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摘 要 科学的思维方法是思维的钥匙,常用的逻辑思维方法有分析、综合、比较、分类、抽象、概括、具体化、系统化、类比、归纳、演绎等十多种。本文从一道填空题来看看不同的思维方法指导下所得到的不同解法,并从解题中培养学生的数学逻辑思维能力。
关键词 思维 逻辑思维能力 逻辑思维方法
注重提高学生的数学思维能力是高中数学课程的基本理念之一,也是高中数学教育的基本目标之一。其中逻辑思维能力是学好数学必须具备的能力,高中阶段的教师如何在具体的教学中培养学生的数学逻辑思维能力,掌握科学的逻辑思维方法,帮助学生建立良好的学习态度,引发对数学的浓厚的兴趣,就显得尤为关键。
何为逻辑思维能力? 逻辑思维方法?逻辑思维能力是指按照逻辑思维规律,运用逻辑方法,来进行思考、推理、论证的能力。数学具有严谨的逻辑体系,数学概念的分类,定理的证明,公式法则的推导,广泛使用逻辑推理。因此,数学教学是培养学生逻辑思维能力极为有力的场地。常用的逻辑思维方法有分析、综合、比较、分类、抽象、概括、具体化、系统化、类比、归纳、演绎等十多种。常说“思维是数学的体操”,而科学的思维方法是思维的钥匙,只有具备科学的思维方法,才能对感性材料进行合理的加工整理,形成严谨的理论系统,才能在众多材料题设中,找出一条主导线的线索,从整体上把握事物的本质联系;从而有效地提高发现问题和解决问题的能力,下面仅从一道填空题来看看不同的思维方法指导下所得到的不同解法,从中来感悟不同思维方法的区别、联系及综合应用。
例题 过定点P(1,2)的直线在x轴与y轴正半轴的截距分别为a,b,则4a2+b2的最小值为_______
本题虽为一道中等难度的填空题,但方法灵活,且不同的思维方法,使得思维量大小,运算的繁简程度,运算速度,准确度,简捷度区别很大,下面从逻辑思维方法的角度分别来分析本题的几种不同的解法:
(一)采用分析与综合的方法。
分析是在思想中把事物的整体分解为部分,把复杂事物分解为简单要素,把过程分解为阶段,并分别加以研究的思维方法。而综合是在思想中把事物的各个部分、各个方面、各种要素、各个阶段联结成为整体进行考察的方法。分析与综合是最基本的思维方法,也是其他思维方法的基础,它们相互依存、相互渗透和相互转化,是对立的统一,分析是在综合指导下的分析,综合是以分析为基础的综合。所以根据题设条件含有两个变量a,b,而所求结论中同样含有两个变量a,b的条件式特点与结构,联想到两个变量(均为正数)问题求最值,当具备和为定值时,可有积的最值的特点,常用基本不等式解决,可找到前提成立的必要条件,而所求结论采取同样方法处理,实际上是寻找其成立的充分条件,分析与综合的结合使用就找到了条件与结论的联结点。
通过分析与综合,在所给材料的基础上对条件进行加工、整理与改造,再从结论出发进行变形与整理,借助基本不等式,两者的联系就清晰可见了。学生在解题中,宜把分析法与综合法结合起来进行运用,先以分析法为主寻求解题思路,再用综合法有条理的表述解题过程。
(二)采用比较与分类的方法。
比较是确定有关事物的共同点和不同点的思维方法,既包括事物现象的比较也包括事物本质的比较,是具有局部性质的思维方法。而分类是从比较中派生出来的,更为复杂一些的思维方法,即根据事物的共性与差异性,把具有相同属性的事物归入一类,把具有不同属性的事物,各归入不同的类。本题通过分析比较与联想分类可以提出解决问题的新方法,联想到基本不等式
“=”成立,并充分利用条件,
构造可以使用基本不等式的条件,把结论转化归入此类,就发现和构建了本题条件和结论的内在知识联系,产生知识的迁移和联结。经过比较与分类的思维方法,获得的解法给人以淋漓畅快之感,见下形成新解法。
数学学习中要善于把不同类事物进行比较,从而揭示事物之间的联系和区别,有助于把相关知识联系起来,引导数学发现,获取新的知识、思想和方法。而恰当的利用分类方法,可以使大量材料带上条理性,在数学对象之间建立起立体的从属关系。这样既便于存入和提取资料,又便于找出事物之间的本质联系和区别,从中找到某些共同模式或基本方法,用于指导以后的数学学习。
