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填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，主要考查学生的基础知识、基本技能以及分析问题和解决问题的能力，其特点是题目小、跨度大、知识覆盖面广.从历年高考成绩看，填空题失分率一直很高，因为其结果必须是数值准确、形式规范，稍有毛病，便是零分.由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答，千万不可“小题大做”，而要达到“准确”，则需要合理灵活地运用恰当的方法，在“巧”字上下工夫.解填空题的常用方法有：直接法、特殊值法、数形结合法、转化与化归等.
一、直接法
有些填空题主要考察课本知识的基本内容，可以直接从题设条件出发，抓住命题的特征,用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断而得出结果,这是解填空题的基本方法.使用直接法解填空题，要善于透过现象抓住本质，自觉的、有意识的采取灵活的解法.
例1 集合M={x|－1≤log1x10<－12,x∈N}的真子集的个数是______.
解析:M={x|1≤lgx<2,x∈N}={x|10≤x<100,x∈N}，显然集合M中有90个元素，其真子集的个数是290－1.
快速解答此题需要记住小结论:对于含有n个元素的有限集合, 其子集的个数是2n,其真子集的个数是2n－1.
例2 已知函数f(x)=ax+1x+2在区间上为增函数，则实数a的取值范围是______.
解析:f(x)=ax+1x+2=a+1-2ax+2，由复合函数的增减性可知，g(x)=1-2ax+2在(-2,+∞)上为增函数，∴1-2a＜0，∴a＞12.
例3 (2010江苏第2题)设复数z满足z(2－3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______.
解析:考查复数运算、模的性质. z(2－3i)=2(3+2i), 2－3i与3+2i的模相等，z的模为2.
例4 (2010江苏第5题)设函数f(x)=x(ex+a•e－x)(x∈R)是偶函数，则实数a=______.
解析:考查函数奇偶性的知识. g(x)=ex+a•e－x为奇函数，由g(0)=0，得a=－1.
例5 (2010江苏第6题)在平面直角坐标系XOY中，双曲线x24-y212=1上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是______.
解析:考查双曲线的定义.MFd=e=42=2，d为点M到右准线x=1的距离，d=2，MF=4.
二、特殊值法
当填空题结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可得到正确结果.
例6 △ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若a、b、c成等差数列，则cos A+cos C1+cos A+cos C=______.
解析:令a=3,b=4,c=5，则△ABC为直角三角形，cosA=45,cosC=0，从而所求值为49.
例7 已知等差数列{an}的公差d≠0, a1、a3、a9成等比数列,则a1+a3+a9a2+a4+a10的值为______.
解析:本题主要考查等差、等比数列的基础知识，可直接求解，但特例显得非常轻松.
取数列an=n,则a1+a3+a9a2+a4+a10=1+3+92+4+10=1316.
例8 过抛物线y=ax2(a＞0)的焦点F作一直线交抛物线交于P、Q两点，若线段PF、FQ的长分别为p、q，则1p+1q=______.
解析:此抛物线开口向上，过焦点且斜率为k的直线与抛物线均有两个交点P、Q，当k变化时PF、FQ的长均变化，但从题设可以得到这样的信息：尽管PF、FQ不定，但其倒数和应为定值，所以可以针对直线的某一特定位置进行求解，而不失一般性.
不防设k=0，抛物线焦点坐标为(0,14a),把直线方程y=14a代入抛物线方程得x=±12a，∴|PF|=|FQ|=12a，从而1p+1q=4a.
三、数形结合法
“数缺形时少直觉”，对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果. 文氏图、三角函数的图像以及方程的曲线等都是常用的图形.
例9 如果不等式4x-x2＞(a-1)x的解集为A，且A{x|0＜x＜2}，那么实数a的取值范围是______.
解析:根据不等式解集的几何意义，作函数y=4x-x2和函数y=(a-1)x的图象（如图），从图上容易得出a－1≥1，即a∈π2)上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为______.
