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【摘要】研究无穷大概念案例教学的微课教学设计，基于微课的教学特点，结合教学案例，通过电子教学手段的演示，实例应用讲解，多角度多环节激发学生学习兴趣，引导学生自主学习，培养学生分析问题、解决问题的能力。
【关键词】无穷大 微课 案例 教学设计
【中图分类号】O171 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）02-0023-01
微课作为现代信息技术与传统教学相融合的教学方式在教学过程中已被广泛应用。与传统的讲授式课堂比较，微课具有主题突出、针对性强、精致紧凑、资源丰富、短小精炼等优势。将微课融入高等数学课程学习和教学中，能有效的利用学生的空余时间，更加生动形象的对知识点进行多角度的剖析和讲解，从而提升课程的整体教学效果。案例教学是对某些抽象的具体概念，用更为直观简单的方式，从而让学生能够深入浅出的了解和建立正确的理论概念。现在很多定义都是以案例教学进行引入，并结合现代信息教学手段，有利于提高学生的学习兴趣，并富于思考和启发，能更好的引导学生自主学习，提高学习的积极性、主动性和探索性[1]。
以案例教学[2]引入，整个教学过程包括：实例引入→概念讲解→应用举例→应用拓展→小结思考五个环节，教学时常约12分钟。
一、以问引入 实例解答
1.问题：什么是无穷大？如何正确理解无穷大定义？
2.引例：希尔伯特无穷旅馆-希尔伯特旅馆与别的旅馆不同的地方是：它的房间数目是无限多（即无穷多房间）。其他的旅馆如果客满了，那就再也不能接受新客人了。可房间数目无限多的旅馆不一样，“客满”不等于“不能接受新客人”！希尔伯特无穷旅馆对多一个新客人，经理将原来1号房间的客人移到2号房间，2号房间的客人移到3号房间，……，第n号房间的客人移到第n+1號房间去。这样移动的结果将会空出第1号房间，这样便能住下新来的客人了。
提问：如果再来无限多个客人，希尔伯特无穷旅馆是否也可以接待？
设计意图 通过PPT动画演示以及现实住宿经历，使学生直观理解 “无穷大”本质，让课堂生动活泼，吸引学生注意力，激发学生探讨和解决问题的积极性，并能将抽象和形象的具体定义进行区分和联系。
二、概念学习 给出本质
1.无穷大的定义
语言描述性定义：亦称“无限大”。一个变量在变化过程中其绝对值永远大于任意给定正数，一般用符号∞来表示。
2.从数列到函数
显然，希尔伯特无穷旅馆描述的是数列为无穷大的一个过程，能直观反映出，无穷大是一个极限为无穷的变量，而非一个具体的值，与现实中很大的数必须加以区分，才能正确建立无穷大的正确概念。
借助数列和函数之间的关系，以具体数列为例进行直观引入，后将数列换成为函数，最终给出函数结构下的无穷大的精确定义。
数学精确定义[3]：设函数f（x）在x0的某一个去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数M（不论它多大），总存在正数δ（或正数X），只要适合不等式0<|x-x0|<δ（或|x|>M），对应的函数值f（x）总满足不等式|f（x）|>M，则称函数f（x）为当x→x0（或→∞）时的无穷大。
设计意图 在讨论无穷大概念时，利用数列和函数之间的相互关系进行逐层引入，结合常数运算法则，将无穷大与常数进行直观区别，由形象到抽象，符合学生的认知过程，能较好的对抽象定义进行分析和理解。
三、应用举例 巩固概念
例1 已知数列{xn}，且xn=n，证明。
例2 证明。
强调无穷大是极限为无穷的变量，在叙述时必须有自变量的变化过程，不可直接说数列或函数为无穷大。例1的结论就给出希尔伯特旅馆的特殊性。
设计意图 作为概念的应用，选择简单又具有代表性的两个例子，包含数列和函数两类结构，利用板书给出完整证明过程，培养学生规范书写的能力。
四、应用拓展 丰富教学
1.在电学中，有许多和无穷大相关的定义。利用万用表测电阻断路时万用表会显示1.（借助于PPT演示具体的实际图例），表示电阻无穷大，电路断路或者超量程。