(三)采用抽象、概括与具体化的方法。
抽象是通过事物的现象,深入事物的里层,把同类事物的共同本质抽取出来进行考察的思维方法。概括是把抽象出来的事物的本质属性联合起来加以考察的思维方法。而具体化是把抽象概括中好的的概念和理论运用于实际,以恰当的实例来说明概念、解释理论的思维方法。本题由条件等式
(a,b>0)通分有2a+b=ab,又由基本不等式由ab≥8,再对所求关系式向条件等式变形有y=4a2+b2=(2a+b)2-4ab=(ab-2)2-4,从而具体化为已知变量取值范围条件下的二次函数求最值问题。
此解法要有丰富的函数知识为基础,通过条件与结论相关条件的启示,触发联想,从中抽象和概括并具体化为二次函数在定区间上的最值问题从而达到认识上的“顿悟”与飞跃。这种通过构建函数模型而解决问题的方法既简洁、美妙又常规熟悉。平时的教学中要注意把从现实原型中抽象出来的数学概念、数学理论体系,各种数学公式,各种方程式、各种常见函数关系及从某些具体问题中所建构的数学模型进行梳理,形成学生的具体模型方法,在需要使用时可以信手拈来。
(四)采用系统化的方法。
所谓系统化是把各种有关材料归入某种一定的顺序,纳入某种一定的体系的思维方法。系统化是与比较、分类、抽象、概括、具体化等思维方法密切联系的,只有通过上述方法弄清了各种有关材料间的联系和关系,才能把它们构成一个统一的整体。
本题由上解法只需抓住函数思想的核心自变量与因变量的相互依赖关系,利用条件等式把变量b用a的代数式表示,则有以降元构造新函数思想的新解法。这样本题经过分析、比较、抽象、概括、具体化及系统化等思维方法把一个以解析几何形式给出的代数问题——求最值问题,转化为一个仅含一个变量的分式结构,可用基本不等式解决,当然也可看成高次函数用导数知识求解。善于将新的未知问题向熟悉的已知问题进行系统化归是解决新问题的重要方法,这就要求中学数学教师在教学中注意引导学生不断把新知识分类内化到已有知识系统中去,并在解决问题时能从知识、方法、思想等各个角度进行有目的的提取并运用到新的知识中去,从而形成分析与解决问题的系统化能力。
而上述函数关系若从高次函数角度去思考,也可由求导法解决,即求导方法,从变量与函数的角度出发来研究,使得不同知识的联结与综合更具系统性,彰显函数思想与不等式之间的内在联系与区别。高中数学中,函数、方程、不等式三者的关系是密切相关、相互转化、依存发展的,贯穿高中数学体系的始末,直接决定了三者在高中数学中的主干地位。教学中要有意识渗透函数方程及不等式思想在整个系统体系中的重要作用,培养学生思维的系统性和兼容性。
(五)采用类比、归纳与演绎的方法。
类比是从特殊到特殊的思维方法,即从两类事物一些属性相同或相似,猜测其他属性也可能相同或相似。归纳是从个别、特殊到一般的思维方法,即根据大量已知事实,作出一般性的结论。演绎是从一般到个别、特殊的思维方法,即从一般性的原理出发,认识那些尚未深入考察的有关事物。结合上述知识与思想方法,通过类比条件
的结构特点与同角三角函数基本关系式sin2α+cos2α=1, α∈R结构特点的相似性。利用归纳与演绎的思维方法进行对应换元(换元法的使用,一定要注意新变量的取值范围必须与原来变量的范围等价)。
借助本题,教师指导好学生通过类比联想借助三角函数的函数性,及二次函数型的结构,通过从特殊(条件的结构特点)到一般(同角三角函数基本关系式sin2α+cos2α=1, α∈R结构特点),又从一般(y关于θ的函数关系)到特殊(二次函数型函数)的两次转化等方式提出和解决问题的一种新思路,发现和构建了三角函数与二次函数知识的联系,产生知识的迁移和联结,来形成自己的新观点、新思想,进一步培养学生数学类比、归纳、演绎能力。