解析:考查三角函数的图象、数形结合思想. 线段P1P2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=23，所以线段P1P2的长为23.
四、转化与化归
“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成熟悉的问题或者便于解决的问题，从而得出正确的结果.
例11 不等式x＞ax+32的解集为(4,b)，则a=______，b=______.
解析:设x=t，则原不等式可转化为：at2-t+32＜0,∴a>0，且2与b(b＞4)是方程at2-t+32=0的两根，由韦达定理可得：a=18,b=36.
例12 不论k为何实数，直线y=kx+1与曲线x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点，则实数a的取值范围是______.
解析:题设条件等价于点(0,1)在圆内或圆上，∴-1≤a≤3.
例13 如果函数f(x)=x21+x2，那么f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+f(4)+f(14)=______.
解析:容易发现f(t)+f(1t)=1，这就是我们找出的有用的规律，于是原式＝f(1)+3=72，应填72.
例14 (2010年江苏第12题)设实数x,y满足3≤xy2≤8，4≤x2y≤9，则x3y4的最大值是______.
解析：考查不等式的基本性质，等价转化思想.
(x2y)2∈，1xy2∈18,13〗，x3y4=(x2y)2•1xy2∈，x3y4的最大值是27.
例15 正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是______.
解析：考查空间想像的能力，转化与化归能力.
正四面体有一个性质：不相邻的两条棱是相互垂直的，在图示的这种情况下，CD平行于平面α时，这时有最大值，正四面体上的所有点在平面α内的射影为一个“菱形”，菱形的对角线AB，CD相互垂直，S=AB•CD2=12.
当四面体绕AB旋转时，正四面体上的所有点在平面α内的射影的面积逐渐减小，当CD垂直于平面α时，面积最小，记CD中点为M，则此时△ABM为ABCD的所有点在平面α内的射影，AM=BM=32, AB=1，易得：AB上的高MK=22，S=AB•MK2=24,此后当正四面体绕AB旋转时，正四面体上的所有点在平面α内的射影的面积逐渐变大.故取值范围为24,12〗.
总而言之，学会多角度思考问题，灵活选择方法，是快速准确地做好数学填空题的关键.
（作者：王光宇，江苏省苏州第十中学）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
一、直接法
有些填空题主要考察课本知识的基本内容，可以直接从题设条件出发，抓住命题的特征,用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断而得出结果,这是解填空题的基本方法.使用直接法解填空题，要善于透过现象抓住本质，自觉的、有意识的采取灵活的解法.
例1 集合M={x|－1≤log1x10<－12,x∈N}的真子集的个数是______.
解析:M={x|1≤lgx<2,x∈N}={x|10≤x<100,x∈N}，显然集合M中有90个元素，其真子集的个数是290－1.
快速解答此题需要记住小结论:对于含有n个元素的有限集合, 其子集的个数是2n,其真子集的个数是2n－1.
例2 已知函数f(x)=ax+1x+2在区间上为增函数，则实数a的取值范围是______.
解析:f(x)=ax+1x+2=a+1-2ax+2，由复合函数的增减性可知，g(x)=1-2ax+2在(-2,+∞)上为增函数，∴1-2a＜0，∴a＞12.
例3 (2010江苏第2题)设复数z满足z(2－3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______.
解析:考查复数运算、模的性质. z(2－3i)=2(3+2i), 2－3i与3+2i的模相等，z的模为2.
例4 (2010江苏第5题)设函数f(x)=x(ex+a•e－x)(x∈R)是偶函数，则实数a=______.
解析:考查函数奇偶性的知识. g(x)=ex+a•e－x为奇函数，由g(0)=0，得a=－1.
例5 (2010江苏第6题)在平面直角坐标系XOY中，双曲线x24-y212=1上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是______.
解析:考查双曲线的定义.MFd=e=42=2，d为点M到右准线x=1的距离，d=2，MF=4.
二、特殊值法
当填空题结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可得到正确结果.