2.科赫雪花曲线
任意画一个正三角形，并把每一边三等分；取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉；重复上述两步，画出更小的三角形。一直重复，直到无穷，所画出的曲线叫做科赫曲线。曲线任何处不可导，即任何地点都是不平滑的，总长度趋向无穷大，曲线上任意两点沿边界路程无穷大。
设计意图 通过具体的应用举例和经典的数学案例-科赫雪花曲线的周长讨论，让理论与具体实践相结合，一方面展现了数学的趣味性，一方面让学生了解大学数学的实际应用价值，拓展学生的数学视野，提高数学素养，丰富数学文化的学习。
五、小结思考 深化学习
1.小结课程的主要内容和知识点。
2.预留思考：未给出自变量变化方式的函数是正确的描述方式吗？例如：是无穷大，对吗？如果不对，请给出对的叙述方式。
3.复习无穷小和无穷大的定义，预习其相关运算。
设计意图 小结本次微课的主要内容，强调学生对于无穷大概念的理解和在应用中的注意事项。告知课程结束之后复习和预习的相关内容，有助于建立完善的知识体系。思考题的作用是对内容的复习和延续，鼓励学生进行自主思考和学习。
本次案例教学的微课设计从实例出发，引出问题，分析问题，围绕问题展开具体讨论，给出抽象的数学概念，深入了解问题本质，并结合实际问题，帮助学生巩固知识，丰富课堂教学形式。同时结合传统的课堂讲授模式，以教师为主，引导学生从浅到深，从形象到抽象，从实际到理论递进式学习。本文研究的仅是在大学数学中最为基础的一个知识点，希望能够通过此类案例的微课教学，有选择性、针对性的将微课等在线课程手段结合案例教学与传统教学模式，更好的提高大学数学的教学质量和学习效果。
参考文献：
[1]冯颖.常数项级数概念的微课教学设计[J].高等数学研究.2017，20（3）：17-19.
[2]熊传霞.浅析案例教学法在数学课堂中的运用[J].科技教育.2015（24）：140.
[3]同济大学数学系.高等数学（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.
【关键词】无穷大 微课 案例 教学设计
【中图分类号】O171 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）02-0023-01
微课作为现代信息技术与传统教学相融合的教学方式在教学过程中已被广泛应用。与传统的讲授式课堂比较，微课具有主题突出、针对性强、精致紧凑、资源丰富、短小精炼等优势。将微课融入高等数学课程学习和教学中，能有效的利用学生的空余时间，更加生动形象的对知识点进行多角度的剖析和讲解，从而提升课程的整体教学效果。案例教学是对某些抽象的具体概念，用更为直观简单的方式，从而让学生能够深入浅出的了解和建立正确的理论概念。现在很多定义都是以案例教学进行引入，并结合现代信息教学手段，有利于提高学生的学习兴趣，并富于思考和启发，能更好的引导学生自主学习，提高学习的积极性、主动性和探索性[1]。
以案例教学[2]引入，整个教学过程包括：实例引入→概念讲解→应用举例→应用拓展→小结思考五个环节，教学时常约12分钟。
一、以问引入 实例解答
1.问题：什么是无穷大？如何正确理解无穷大定义？
2.引例：希尔伯特无穷旅馆-希尔伯特旅馆与别的旅馆不同的地方是：它的房间数目是无限多（即无穷多房间）。其他的旅馆如果客满了，那就再也不能接受新客人了。可房间数目无限多的旅馆不一样，“客满”不等于“不能接受新客人”！希尔伯特无穷旅馆对多一个新客人，经理将原来1号房间的客人移到2号房间，2号房间的客人移到3号房间，……，第n号房间的客人移到第n+1號房间去。这样移动的结果将会空出第1号房间，这样便能住下新来的客人了。
提问：如果再来无限多个客人，希尔伯特无穷旅馆是否也可以接待？
设计意图 通过PPT动画演示以及现实住宿经历，使学生直观理解 “无穷大”本质，让课堂生动活泼，吸引学生注意力，激发学生探讨和解决问题的积极性，并能将抽象和形象的具体定义进行区分和联系。