以上解法分别是在不同的逻辑思维方法指导下所形成的,通过知识的迁移和联结,达到殊途同归之效,从而培养学生的数学思维能力。但仅是个人的拙见整理出来,一者是在教学中有意识培养学生的逻辑思维能力,再者想得到专家的指导以利更好的服务于教学。
关键词 思维 逻辑思维能力 逻辑思维方法
注重提高学生的数学思维能力是高中数学课程的基本理念之一,也是高中数学教育的基本目标之一。其中逻辑思维能力是学好数学必须具备的能力,高中阶段的教师如何在具体的教学中培养学生的数学逻辑思维能力,掌握科学的逻辑思维方法,帮助学生建立良好的学习态度,引发对数学的浓厚的兴趣,就显得尤为关键。
何为逻辑思维能力? 逻辑思维方法?逻辑思维能力是指按照逻辑思维规律,运用逻辑方法,来进行思考、推理、论证的能力。数学具有严谨的逻辑体系,数学概念的分类,定理的证明,公式法则的推导,广泛使用逻辑推理。因此,数学教学是培养学生逻辑思维能力极为有力的场地。常用的逻辑思维方法有分析、综合、比较、分类、抽象、概括、具体化、系统化、类比、归纳、演绎等十多种。常说“思维是数学的体操”,而科学的思维方法是思维的钥匙,只有具备科学的思维方法,才能对感性材料进行合理的加工整理,形成严谨的理论系统,才能在众多材料题设中,找出一条主导线的线索,从整体上把握事物的本质联系;从而有效地提高发现问题和解决问题的能力,下面仅从一道填空题来看看不同的思维方法指导下所得到的不同解法,从中来感悟不同思维方法的区别、联系及综合应用。
例题 过定点P(1,2)的直线在x轴与y轴正半轴的截距分别为a,b,则4a2+b2的最小值为_______
本题虽为一道中等难度的填空题,但方法灵活,且不同的思维方法,使得思维量大小,运算的繁简程度,运算速度,准确度,简捷度区别很大,下面从逻辑思维方法的角度分别来分析本题的几种不同的解法:
(一)采用分析与综合的方法。
分析是在思想中把事物的整体分解为部分,把复杂事物分解为简单要素,把过程分解为阶段,并分别加以研究的思维方法。而综合是在思想中把事物的各个部分、各个方面、各种要素、各个阶段联结成为整体进行考察的方法。分析与综合是最基本的思维方法,也是其他思维方法的基础,它们相互依存、相互渗透和相互转化,是对立的统一,分析是在综合指导下的分析,综合是以分析为基础的综合。所以根据题设条件含有两个变量a,b,而所求结论中同样含有两个变量a,b的条件式特点与结构,联想到两个变量(均为正数)问题求最值,当具备和为定值时,可有积的最值的特点,常用基本不等式解决,可找到前提成立的必要条件,而所求结论采取同样方法处理,实际上是寻找其成立的充分条件,分析与综合的结合使用就找到了条件与结论的联结点。
通过分析与综合,在所给材料的基础上对条件进行加工、整理与改造,再从结论出发进行变形与整理,借助基本不等式,两者的联系就清晰可见了。学生在解题中,宜把分析法与综合法结合起来进行运用,先以分析法为主寻求解题思路,再用综合法有条理的表述解题过程。
(二)采用比较与分类的方法。
比较是确定有关事物的共同点和不同点的思维方法,既包括事物现象的比较也包括事物本质的比较,是具有局部性质的思维方法。而分类是从比较中派生出来的,更为复杂一些的思维方法,即根据事物的共性与差异性,把具有相同属性的事物归入一类,把具有不同属性的事物,各归入不同的类。本题通过分析比较与联想分类可以提出解决问题的新方法,联想到基本不等式
“=”成立,并充分利用条件,
构造可以使用基本不等式的条件,把结论转化归入此类,就发现和构建了本题条件和结论的内在知识联系,产生知识的迁移和联结。经过比较与分类的思维方法,获得的解法给人以淋漓畅快之感,见下形成新解法。
数学学习中要善于把不同类事物进行比较,从而揭示事物之间的联系和区别,有助于把相关知识联系起来,引导数学发现,获取新的知识、思想和方法。而恰当的利用分类方法,可以使大量材料带上条理性,在数学对象之间建立起立体的从属关系。这样既便于存入和提取资料,又便于找出事物之间的本质联系和区别,从中找到某些共同模式或基本方法,用于指导以后的数学学习。