例6 △ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若a、b、c成等差数列，则cos A+cos C1+cos A+cos C=______.
解析:令a=3,b=4,c=5，则△ABC为直角三角形，cosA=45,cosC=0，从而所求值为49.
例7 已知等差数列{an}的公差d≠0, a1、a3、a9成等比数列,则a1+a3+a9a2+a4+a10的值为______.
解析:本题主要考查等差、等比数列的基础知识，可直接求解，但特例显得非常轻松.
取数列an=n,则a1+a3+a9a2+a4+a10=1+3+92+4+10=1316.
例8 过抛物线y=ax2(a＞0)的焦点F作一直线交抛物线交于P、Q两点，若线段PF、FQ的长分别为p、q，则1p+1q=______.
解析:此抛物线开口向上，过焦点且斜率为k的直线与抛物线均有两个交点P、Q，当k变化时PF、FQ的长均变化，但从题设可以得到这样的信息：尽管PF、FQ不定，但其倒数和应为定值，所以可以针对直线的某一特定位置进行求解，而不失一般性.
不防设k=0，抛物线焦点坐标为(0,14a),把直线方程y=14a代入抛物线方程得x=±12a，∴|PF|=|FQ|=12a，从而1p+1q=4a.
三、数形结合法
“数缺形时少直觉”，对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果. 文氏图、三角函数的图像以及方程的曲线等都是常用的图形.
例9 如果不等式4x-x2＞(a-1)x的解集为A，且A{x|0＜x＜2}，那么实数a的取值范围是______.
解析:根据不等式解集的几何意义，作函数y=4x-x2和函数y=(a-1)x的图象（如图），从图上容易得出a－1≥1，即a∈π2)上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为______.
解析:考查三角函数的图象、数形结合思想. 线段P1P2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=23，所以线段P1P2的长为23.
四、转化与化归
“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成熟悉的问题或者便于解决的问题，从而得出正确的结果.
例11 不等式x＞ax+32的解集为(4,b)，则a=______，b=______.
解析:设x=t，则原不等式可转化为：at2-t+32＜0,∴a>0，且2与b(b＞4)是方程at2-t+32=0的两根，由韦达定理可得：a=18,b=36.
例12 不论k为何实数，直线y=kx+1与曲线x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点，则实数a的取值范围是______.
解析:题设条件等价于点(0,1)在圆内或圆上，∴-1≤a≤3.
例13 如果函数f(x)=x21+x2，那么f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+f(4)+f(14)=______.
解析:容易发现f(t)+f(1t)=1，这就是我们找出的有用的规律，于是原式＝f(1)+3=72，应填72.
例14 (2010年江苏第12题)设实数x,y满足3≤xy2≤8，4≤x2y≤9，则x3y4的最大值是______.
解析：考查不等式的基本性质，等价转化思想.
(x2y)2∈，1xy2∈18,13〗，x3y4=(x2y)2•1xy2∈，x3y4的最大值是27.
例15 正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是______.
解析：考查空间想像的能力，转化与化归能力.
正四面体有一个性质：不相邻的两条棱是相互垂直的，在图示的这种情况下，CD平行于平面α时，这时有最大值，正四面体上的所有点在平面α内的射影为一个“菱形”，菱形的对角线AB，CD相互垂直，S=AB•CD2=12.
当四面体绕AB旋转时，正四面体上的所有点在平面α内的射影的面积逐渐减小，当CD垂直于平面α时，面积最小，记CD中点为M，则此时△ABM为ABCD的所有点在平面α内的射影，AM=BM=32, AB=1，易得：AB上的高MK=22，S=AB•MK2=24,此后当正四面体绕AB旋转时，正四面体上的所有点在平面α内的射影的面积逐渐变大.故取值范围为24,12〗.
总而言之，学会多角度思考问题，灵活选择方法，是快速准确地做好数学填空题的关键.
（作者：王光宇，江苏省苏州第十中学）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文