二、概念学习 给出本质
1.无穷大的定义
语言描述性定义：亦称“无限大”。一个变量在变化过程中其绝对值永远大于任意给定正数，一般用符号∞来表示。
2.从数列到函数
显然，希尔伯特无穷旅馆描述的是数列为无穷大的一个过程，能直观反映出，无穷大是一个极限为无穷的变量，而非一个具体的值，与现实中很大的数必须加以区分，才能正确建立无穷大的正确概念。
借助数列和函数之间的关系，以具体数列为例进行直观引入，后将数列换成为函数，最终给出函数结构下的无穷大的精确定义。
数学精确定义[3]：设函数f（x）在x0的某一个去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数M（不论它多大），总存在正数δ（或正数X），只要适合不等式0<|x-x0|<δ（或|x|>M），对应的函数值f（x）总满足不等式|f（x）|>M，则称函数f（x）为当x→x0（或→∞）时的无穷大。
设计意图 在讨论无穷大概念时，利用数列和函数之间的相互关系进行逐层引入，结合常数运算法则，将无穷大与常数进行直观区别，由形象到抽象，符合学生的认知过程，能较好的对抽象定义进行分析和理解。
三、应用举例 巩固概念
例1 已知数列{xn}，且xn=n，证明。
例2 证明。
强调无穷大是极限为无穷的变量，在叙述时必须有自变量的变化过程，不可直接说数列或函数为无穷大。例1的结论就给出希尔伯特旅馆的特殊性。
设计意图 作为概念的应用，选择简单又具有代表性的两个例子，包含数列和函数两类结构，利用板书给出完整证明过程，培养学生规范书写的能力。
四、应用拓展 丰富教学
1.在电学中，有许多和无穷大相关的定义。利用万用表测电阻断路时万用表会显示1.（借助于PPT演示具体的实际图例），表示电阻无穷大，电路断路或者超量程。
2.科赫雪花曲线
任意画一个正三角形，并把每一边三等分；取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉；重复上述两步，画出更小的三角形。一直重复，直到无穷，所画出的曲线叫做科赫曲线。曲线任何处不可导，即任何地点都是不平滑的，总长度趋向无穷大，曲线上任意两点沿边界路程无穷大。
设计意图 通过具体的应用举例和经典的数学案例-科赫雪花曲线的周长讨论，让理论与具体实践相结合，一方面展现了数学的趣味性，一方面让学生了解大学数学的实际应用价值，拓展学生的数学视野，提高数学素养，丰富数学文化的学习。
五、小结思考 深化学习
1.小结课程的主要内容和知识点。
2.预留思考：未给出自变量变化方式的函数是正确的描述方式吗？例如：是无穷大，对吗？如果不对，请给出对的叙述方式。
3.复习无穷小和无穷大的定义，预习其相关运算。
设计意图 小结本次微课的主要内容，强调学生对于无穷大概念的理解和在应用中的注意事项。告知课程结束之后复习和预习的相关内容，有助于建立完善的知识体系。思考题的作用是对内容的复习和延续，鼓励学生进行自主思考和学习。
本次案例教学的微课设计从实例出发，引出问题，分析问题，围绕问题展开具体讨论，给出抽象的数学概念，深入了解问题本质，并结合实际问题，帮助学生巩固知识，丰富课堂教学形式。同时结合传统的课堂讲授模式，以教师为主，引导学生从浅到深，从形象到抽象，从实际到理论递进式学习。本文研究的仅是在大学数学中最为基础的一个知识点，希望能够通过此类案例的微课教学，有选择性、针对性的将微课等在线课程手段结合案例教学与传统教学模式，更好的提高大学数学的教学质量和学习效果。
参考文献：
[1]冯颖.常数项级数概念的微课教学设计[J].高等数学研究.2017，20（3）：17-19.
[2]熊传霞.浅析案例教学法在数学课堂中的运用[J].科技教育.2015（24）：140.
[3]同济大学数学系.高等数学（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.