(三)采用抽象、概括与具体化的方法。
抽象是通过事物的现象,深入事物的里层,把同类事物的共同本质抽取出来进行考察的思维方法。概括是把抽象出来的事物的本质属性联合起来加以考察的思维方法。而具体化是把抽象概括中好的的概念和理论运用于实际,以恰当的实例来说明概念、解释理论的思维方法。本题由条件等式
(a,b>0)通分有2a+b=ab,又由基本不等式由ab≥8,再对所求关系式向条件等式变形有y=4a2+b2=(2a+b)2-4ab=(ab-2)2-4,从而具体化为已知变量取值范围条件下的二次函数求最值问题。
此解法要有丰富的函数知识为基础,通过条件与结论相关条件的启示,触发联想,从中抽象和概括并具体化为二次函数在定区间上的最值问题从而达到认识上的“顿悟”与飞跃。这种通过构建函数模型而解决问题的方法既简洁、美妙又常规熟悉。平时的教学中要注意把从现实原型中抽象出来的数学概念、数学理论体系,各种数学公式,各种方程式、各种常见函数关系及从某些具体问题中所建构的数学模型进行梳理,形成学生的具体模型方法,在需要使用时可以信手拈来。
(四)采用系统化的方法。
所谓系统化是把各种有关材料归入某种一定的顺序,纳入某种一定的体系的思维方法。系统化是与比较、分类、抽象、概括、具体化等思维方法密切联系的,只有通过上述方法弄清了各种有关材料间的联系和关系,才能把它们构成一个统一的整体。
本题由上解法只需抓住函数思想的核心自变量与因变量的相互依赖关系,利用条件等式把变量b用a的代数式表示,则有以降元构造新函数思想的新解法。这样本题经过分析、比较、抽象、概括、具体化及系统化等思维方法把一个以解析几何形式给出的代数问题——求最值问题,转化为一个仅含一个变量的分式结构,可用基本不等式解决,当然也可看成高次函数用导数知识求解。善于将新的未知问题向熟悉的已知问题进行系统化归是解决新问题的重要方法,这就要求中学数学教师在教学中注意引导学生不断把新知识分类内化到已有知识系统中去,并在解决问题时能从知识、方法、思想等各个角度进行有目的的提取并运用到新的知识中去,从而形成分析与解决问题的系统化能力。
而上述函数关系若从高次函数角度去思考,也可由求导法解决,即求导方法,从变量与函数的角度出发来研究,使得不同知识的联结与综合更具系统性,彰显函数思想与不等式之间的内在联系与区别。高中数学中,函数、方程、不等式三者的关系是密切相关、相互转化、依存发展的,贯穿高中数学体系的始末,直接决定了三者在高中数学中的主干地位。教学中要有意识渗透函数方程及不等式思想在整个系统体系中的重要作用,培养学生思维的系统性和兼容性。
(五)采用类比、归纳与演绎的方法。
类比是从特殊到特殊的思维方法,即从两类事物一些属性相同或相似,猜测其他属性也可能相同或相似。归纳是从个别、特殊到一般的思维方法,即根据大量已知事实,作出一般性的结论。演绎是从一般到个别、特殊的思维方法,即从一般性的原理出发,认识那些尚未深入考察的有关事物。结合上述知识与思想方法,通过类比条件
的结构特点与同角三角函数基本关系式sin2α+cos2α=1, α∈R结构特点的相似性。利用归纳与演绎的思维方法进行对应换元(换元法的使用,一定要注意新变量的取值范围必须与原来变量的范围等价)。
借助本题,教师指导好学生通过类比联想借助三角函数的函数性,及二次函数型的结构,通过从特殊(条件的结构特点)到一般(同角三角函数基本关系式sin2α+cos2α=1, α∈R结构特点),又从一般(y关于θ的函数关系)到特殊(二次函数型函数)的两次转化等方式提出和解决问题的一种新思路,发现和构建了三角函数与二次函数知识的联系,产生知识的迁移和联结,来形成自己的新观点、新思想,进一步培养学生数学类比、归纳、演绎能力。
以上解法分别是在不同的逻辑思维方法指导下所形成的,通过知识的迁移和联结,达到殊途同归之效,从而培养学生的数学思维能力。但仅是个人的拙见整理出来,一者是在教学中有意识培养学生的逻辑思维能力,再者想得到专家的指导以利更好的服务于教学。