，
点评：本题若用交轨法解将会十分复杂，而且参数不易消去.而向量法把几何问题转化为代数(坐标)运算，将复杂问题简单化，这也是新课程后常用的一种方法.
7.相关点法(代入法)
有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法.
例7 定点A(3,0)为圆 外一定点，P为圆上任一点，∠POA的平分线交PA于Q
求点Q的轨迹方程.
解析：如图7，设Q(x，y)、P(x0,y0).
由于OQ平分∠POA，则 .
即Q分AP的比为3，由定比分点坐标公式，得 .
由于∠POA还有两种情况可能对轨迹有影响，当P与B重合时，Q与O也重合，巳包含在上述轨迹中；当P与C重合时，∠AOP退化为0°角，其角平分线为射线Ox而点Q的轨迹方程为y=0(1≤x≤3)
综上所述，所求轨迹方程为
点评：本题考査了随某点运动而运动的动点轨迹方程的求法，其关键是寻找所求的动点与巳知曲线上的动点之间的关系.在这里是借助线段的定比分点坐标公式来建立两动点之间关系的.
8.点差法
若轨迹问题中涉及中点弦问题，就可考虑点差法，只要通过代点作差，并以中点弦的斜率为桥梁，即可获得动点的轨迹方程.
例8 如图8，已知抛物线方程为 ,过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.
解析：设A(x1，y1)、B(x2,y2),M(x,y)
则有
两式相减得 .
(1)当AB不垂直于x轴时，x1≠x2，
∴ ，
又F(1,0) ∴
（２）当AB垂直于x轴时，点M即为点F（1,0），也符合上述方程.
故AB的中点M的轨迹方程为 .
点评：有直线参与的问题往往要考虑斜率不存在的情形.
9.待定系数法
若动点的轨迹的形状巳经明确(或较易判断) 一般用待定系数法求动点的轨迹方程.
例9 小明同学观察到某建筑物的一墙面上对称排列着 一组正三角形架〔如图9所示入 每个正三角形架的顶点A1,A2,A3,…，A20上各有一盏照明灯.已知这些正三角形架的边长依次是10cm，30cm，50cm …，构成一等差数列，这些灯似乎连缀成一条曲线.他断定这些灯在同一条抛物线上. 证明他的判断，并求出抛物线的方程.
解析：以直线B1A1为x轴，线段B1A1的中垂线为y轴，建立如图10所示的平面直角坐标系.
则A1,A2,A3,…，An（n≤20，n∈N*）的坐标分别是 …， .
设抛物线的方程为 ，
将An 代入方程成立
∴ 抛物线的方程为
由对称性知，B1，B2，B3，…Bn（n≤20，n∈N*）也在此抛物线上.
点评：解题的关键在于首先假设小明同学的判断是正确的，即这些灯连缀成的一条曲线是抛物线，通过建立坐标系，用待定系数法求出抛物线的方程，然后验证所有的点都在该抛物线上即可.
10.投影法
解析几何中的距离公式、定比分点坐标公式、斜率公式、弦长公式等的推导过程中，都采用了把点或线段正投影到坐标轴上的方法，此法称为投影法.对于一条直线与曲线相交的分点、线段长相关的轨迹方程，用投影法解决可以简化运算.
例10 抛物线 交直线系y=mx(m>0)于不同的两点P1、P2，点Q在线段P1P2上，且 ,求点Q的轨迹方程.
分析：把线段OP1、OP2、OQ投影到x轴上，将条件转化成 ，再用韦达定理消去x1、x2.
解析：如图11，设Q(x，y)、P1(x1，y1)、P2(x2,y2)，将y=mx(m>0)代入抛物线方程并整理得： ，,由.
故点Q的轨迹方程为：
点评：受解析几何一系列公式推导方法的启发，将斜线段投影到坐标轴上将大大减小计算量，是思维灵活性的具体表现，此手法值得大家细细品味和充分借鉴。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文